2021年工程大學工程管理專業線性方程組試題

一.選擇題

1.設非齊次線性方程組4,,“無=b,且「（4*,,）=「,則（）

A.r=m時，方程組有解

B.r=〃時，方程組4“*/=人有唯一解

C.機=〃時，方程組A,“*"x=b有無窮多解

D.r<〃時，方程組有唯一解

2.設A為機x〃矩陣，齊次線性方程組加:=0僅有零解的充分必要條件是（）

A.A的行向量組線性無關B.A的行向量組線性相關

C.A的列向量組線性無關D.A的列向量組線性相關

3.若&=（1,0,1）飛2=（-2,0,1）7'都是線性方程組上=0的解，則系數矩陣4為（）

門23、/、/010）/、

f-12Hf0-10）

A.312B.C.020D.

1112l（020

^211JI）1^321JI）

4.已知卬隹是非齊次線性方程組Ax=/7的兩個不同的解，叫,a?是對應齊次線性方

程組Ar=0的基礎解系，人,網為任意實數，則方程組Ax=b的通解為（）

A.k0i+e(％+a2)+Pi2國

B.(a,-a2)+—-

C-匕四+他（仇+國）+歸邑D.匕叫+&（仇一隹）+"1

5.設A為mx〃矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組Ax=。對應的齊次線性方程組,

則下列結論正確的是（）

A.若Ax=0有零解，則Ax="有唯一解

B.若小=0有非零解，則Ar=b有無窮多個解

C.若Ax=〃有無窮多個解，則Ax=0只有零解

D.若Ar=匕有無窮多個解，則Ar=0有非零解

6.設A為4x3矩陣，力,%,%為非齊次線性方程組Ax=。的3個線性無關的解，勺義

為任意常數，則Ax=b的通解為（）

A.2k12h+^B21^11+爪％-r|J

C.咤&+占(7/)+&(%—力)D.至于?+《(％/)+)

7.設A為〃階方陣，A，是A的轉置矩陣，則對于線性方程組(I)Ax=O和

(n)A'At=O,必有()

A.(H)的解是(I)的解，(I)的解也是(H)的解

B.(II)的解是(I)的解，但(I)的解不是(II)的解

C.(I)的解不是(H)的解，(H)的解也不是(I)的解

D.(I)的解是(II)的解，但(H)的解不是(I)的解

8.齊次線性方程組

klj+x2+X?毛=0,

(X+九冗2+工3=0，

玉+%+京3-0，

的系數矩陣記為A,若存在三階方陣使得=貝h)

A.九=-2且網=0B.九=一2且忸艮0

C.九=1且冏=0D.九=1且冏W0

(A

9.設A是〃階方陣，a是〃維列向量，若roj=r(4),則線性方程組()

1ar

A.Ax=a必有無窮多解B.Ar=a必有唯一解

A］「］=必有非零解

C.：a=0僅有零解D.(ta0

(a。八"(a0人力

10.設A為〃?x〃矩陣，非齊次線性方程組Ax=/?的導出組為Ar=0,如果加<〃，

則()

A.Ax=人必有唯一解B.Ax必有無窮解

C.Ar=O必有唯一解D.Ax=0必有非零解

11.非齊次線性方程組Ax=。的導出組Ax=0僅有零解，則Ax=。()

A.必有無窮解B.必有唯一解C.必定無解D.前三項都不對

12.設A為mxn矩陣，若任何n維列向量都是方程組AX=0的解，則()

A.0<R(A)<nB.R(A)=n

C.A=0D.R(A)=m

13.設名,。2是非齊次線性方程組Ar=。的解，，是對應的齊次方程組Ar=O的解,

則Ar=6必有一個解是()

A.a1+a2B.a,-a2

r〃11

C.B+(X|+a2D.+-a?

