2024屆新高考數學一輪復習配套練習專題7.6數學歸納法練基礎練基礎1．（2021·全國高三專題練習（理））用數學歸納法證明等式時，從到等式左邊需增添的項是（）A．B．C．D．2．（2020·全國高三專題練習）已知n為正偶數，用數學歸納法證明1-+…+=2時，若已假設n=k(k≥2，k為偶數)時命題成立，則還需要用歸納假設證（）A．n=k+1時等式成立 B．n=k+2時等式成立C．n=2k+2時等式成立 D．n=2(k+2)時等式成立3．（2020·全國高三專題練習（理））用數學歸納法證明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”時，由n＝k(k≥2)時不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的項數是（）A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋14．（2021·全國高三專題練習（理））用數學歸納法證明不等式時，可將其轉化為證明（）A．B．C．D．5．（2019·浙江高二月考）利用數學歸納法證明“”的過程中，由假設“”成立，推導“”也成立時，左邊應增加的項數是（）A． B． C． D．6．（2020·上海徐匯區·高三一模）用數學歸納法證明能被整除時，從到添加的項數共有__________________項（填多少項即可）．7.（2019·湖北高考模擬（理））已知正項數列滿足，前項和滿足，則數列的通項公式為______________．8.（2019屆江蘇省揚州市儀征中學摸底）已知正項數列an中，a1=1,9.（2021·全國高三專題練習）數列滿足.（1）計算，并猜想的通項公式；（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想.10．（2021·全國高三專題練習（理））已知數列{an}滿足：，點在直線上．（1）求的值，并猜想數列{an}的通項公式；（2）用數學歸納法證明（1）中你的猜想．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國）已知數列滿足，，則當時，下列判斷一定正確的是（）A． B．C． D．2．（2021·浙江高三專題練習）已知數列，滿足，，則（）A． B．C． D．3．（2020·浙江省桐廬中學）數列滿足，，則以下說法正確的個數（）①；②；③對任意正數，都存在正整數使得成立；④.A．1 B．2 C．3 D．44．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數列滿足：，，前項和為（參考數據：，，則下列選項錯誤的是（）.A．是單調遞增數列，是單調遞減數列B．C．D．5．（2021·上海市建平中學高三開學考試）有限集的全部元素的積稱為該數集的“積數”，例如的“積數”為2，的“積數”為6，的“積數”為，則數集的所有非空子集的“積數”的和為___________.6．（2021·浙江高三期末）已知數列滿足，前項和為，若，且對任意的，均有，，則_______；______.7．（2020·江蘇南通·高三其他）數列的前n項和為，記，數列滿足，，且數列的前n項和為．（1）請寫出，，滿足的關系式，并加以證明；（2）若數列通項公式為，證明：．8.（2020屆浙江省“山水聯盟”高三下學期開學）已知等比數列的公比，且，是，的等差中項，數列滿足：數列的前項和為．（1）求數列、的通項公式；（2）數列滿足：，，證明9．（2020屆浙江省嘉興市3月模擬）設數列的前項和為，已知，，成等差數列，且，．（1）求數列的通項公式；（2）記，，證明：，．10.已知點Pn(an,bn)滿足（1）求過點P1（2）試用數學歸納法證明：對于n∈N*，點Pn練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國高考真題（理））設數列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數列{2nan}的前n項和Sn．2.（2017浙江）已知數列滿足：，．證明：當時（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．3．(湖北省高考真題)已知數列的各項均為正數，，e為自然對數的底數．（Ⅰ）求函數的單調區間，并比較與e的大??；（Ⅱ）計算，，，由此推測計算的公式，并給出證明；（Ⅲ）令，數列，的前項和分別記為,,證明：．4.（2021·全國高三專題練習）設數列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數列{2nan}的前n項和Sn．