14.匕，彩，匕.是四元非齊次線性方程組的解向量，且r(A)=3,若

v,=(-1,6,1,2)\匕+畤=(2,6,0,2幾則線性方程組AX=人的全部解是()

’7、’3、'T、,2、

6066

A.+c;B.+C

1-110

3)、o,32

q、'-1\（-2、

6063

C.+c;D.+C

1-i11

12，37J，

15.若方程組AX=0中，方程個數小于未知量個數，則(）

A.AX=0必有非零解B.AX=0必無解

C.AX=0僅有零解D.AX=0有唯一解

16.三元非齊次方程組AX=6的系數矩陣A的秩為2,且它的三個解向量。，另看3滿

足。=(3,1,-1),,。+芻=(2,0,-2)「,則AX=8的全部解可表示為()

(1、‘3/2、T1]rr

A.0+C1B.2+c1C.1+C1D.-1+c1

ojL

7aj

17.線性方程組4,4乂4*|=以下列說法正確的是()

A.無解B.若有解，有唯一解

C.有無窮多解D.若有解，有無窮多解

18.設%是非齊次方程組AX=匕的一個解，是AX=0的基礎解系,

則下列說法正確的是()

A%,4,…,火線性相關B.%,4,…,％線性無關

C.的線性組合是AX=b的解

D.的線性組合是AX=0的解

19.齊次線性方程組的基礎解系所含解向量的個數為()

2X2—X3—X4=0

A.1B.2C.3D.4

二.填空題

Xj+2X2+x3=0

x+、+2M=0，—

1ax

1.已知齊次線性方程組//n有非零解，則。=

ax}+4X2+3X3=()

2%+(。+2)々-5X3=0

菽1+無2+七=0

2.若齊次線性方程組卜+標2+七=0只有零解，則九應滿足的條件是

%+W+毛=0

+2X2+x3=1

3.若線性方程組2%+3/+(〃+2)%3=3無解，則常數。=

百+ax2-2X3=0

瓦+工2+占=1

4.若線性方程組%+放2+玉=1有無窮多個解，則九=

%1+工2+丸與二—2

5.已知四元非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為2,且Q,%,%是它的三個解，且

則該方程組的通解為

6.設機矩陣A的秩為，則AX=0的基礎解系一定由個線性無關的解

向量構成。

7.設三元非齊次線性方程組系數矩陣的秩為2,且7=[-1,-2,1]7,%=[0,-1,-2「是

它的兩個解向量，則方程組的通解為

8.已知名,%是非齊次線性方程組4%=匕線性無關的解，A為2x3矩陣，且秩

r(A)=2.若&=4%+"2是方程組Ax=人的通解，則常數左，/須滿足關系式.

9.設A為n階方陣,R(A)="-3,且%,%%是版=0的三個線性無關的解向量，則

Ax=0的一個基礎解系為

10.設九%斗是方程組人=b的解，R(A)=2,%=(1,3,0尸，%+2人=(5,3,11

則方程組的通解為

11.設A是4x6矩陣，線性方程組AX=0的基礎解系含有3個向量，則A的秩

R(A)=__________

12.若n元齊次線性方程組有解，且其系數矩陣的秩為r,當時，方程組只

有零解

三.計算題

1.求解齊次線性方程組的基礎解系和通解:

x-XXx=0

xl+2X2+2芻+冗4=0x22+33-4

3x,XX0

(D-2x}+w-2工3.2%=0(2)<+53-44=

%)-x2-4X3—3X4=04%]-2X2+8七-5X4=0

2工1+3X2-x3-7X4=03%-x2+2X3-5X4=0

3玉+々+2^3—714=0&+3/-5X-4X=0

(3)-(4)34

+x2-3X3+6X4=05x1-5X2+9X3-6%=0

%-2X2+5X3-5X4=0一4%+7花-z=0

2.求解下列非齊次線性方程組：

3x+8y-2z=13

4%+2尢2-七二2

y+z=1

(1〉3玉一x+2X=10(2)

235x+1ly-z=17

11%+3X=8

29x+20y-2z=31

2x+y-z+w=13x-y+2z+2w=3

(3)<4x+2y-2z+w=2(4)<4x+3y-z-w=l

2x+y-z-w=lx+4y-3z-3w=-2

3.求下列非齊次線性方程組的一個特解，和對應的齊次線性方程組的基礎解系,

并用解向量表示非齊次方程組的全部解。

xx+2X2-X3-X4=0

<x]+2X2+x4=4

-%]—2X9+2尤3+4%=5

4.求下列非齊次線性方程組的一個特解，和對應的齊次線性方程組的基礎解系,

并用解向量表示非齊次方程組的全部解。

X)-5X2+2毛-3X4=11

<5百+3X2+6X3-%=-1

2xl+4X2+2X3+/=-6

5.求下列非齊次線性方程組的一個特解，和對應的齊次線性方程組的基礎解系,

并用解向量表示非齊次方程組的全部解。

x{-x2-x3-\-x4=0

<Xj—x2+x3-3X4=1

Xj-%2-+3%4——1/2

6.求下列非齊次線性方程組的一個特解，和對應的齊次線性方程組的基礎解系,

并用解向量表示非齊次方程組的全部解。

xl+2X2-X3+3X4=2

?尤

2x}+4X2-2%3+54=1

—Xj—2^2+/——=4

7.求下列非齊次線性方程組的一個特解，和對應的齊次線性方程組的基礎解系,

并用解向量表示非齊次方程組的全部解。

+5%2—元3—%4=—]