5.(江蘇省高考真題)已知函數，設為的導數，．（Ⅰ）求的值；（2）證明：對任意的，等式成立．6.（2021·上海普陀區·高三其他模擬）如圖，曲線與直線相交于，作交軸于，作交曲線于，……，以此類推.（1）寫出點和的坐標；（2）猜想的坐標，并用數學歸納法加以證明.專題7.6數學歸納法練基礎練基礎1．（2021·全國高三專題練習（理））用數學歸納法證明等式時，從到等式左邊需增添的項是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分別寫出和時，等式左邊的表達式，比較2個式子，可得出答案.【詳解】當時，左邊，共個連續自然數相加，當時，左邊，所以從到，等式左邊需增添的項是.故選：C.2．（2020·全國高三專題練習）已知n為正偶數，用數學歸納法證明1-+…+=2時，若已假設n=k(k≥2，k為偶數)時命題成立，則還需要用歸納假設證（）A．n=k+1時等式成立 B．n=k+2時等式成立C．n=2k+2時等式成立 D．n=2(k+2)時等式成立【答案】B【解析】直接利用數學歸納法的證明方法，判斷選項即可．【詳解】解：由數學歸納法的證明步驟可知，假設為偶數）時命題為真，則還需要用歸納假設再證下一個偶數，即時等式成立，不是，因為是偶數，是奇數，故選：．3．（2020·全國高三專題練習（理））用數學歸納法證明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”時，由n＝k(k≥2)時不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的項數是（）A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋1【答案】C【解析】根據數學歸納法、不等式特點知有左側，有左側，即可判斷增加的項數.【詳解】時，左邊=，而n＝k＋1時，左邊＝，增加了，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k項，故選：C.4．（2021·全國高三專題練習（理））用數學歸納法證明不等式時，可將其轉化為證明（）A．B．C．D．【答案】B【解析】各選項左側一樣，要轉化證明不等式只需右端的部分小于，利用排除法即可.【詳解】根據放縮法證明不等式，首先排除A，C；D選項當時，左端值為，右端為，不等式不成立，故只要證明B成立，原不等式即成立.故選：B.5．（2019·浙江高二月考）利用數學歸納法證明“”的過程中，由假設“”成立，推導“”也成立時，左邊應增加的項數是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用數學歸納法證明“”的過程中，假設“”成立;當時，左邊為故增加的項數為項.故答案為：C.6．（2020·上海徐匯區·高三一模）用數學歸納法證明能被整除時，從到添加的項數共有__________________項（填多少項即可）．【答案】5【解析】分別寫出和時的對應的結果，再比較差異，得到答案.【詳解】當時，原式為：，當時，原式為，比較后可知多了，共5項.故答案為：57.（2019·湖北高考模擬（理））已知正項數列滿足，前項和滿足，則數列的通項公式為______________．【答案】【解析】當時，；當時，；當時，；當時，，猜想得，故，下面用數學歸納法證明：①，滿足，②假設時，結論成立，即，可得，則，，也滿足，結合①②可知，，故答案為．8.（2019屆江蘇省揚州市儀征中學摸底）已知正項數列an中，a1=1,【答案】見解析.【解析】當n=1時，a2=1+a11+a假設n=k（k∈N*）時，ak<ak+2-=a所以，n=k+1時，不等式成立．綜上所述，不等式an9.（2021·全國高三專題練習）數列滿足.（1）計算，并猜想的通項公式；（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想.【答案】(1)；；；.(2)證明見解析.【詳解】分析：（1）將n進行賦值，分別求得前三項的數值，猜想歸納處通項；（2）利用數學歸納法的證明步驟，證明猜想即可.詳解：（1）當時，，∴；當時，，∴；當時，，∴；由此猜想；（2）證明：①當時，結論成立，②假設（，且）時結論成立，即，當時，，∴，∴，∴當時結論成立，由①②可知對于一切的自然數，成立.10．（2021·全國高三專題練習（理））已知數列{an}滿足：，點在直線上．（1）求的值，并猜想數列{an}的通項公式；（2）用數學歸納法證明（1）中你的猜想．【答案】（1），，；；（2）證明見解析.【解析】（1）先將點坐標代入直線方程，得到遞推關系，再依次求出前幾項，猜想通項公式；（2）結合遞推關系，用數學歸納法證明.【詳解】(1)點在直線上可知，數列滿足：，

，．可猜得．

(2)當時，成立，

假設當時，成立，則當時，成立，

就是說，猜想正確；綜上，．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國）已知數列滿足，，則當時，下列判斷一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據特殊值法，分別令，，即可判斷ABD錯誤；再由數學歸納法證明C選項正確.【詳解】因為數列滿足，，若，則，不滿足，故A錯誤；若，則，，，不滿足，故D錯誤；又此時，不滿足，故B錯誤；因為，所以，當且僅當，即時，等號成立；構造函數，，，所以，則在上顯然恒成立，所以在上單調遞增；因此在上單調遞增，所以，猜想，對任意恒成立；下面用數學歸納法證明：（1）當時，，顯然成立；（2）假設當時，不等式成立，即恒成立；則時，，因為函數在上單調遞增；所以，即成立；由（1）（2）可得；，對任意恒成立；故C正確.故選：C.2．（2021·浙江高三專題練習）已知數列，滿足，，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】轉化條件為，令，通過導數可得單調遞增，通過數學歸納法可證明如果，則，再令，通過導數證明后，適當放縮可得，進而可證明，即可得解.【詳解】因為，所以，令，則，當時，，單調遞增，由題意，，如果，則，設，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即，因為，所以，所以，所以對于任意的，均有，所以.故選：B.3．（2020·浙江省桐廬中學）數列滿足，，則以下說法正確的個數（）①；②；③對任意正數，都存在正整數使得成立；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】利用二次函數的性質及遞推關系得，然后作差，可判斷①，已知等式變形為，求出平方和可得②成立，利用簡單的放縮可得，可判斷③，利用數學歸納法思想判斷④．【詳解】，若，則，∴，∴，①正確；由已知，∴，②正確；由及①得，，∴，顯然對任意的正數，在在正整數，使得，此時成立，③正確；(i)已知成立，(ii)假設，則，又，即，∴，由數學歸納法思想得④正確．∴4個命題都正確．故選：D．4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數列滿足：，，前項和為（參考數據：，，則下列選項錯誤的是（）.A．是單調遞增數列，是單調遞減數列B．C．D．【答案】C【解析】設，則有，，，構建，求導分析可知導函數恒大于零，即數列，都是單調數列，分別判定，，即得單調性，數列與的單調性一致，可判定A選項正確；B、C選項利用分析法證明，可知B正確，C錯誤；D選項利用數學歸納法證分兩邊證，即可證得.【詳解】∵，，∴，，，設，，，則，令，則，∴單調遞增，將，看作是函數圖象上兩點，則，∴數列，都是單調數列，，同理，，，即，，∴單調遞增，單調遞減，而數列與的單調性一致，∴是單調遞增數列，是單調遞減數列，A正確；由得，要證，即證，即，即證，也即要證，等價于，顯然時，，時，，故成立，∴不等式成立．B正確；欲證，只需證，即即，顯然成立，故，所以，故C選項錯誤；欲證，因單調性一致則只需證，只需證因為，若，則；又因為，若，則，由數學歸納法有，則成立故D選項正確。故選：C5．（2021·上海市建平中學高三開學考試）有限集的全部元素的積稱為該數集的“積數”，例如的“積數”為2，的“積數”為6，的“積數”為，則數集的所有非空子集的“積數”的和為___________.【答案】1010【解析】先利用數學歸納法證明一個結論：對于有限非空數集，積數和，由此即可計算得到答案.【詳解】先利用數學歸納法證明一個結論：對于有限非空數集，積數和當時，，成立；假設時，當時，綜上可得，，則數集的所有非空子集的“積數”的和為：故答案為：1010.6．（2021·浙江高三期末）已知數列滿足，前項和為，若，且對任意的，均有，，則_______；______.【答案】12146【解析】由遞推關系計算出，再計算出，然后可以計算，歸納出的通項公式（可用數學歸納法證明），求得和．【詳解】因為，，由已知，，，，，，，，，歸納結論，，證明：（1），由上面知已經成立；假設時，假設成立，即，，則，，，由數學歸納法知，，對一切成立．．故答案為：1；2146．7．