玉-2X2+￡+314-3

+8X2-芻+%=1

%,—9X2+3X3+7X4=7

8.對線性方程組

X]+工2+X3+X4+X5=7

3X1+/+2%3+%—3毛=-2

??

2X2+x3+2X4+6X5=23

8%+3X2+4X3+3X4-X5=12.

用基礎解系表示它的全部解

9.對線性方程組

2X1+7z+3X3+%=6

<3占+5X2+2X3+2X4=4

+4X2+芻+7X4=2

用基礎解系表示它的全部解

10.非齊次線性方程組如下，請對其中k的取值，討論方程組何時有唯一解，何時

無解，何時有無窮解。并在有無窮解時，求方程組的全部解。（用解向量表示）

-W+2%3=-4

<玉+%2+日3=4

―玉+kx>+七=k-

11.當。、b取何值時，下列線性方程組無解、有唯一解、有無窮多解？有解時,

求其解.

3司+2X2+X3+&一3七=a

X1+々+匕+%+七=1

x2+2X3+2X4+6%=3

5X]+4X2+3X3+3X4—x5-b

12.對線性方程組

IXj+x2=5

12xt+尤2+X3+2元4=1

15X1+3X2+2X3+2X4=3

用基礎解系表示它的全部解。

13.非齊次線性方程組AX=b的增廣矩陣（A,b）經初等行變換得下面的矩陣Bo

請對其中a、b的取值，討論方程組何時有唯一解，何時無解，何時有無窮解。

并在有無窮解時，求方程組的全部解。（用解向量表示）

’11231

012-11

(A/?)->?TB=

00a+224

,0003b+5

14.非齊次線性方程組AX=b的增廣矩陣（A,b）經初等行變換得下面的矩陣B

請對其中k的取值，討論方程組何時有唯一解，何時無解，何時有無窮解。并

在有無窮解時，求方程組的全部解。（用解向量表示）

’11k4、

(Ab)nB=02k-28

、004+3k-k22a-8k,

15.對線性方程組

玉+%2-3X3-x4=1

<3玉-x2-+4X4=4

%+5X2-9X3-8%=0

用基礎解系表示它的全部解。

16.已知非齊次線性方程組

玉+x2+x3+x4--1

?4%1+3z+————1

ox,+x2+3X3+bx4=1

有三個線性無關的解.

（1）證明：方程組系數矩陣A的秩為2

（2）求。力的值及方程組的通解

17.非齊次線性方程組

—2X1+%+*3=—2

<%]—2X2+x3=X

Xj4"x?_2七=>~

當入取何值時有解？并求其通解.

18.九取何值時，非齊次線性方程組

（2—九）％+2%—2退=1

<2^1+（5-九）X?—4xj=2

—2%一4%2+（5—九）/二一九一]