（2020·江蘇南通·高三其他）數列的前n項和為，記，數列滿足，，且數列的前n項和為．（1）請寫出，，滿足的關系式，并加以證明；（2）若數列通項公式為，證明：．【答案】（1），證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1），，之間滿足的關系式是：，證明如下：當時，，所以成立，假設當時，成立，即，當時，，所以成立，所以成立.（2）由（1）得，即，因為，所以，當時，，成立；假設當時，成立，，當時，，所以當時，不等式成立，所以.證畢.8.（2020屆浙江省“山水聯盟”高三下學期開學）已知等比數列的公比，且，是，的等差中項，數列滿足：數列的前項和為．（1）求數列、的通項公式；（2）數列滿足：，，證明【答案】（1），；（2）詳見解析.【解析】（1）由題意，得，即，解得或，已知故．，．當時，，當時，，當時，滿足上式，，．（2）法1．，，累加得當，，當，∴法2．先用數學歸納法證明當，．①當時，，左式>右式，不等式成立．②假設時，不等式成立，即當時，，因為在上單調遞增，由，得，即，可得，不等式也成立．③由①②得證當，．.9．（2020屆浙江省嘉興市3月模擬）設數列的前項和為，已知，，成等差數列，且，．（1）求數列的通項公式；（2）記，，證明：，．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）因為，，成等差數列，即，當時，，兩式相減得，所以是公比為2的等比數列，即，即，由，得，所以的通項公式．（2）方法一（放縮法）：因為，，所以，當時，所以，當時，，取到“”號，綜上所述，，方法二（數學歸納法）：因為，，所以，當時，左邊，右邊，原不等式成立；假設當時，原不等式成立，即，那么，當時，左邊，即時也成立，由此可知，原不等式對于任意的均成立．10.已知點Pn(an,bn)滿足（1）求過點P1（2）試用數學歸納法證明：對于n∈N*，點Pn【答案】（1）2x+y-1=0.（2）見解析.【解析】(1)由P1的坐標為(1,?1)知：a1=1，b1=?1.∴b2=b11-4a12=13,∴點P2的坐標為13∴直線l的方程為2x+y-1=0.(2)要證明原問題成立只需證明點Pn都滿足2x+y=1即可①當n=1時，2a1+b1=2×1+(?1)=1，成立.②假設n=k(k∈N*,k?1)時，2ak+bk=1成立，即則2ak+1+bk+1=2ak?bk+1+bk+1=bk1-4∴當n=k+1時，命題也成立.由①②知，對n∈N?，都有2an+bn=1，即點Pn在直線l上練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國高考真題（理））設數列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數列{2nan}的前n項和Sn．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.【解析】（1）由題意可得，，由數列的前三項可猜想數列是以為首項，2為公差的等差數列，即，證明如下：當時，成立；假設時，成立.那么時，也成立.則對任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.2.（2017浙江）已知數列滿足：，．證明：當時（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【答案】見解析【解析】（Ⅰ）用數學歸納法證明：當時，假設時，，那么時，若，則，矛盾，故．因此所以因此（Ⅱ）由得記函數函數在上單調遞增，所以=0，因此故（Ⅲ）因為所以得由得所以故綜上，．3．(湖北省高考真題)已知數列的各項均為正數，，e為自然對數的底數．（Ⅰ）求函數的單調區間，并比較與e的大?。唬á颍┯嬎悖?，，由此推測計算的公式，并給出證明；（Ⅲ）令，數列，的前項和分別記為,,證明：．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）；；．（Ⅲ）見解析.【解析】（Ⅰ）的定義域為，．當，即時，單調遞增；當，即時，單調遞減．故的單調遞增區間為，單調遞減區間為．當時，，即．令，得，即．①（Ⅱ）；；．由此推測：．②下面用數學歸納法證明②．（1）當時，左邊右邊，②成立．（2）假設當時，②成立，即．當時，，由歸納假設可得．所以當時，②也成立．根據（1）（2），可知②對一切正整數n都成立．（Ⅲ）由的定義，②，算術-幾何平均不等式，的定義及①得，即．4.（2021·全國高三專題練習）設數列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數列{2nan}的前n項和Sn．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.【解析】（1）利用遞推公式得出，猜想得出的通項公式，利用數學歸納法證明即可；（2）由錯位相減法求解即可.【詳解】（1）由題意可得，，由數列的前三項可猜想數列是以為首項，2為公差的等差數列，即，證明如下：當時，成立；假設時，成立.那么時，也成立.則對任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.5.(江蘇省高考真題)已知函數，設為的導數，．（Ⅰ）求的值；（2）證明：對任意的，等式成立．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明：見解析.【解析】（Ⅰ）由已知，得于是所以故（Ⅱ）證明：由已知，得等式兩邊分別對x求導，得，即，類似可得，，.下面用數學歸納法證明等式對所有的都成立.(i)當n=1時，由上可知等式成立.(ii)假設當n=k時等式成立,即.因為，所以.所以當n=k+1時,等式也成立.綜合(i),(ii)可知等式對所有的都成立.令，可得().所以()．6.（2021·上海普陀區·高三其他模擬）如圖，曲線與直線相交于，作交軸于，作交曲線于，……，以此類推.（1）寫出點和的坐標；（2）猜想的坐標，并用數學歸納法加以證明.【答案】（1），，；，，；（2），證明見解析.【解析】（1）將直線，曲線方程聯立，由即可求得，由垂直關系可得直線方程，令即可求得坐標，依次類推即可求得結果；（2）由（1）可歸納出；設，，由直線方程可求得坐標，由直線斜率為可推導得到遞推關系式；根據遞推關系式，利用數學歸納法即可證得結論.【詳解】（1）由得：，即；直線方程為：，即，令，解得：，；直線方程為：，由得：，即；直線方程為：，即，令，解得：，；直線方程為：，由得：，即；直線方程為，即，令，解得：，；（2）由（1）猜想的坐標為，設，，則直線的方程為：，令，解得：，，直線的斜率為，即，即，，用數學歸納法證明的坐標如下：①當時，滿足；②假設當時，成立，那么當時，由得：，解得：，即當時，成立；綜上所述：.專題8.1空間幾何體及其三視圖和直觀圖練基礎練基礎1.（2020·廣西興寧?南寧三中高一期末）已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的組成方式為（）A．上面為圓臺，下面為圓柱 B．上面為圓臺，下面為棱柱C．上面為棱臺，下面為棱柱 D．上面為棱臺，下面為圓柱2.（2021·江西師大附中高二月考（理））如圖是一個棱錐的正視圖和側視圖，它們為全等的等腰直角三角形，則該棱錐的俯視圖不可能是（）A． B．C． D．3.（2021·江蘇高一期末）已知一個圓錐的母線長為2，其側面積為，則該圓錐的高為（）A．1 B． C． D．24.（2020·河北易縣中學高三其他（文））若圓臺的母線與高的夾角為，且上、下底面半徑之差為2，則該圓臺的高為（）A． B．2 C． D．5.（2020屆浙江紹興市諸暨市高三上期末）某幾何體的正視圖與側視圖如圖所示：則下列兩個圖形①②中，可能是其俯視圖的是（）A．①②都可能 B．①可能，②不可能C．①不可能，②可能 D．①②都不可能6．（2021·石家莊市第十七中學高一月考）如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，每個圓錐的底面直徑和高均為，現有體積為的細沙全部漏入下圓錐后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此錐形沙堆的高度為（）A． B． C． D．7.（2021·云南彌勒市一中高一月考）如圖，正方形的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）A．8 B．6 C． D．8．（2021·浙江高三三模）如圖，等腰直角三角形在平面上方，，若以為旋轉軸旋轉，形成的旋轉體在平面內的投影不可能的是（）A． B． C． D．9．（2020·上海市進才中學高二期末）設是半徑為的球的直徑，則兩點的球面距離是________．10．（2020·全國）如圖為一幾何體的平面展開圖，按圖中虛線將它折疊起來，畫出它的直觀圖．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1.（2021·四川高一期末（理））某圓柱的高為，底面周長為，其三視圖如圖.圓柱表面上的點在正視圖上的對應點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（）A． B． C． D．