（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多個解？并在有無窮多解時求其通解

參考答案

一.選擇題

1.A2.C3.D4.B5.D6.C7.A8.C9.D10.D

11.D12.C13.D14.D15.A16.A17.D18.B19.B

二.填空題

玉+2X2+x3=0

x+ax+2X=0

1.已知齊次線性方程組}23有非零解，則。=2

axx+4X2+3X3=0

2xt+(a+2)x2-5X3=0

Ajct+x2+x3=0

2.若齊次線性方程組，3+乜+占=0只有零解，則九應滿足的條件是—三1

X]+*2+七=0

玉+2尤2+x3=1

3.若線性方程組<2%+3々+（。+2）七=3無解，則常數。=」

xt+ax2-2X3=0

Ajq+尤2+尤3=1

4.若線性方程組?3+拓+/=1有無窮多個解，則九=-2

%+x,+——2

5.已知四元非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為2,且力,%，%是它的三個解，且

則該方程組的通解為

6.設MX〃矩陣A的秩為r,則AX=0的基礎解系一定由n-r個線性無關的

解向量構成

7.設三元非齊次線性方程組系數矩陣的秩為2,且7=[-1,-2,1]7',7=[。,-1,-2「是

它的兩個解向量，則方程組的通解為x=c[l,l,-3]/+7或i[1,1,-3丫+%

8.已知%,%是非齊次線性方程組Ax=匕線性無關的解，A為2x3矩陣，且秩

r(A)=2.若是方程組4c=匕的通解，則常數3/須滿足關系式

k+l=l

9.設A為n階方陣,R(A)="-3,且％,a2,%是Ax=0的三個線性無關的解向量，則

Ar=0的一個基礎解系為al,a2,a3

10.設九%是方程組Ax=〃的解，R(A)=2,%=(1,3,01，%+22=(5,3,1),

田(-2、

則方程組的通解為R(A_)=x_=3:+k6U(,k^_R)

11.設A是4x6矩陣，線性方程組AX=0的基礎解系含有3個向量,則A的秩

7?(A)=3?

12.若n元齊次線性方程組有解，且其系數矩陣的秩為r,當n=r時,方程組只

有零解.

三、計算題

1.解：對系數矩陣A作初等行變換，變為行最簡形矩陣.

"1222

(1)A=21-2令+(-2)/j0-3-6-4

與+(一%~~

JT-4、0-3—6—4,

_*、

10-2

221]~3

44+(-2g、4

，+(T)生)012012

—6

3z33

0000000

0J

I/

由于R（A）=2,所以齊次線性方程組有非零解，且與原方程組同解的方程組為

由此即得

取為自由未知量，令&=。，/=。2，得方程組的通解為

(q,C2€R).

(5、

23

-24

013

0

(\-23-1111-23f

Q)A=305-4-一3"06-4-1

14-28-5J個一44106-4-1J

54）

10

fl-23-1>33

1

“+三為21

06-4-1——P_>01—-

36

(0000

0000

由于R（A）=2,所以齊次線性方程組有非零解,且與原方程組同解的方程組為

5、兇

，得33

21

3；<6>

所以基礎解系為

1*、

~33

2j_

36

10

、0,<1>

方程組的通解為:(cce/?).

x=c^+c2^2,p2

(23-1p-25-5、

312-7312-7

◎)4=

41-3641-36

123-1

J-25-5,一7,

<1-25-5、'1-25-5、

07-13807-138

3彳丐一令、

尸

今-和

為209-232602-1018

、07-113,、002-5,

取Z為自由未知量,得同解方程組為

\

%=~~X4>

7

工2=在，

5

毛=/,

于是，通解為

~2

7

X2

2(ce/?).

5

X

k4>2

1J

基礎解系為、

-2

7

1=2

5

2

、1

(3-12-5、3-5-4)

13-5-4儼乃)3-12-5

(4)A=

5-59-65-59-6

-47-b-47-1>

p3-5-4)(13-5-4]

0-101770-10177

6-5/jr4-r2

q-2/j0-2034140000

10-10177J[0000J

(,、11外

10————

1010

，+—3今c,177

10?、

1,1010

]02

0000

to000,

由于R(A)=2,所以齊次線性方程組有非零解,且與原方程組同解的方程組為

119

%=------X,4------X.

10104

177

=----X->H------X.

-10104

(1、(19^1

T1010

得

177

10；

所以基礎解系為

"1010

177

1010

10

、0，

方程組的通解為：％=喈|+°2自2，(CpC2G^)?

2.解：對增廣矩陣才施行初等行變換，化成行最簡形

<42-12]r13-3-8]

(1).=3-12103-1210

I"

U1308,308J

(\3-3-8>(13-3-8]

與一）

乃一3彳f0-1011343%0-101134

/>-11/j

、0-303396,W00一6,

因我⑷=2,R（Z）=3,R（A）AR?,知方程組無解.

/'38-213、1111\

111138-213

(2)A=

511-117511-117

920-231,520-231/

'1111'1111、’102-1、

05-51(01-1201-12

令-3/j)

為一54A-6/S

59406-612匕-11%00000000

、011-1122,、0000,、0000,

因R（A）=R（Z）=2<3,故方程組有無窮多解,并且有3-R（A）=1個自由未知量

選z為自由未知量，得到同解方程組

x=-2z-l,

、y=z+2,

即得通解為

㈤

y+2(ce7?).