2.【多選題】（2021·寧波市北侖中學高一期中）如圖，棱長為的正四面體形狀的木塊，點是的中心．勞動課上需過點將該木塊鋸開，并使得截面平行于棱和，則下列關于截面的說法中正確的是（）A．截面不是平行四邊形B．截面是矩形C．截面的面積為D．截面與側面的交線平行于側面3.（2021·湖北隨州市·廣水市一中高一月考）如圖所示，矩形是水平放置一個平面圖形的直觀圖，其，，則原圖形是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形4．（2021·肇州縣第二中學高一月考）如圖是利用斜二測畫法畫出的的直觀圖，已知，且的面積為16，過點作軸于點，則的長為（）A． B． C． D．15．（2021·寧夏大學附屬中學高一月考）三棱錐及其三視圖中的正視圖和側視圖如圖所示，則棱的長為（）A． B．C． D．6．（2021·江蘇省鎮江中學）點是平面外一點，且，則點在平面上的射影一定是的（）A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心7.（2021·上海高二期末）圓錐的高為1，底面半徑為，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為____________8．（2021·浙江紹興市·高一期末）已知四面體的所有棱長均為4，點滿足，則以為球心，為半徑的球與四面體表面所得交線總長度為______.9.（2020屆浙江杭州四中高三上期中）某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是_____，最長棱長為_____．10．（2019·全國高考真題（理））中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美．圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2021·全國高考真題）已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）A． B． C． D．2．（2021·北京高考真題）定義：24小時內降水在平地上積水厚度（）來判斷降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個等級（）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨3.（2020·全國高考真題（理））如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應的點為，在俯視圖中對應的點為，則該端點在側視圖中對應的點為（）A． B． C． D．4．(2019年高考全國Ⅲ卷理)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()A．BM=EN，且直線BM，EN是相交直線

B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C．BM=EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線5.（2018·北京高考真題（文））某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數為（）A.1 B.2C.3 D.46.（2021·全國高考真題（理））以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為_________（寫出符合要求的一組答案即可）．專題8.1空間幾何體及其三視圖和直觀圖練基礎練基礎1.（2020·廣西興寧?南寧三中高一期末）已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的組成方式為（）A．上面為圓臺，下面為圓柱 B．上面為圓臺，下面為棱柱C．上面為棱臺，下面為棱柱 D．上面為棱臺，下面為圓柱【答案】A【解析】結合圖形分析知上面為圓臺，下面為圓柱.故選：A.2.（2021·江西師大附中高二月考（理））如圖是一個棱錐的正視圖和側視圖，它們為全等的等腰直角三角形，則該棱錐的俯視圖不可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據棱錐的三視圖想象原幾何體的結構，可以在正方體中想象描出原幾何體，確定其結構．【詳解】若幾何體為三棱錐，由其正視圖和側視圖可知，其底面在下方且為直角三角形，故ABD均有可能，若幾何體是四棱錐，由其正視圖和側視圖可知，其底面在下方，且為正方形，俯視圖為正方形，但對角線應從左上到右下，C不正確．故選：C．3.（2021·江蘇高一期末）已知一個圓錐的母線長為2，其側面積為，則該圓錐的高為（）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】由側面積求出圓錐的底面圓半徑，再根據勾股定理可求得其高.【詳解】設圓錐的底面圓的半徑為，母線為，則，所以其側面積為，解得，所以圓錐的高為.故選：C.4.（2020·河北易縣中學高三其他（文））若圓臺的母線與高的夾角為，且上、下底面半徑之差為2，則該圓臺的高為（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】設上、下底面半徑分別為，，圓臺高為，由題可知：，即，所以．故選：D5.（2020屆浙江紹興市諸暨市高三上期末）某幾何體的正視圖與側視圖如圖所示：則下列兩個圖形①②中，可能是其俯視圖的是（）A．①②都可能 B．①可能，②不可能C．①不可能，②可能 D．①②都不可能【答案】A【解析】若是①，可能是三棱錐；若是②，可能是棱錐和圓錐的組合；所以①②都有可能，故選：A.6．（2021·石家莊市第十七中學高一月考）如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，每個圓錐的底面直徑和高均為，現有體積為的細沙全部漏入下圓錐后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此錐形沙堆的高度為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據圓錐的體積公式列方程求出沙堆的高．【詳解】解：細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑為，設高為，則沙堆的體積為，解得，所以圓錐形沙堆的高度為．故選：．7.（2021·云南彌勒市一中高一月考）如圖，正方形的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）A．8 B．6 C． D．【答案】A【解析】根據斜二測畫法的規則，得到原圖形的形狀為平行四邊形，進而求得其邊長，即可求解.【詳解】由斜二測畫法的規則，可得原圖形為是一個平行四邊形，如圖所示，因為水平放置的一個平面圖形的直觀圖的邊長為1的正方形，可得，所以原圖形中，在直角中，可得，所以原圖形的周長為.故選：A.8．（2021·浙江高三三模）如圖，等腰直角三角形在平面上方，，若以為旋轉軸旋轉，形成的旋轉體在平面內的投影不可能的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對直線與平面的位置關系進行分類討論，判斷出投影的形狀，即可得出合適的選項.【詳解】若，則形成的旋轉體在平面內的投影如D選項所示；若，則形成的旋轉體在平面內的投影為正方形；若與所成的角的取值范圍是時，則形成的旋轉體在平面內的投影如A、B選項所示.投影不可能如C選項所示.故選：C.9．（2020·上海市進才中學高二期末）設是半徑為的球的直徑，則兩點的球面距離是________．【答案】【解析】是半徑為的球的直徑，則兩點所對的球心角為，球面距離為．故答案為：．10．（2020·全國）如圖為一幾何體的平面展開圖，按圖中虛線將它折疊起來，畫出它的直觀圖．【答案】見解析【解析】由題設中所給的展開圖可以得出，此幾何體是一個四棱錐，其底面是一個邊長為2的正方形，垂直于底面的側棱長為2，其直觀圖如圖所示.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1.（2021·四川高一期末（理））某圓柱的高為，底面周長為，其三視圖如圖.圓柱表面上的點在正視圖上的對應點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據三視圖分析出所在的位置，然后結合圓柱的側面展開圖即可求出結果.【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖：即點在距離點在底面投影的圓弧處，沿所在的母線得到如圖所示的側面展開圖，圓柱的底面周長即為側面展開圖的長，圓柱的高即為側面展開圖的寬，而線段的距離即為所求到的路徑中的最短路徑，因為底面周長為,所以，又因為高為，則，所以,故選：B.2.【多選題】（2021·寧波市北侖中學高一期中）如圖，棱長為的正四面體形狀的木塊，點是的中心．