、z)

’21-111)(11-111、

(3)Z=42-212"?"一>000-10

、21-1-11)(000-20,

111

10

<21-101、一5

122

/IX-

000-10___>00010

田一2年0；ex(-l)

1。00000000

因R（A）=R（可=2<4,故方程組有無窮多解，并且有4-R（A）=2個自由未知量.

選y,z為自由未知量，得到同解方程組

111

x=——V+—Z+—,

222

w=0,

即得通解為

(C1,C2

(3-1223)(14-3-3-2X

⑷彳=43-1-1143-1-11

13-1223

U4-3-3-2J

7

(14-3-3(14-3-3-2]

乃一440-1311119…>0-1311119

襄34

^0-1311119,、00000?

5510]

10

131313

4

+或、UJJ

41

I'0-13-13-13

00000

17

因R（A）=R（可=2<4,故方程組有無窮多解，并且有4-E（A）=2個自由未知量.

選z,w為自由未知量，得到同解方程組

x=—z-"+

131313

11119

y=—ZH-----W---------

131313

即得通解為

(c,,c2e/?).

2-1-10、(\2-1-10、fl2-1-1()、

3.解：(A?=12014f00124-00124

「1-2245)(00135)(0001b

'12014)(12003)

f00124f00102

J10

、0001001

由最后的矩陣可知，r(A)=r(A,b)=3<4,方程組有無窮多解

X]=-2%2+3

原方程組的同解方程組為〈七=2

=1

令自由未知量犬2=0,得到原方程組的一個特解"o=(3,0,2,1)7

x}=-2X2

由方程組得導出組的方程組當=0，

z=0

令自由未知量/=1，得導出組的一個基礎解系：小=(-2,1,0,0)7

所以原方程組的全部解為：〃=〃°+G7=；+c,1(q為任意常數)

10,

4.解:

'1-52-311)<1-52-311、(\-52-311)

(A,b)=536-1-1028-414-56f028-414-56

12421-6)、014-27—28,、00000；

‘1-52-311、(\09/7-1/21]

f01-1/71/2-2-01-1/71/2-2

、00000J^00000,

由最后的矩陣可知，r(A)=r(A,b)=2<4,方程組有無窮多解

J乙-AR—IL/LM[X.=-9/7Xo+1/2x+1

原方程組的同解方程組為《I3d4

x2=1/7X3-1/2X4-2

令自由未知量七=x4=0,得到原方程組的一個特解/=(1,-2,0,0),

與方程組得導出組與方程組=-9/7/+1/2/，

x2=1/7X3-1/2X4

令自由未知量力。及。

得導出組的一個基礎解系：。=(-9/7,1/7,1,0),，=(1/2-1/2,0,1)T

所以原方程組的全部解為：

5.解:

'1-1-110、"1-1-110、Z1-1-110、

(A/)=1-11-31—002-41—001-21/2

U-1-23-1/2;k00-12-l/2?k00-12一1/2,

‘1-10-11/2、

-?001-21/2

、00000,

由最后的矩陣可知，r(A)=r(Ab)=2<4,方程組有無窮多解

1

玉=犬2++一

原方程組的同解方程組為■12

與=2/+萬

令自由未知量9=匕=0,得到原方程組的一個特解〃。=(g,0,g,0)r

方程組的導出組與方程組玉=/+Z同解,

x3=2X4

令自由未知量

得導出組的一個基礎解系：7=(1,1,0,0)。%=(L0,2,1)T

所以原方程組的全部解為：？=%+。力|+。2〃2

(12-132、'12-132、’12-132

6.解:(4涉)=24-251000-1-3f000-1-3

-21-14,、00026)、00000

<12-132]<12-10-7、

->00013-00013

oj10

100000000」

由最后的矩陣可知，r(A)=r(A,fe)=2<4,方程組有無窮多解

原方程組的同解方程組為卜7X2+/-7

令自由未知量々=*3=0，得到原方程組的一個特解為=(-7,00,3)7

與方程組得導出組與方程組仁二小

令自由未知量CHW)

得導出組的一個基礎解系:&=(-2,1,0,0兒幺=(1,0,1,0)T

所以原方程組的全部解為：

n="o+C/l+。22,C2為任意常數）

7.解：

,15-1-1-0(15-1-1-An5-1-1-1、

(A/?)=；-21330-724244

8-124000

J-9377J10-1448000,

玉+5/一/—*4=—1

同解方程：

—7x2+2毛+4x4=4

0

非齊次方程組的一個特解:

非齊次方程組