勞動課上需過點將該木塊鋸開，并使得截面平行于棱和，則下列關于截面的說法中正確的是（）A．截面不是平行四邊形B．截面是矩形C．截面的面積為D．截面與側面的交線平行于側面【答案】BCD【解析】過點構建四邊形，通過相關直線間的平行關系進一步證明為平行四邊形，找對應線之間的垂直證明截面為矩形，從而計算截面面積【詳解】解：如圖所示，在正四面體中，4個面均為正三角形，由于點為的中心，所以位于的中線的外，分別取的三等分點，則∥，∥，∥，∥，所以∥，∥，所以截面為平行四邊形，所以A錯誤，延長交于，連接，由于為的中心，所以為的中點，因為，所以，因為，所以平面，所以，因為∥，∥，所以，所以截面為矩形，所以B正確，因為，所以，所以C正確，對于D，截面平面，∥，平面，平面，所以∥平面，所以D正確，故選：BCD3.（2021·湖北隨州市·廣水市一中高一月考）如圖所示，矩形是水平放置一個平面圖形的直觀圖，其，，則原圖形是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形【答案】C【解析】由已知得原圖為平行四邊形，，利用勾股定理計算邊長得到,可判斷原圖形的形狀.【詳解】因為，，所以直觀圖還原得，，四邊形為平行四邊形，，則，，，，，所以，故原圖形為菱形．故選：C.4．（2021·肇州縣第二中學高一月考）如圖是利用斜二測畫法畫出的的直觀圖，已知，且的面積為16，過點作軸于點，則的長為（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】利用面積公式，求出直觀圖的高，求出，然后在直角三角形中求解即可【詳解】解：由直觀圖可知，在中，，因為的面積為16，,所以，所以，所以，因為，軸于點，所以，故選：A5．（2021·寧夏大學附屬中學高一月考）三棱錐及其三視圖中的正視圖和側視圖如圖所示，則棱的長為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據幾何體的三視圖，結合幾何體的數量關系，在直角中，即可求解.【詳解】如圖所示，根據三棱錐及其三視圖中的正視圖和側視圖，可得底面中，點為的中點，，且底面，又由點為的中點，且根據側視圖，可得，在直角中，可得又由，在直角中，可得.故選：B.6．（2021·江蘇省鎮江中學）點是平面外一點，且，則點在平面上的射影一定是的（）A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心【答案】A【解析】過點作平面，因為，得到，即可求解.【詳解】如圖所示，過點作平面，可得因為，可得，所以為的外心.故選：A.7.（2021·上海高二期末）圓錐的高為1，底面半徑為，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為____________【答案】2【解析】求出圓錐軸截面頂角大小，判斷并求出所求面積最大值．【詳解】如圖，是圓錐軸截面，是一條母線，設軸截面頂角為，因為圓錐的高為1，底面半徑為，所以，，所以，，設圓錐母線長為，則，截面的面積為，因為，所以時，．故答案為：2．8．（2021·浙江紹興市·高一期末）已知四面體的所有棱長均為4，點滿足，則以為球心，為半徑的球與四面體表面所得交線總長度為______.【答案】【解析】根據正四面體的結構特征求得到面的距離，進而利用球的截面的性質求得各面所在平面與球的截面圓的半徑，注意與各面的三角形內切圓的半徑比較，確定此截面圓是否整個在面所在的三角形內，進而確定球與各面的交線，得到球與四面體表面所得交線總長度．【詳解】已知四面體ABCD的所有棱長均為4，所以四面體ABCD是正四面體，因為點O滿足，所以為正四面體ABCD的中心設正三角BCD的中心為F，正三角ACD的中心為G，CD的中點為E，則連接則．

則，，，

．

因為球O的半徑為，所以球O被平面截得圓半徑為，

因為正三角形BCD的邊長為4，所以正三角形內切圓半徑為，故球O與四面體ABCD的每一個面所得的交線為正好為內切圓，每個內切圓的周長為，所以球與四面體ABCD表面所得交線總長度．

故答案為：．9.（2020屆浙江杭州四中高三上期中）某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是_____，最長棱長為_____．【答案】【解析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以直角梯形為底面的四棱錐，且梯形上下邊長為1和2，高為2，如圖：，，，，，平面，，∴底面的面積，∴幾何體的體積，可得，最長棱長為：，故答案為：；．10．（201