角角的概念及分類內容角靜態定義有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊動態定義角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形.旋轉開始時的射線叫作角的始邊，旋轉終止時的射線叫作角的終邊.在角的形成過程中，射線旋轉時經過的平面部分是角的內部，未經過的平面部分是角的外部知識解讀（1）角的兩邊是射線，而非線段，因此角的大小與角的兩邊的長短無關，只與角的兩邊張開的幅度有關；（2）角的符號是“∠”,注意不能寫成“<”；（3）沒有特殊說明時，所說的角都是小于180°的角；（4）不能將平角當成一條直線，也不能將周角當成一條射線巧記樂背兩條射線共端點，組成角的兩條邊；也可看成一射線，繞其端點來旋轉.起始位置叫始邊，終止位置叫終邊；轉了半圈叫平角，轉了一整圈叫周角.角的分類

角按度數可分為五類：其中，大于0°而小于90°的角叫作銳角，如圖4-3.1-1（1）；等于90°的角叫作直角，如圖4-3.1-1（2）；大于90°而小于180°的角叫作鈍角，如圖4-3.1-1（3）；等于180°的角叫作平角，如圖4-3.1-1（4）；等于360°的角叫作周角，如圖4-3.1-1（5）.圖4-3.1-1例1下列說法：①兩條射線所組成的圖形叫作角；②一條射線旋轉而成的圖形叫作角；③一條射線繞它的端點旋轉，當始邊和終邊在同一條直線上，方向相反時，所構成的角叫作平角；④平角是一條直線.其中正確的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個A解析：①沒有說明兩條射線是否有公共端點，故錯誤；角是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形，故②錯誤；③正確；因為平角屬于角的一種，它具有角的頂點、角的兩邊，直線很顯然不具備這些條件，故④錯誤.故選A.

嚴格按照角的概念進行判斷，尤其注意角的兩條邊是具有公共端點的兩條射線.角的表示方法角的表示適用范圍圖例用三個大寫英文字母表示任何情況都適用，表示頂點的字母必須寫在中間

記作∠AOB或∠BOA用一個大寫英文字母表示以這一點為頂點的角只有一個記作∠O用一個阿拉伯數字表示任何情況都適用，在角的內部靠近頂點處畫上小弧線，表示出角的范圍（即是哪兩邊所成的角），并注上數字記作∠1用一個希臘字母表示任何情況都適用，在角的內部靠近頂點處畫上小弧線，表示出角的范圍（即是哪兩邊所成的角），并注上希臘字母記作∠α知識解讀(1)當用三個大寫字母或用一個大寫字母表示角時，靠近角的頂點處的小弧線可畫也可不畫，但用數字或用希臘字母表示角時，在角的內部靠近頂點處必須畫小弧線表示角的范圍；(2)用三個大寫字母表示角的這種方法適用于任意一個角，但在具體運用時不便書寫且容易出現筆誤，因此對解題過程中出現次數較多的角應盡量用數字或希臘字母表示巧記樂背角的表示方法多，相應注意事項多；三個字母最常用，頂點字母要居中.例2利用不同的方法表示出圖4-3.1-2中的每個角.（只表示小于平角的角）圖4-3.1-2解：在圖4-3.1-2（1）中，∠ABC還可表示為∠B或∠α，∠ACB還可表示為∠C或∠1，∠BAC還可表示為∠A或∠2；在圖4-3.1-2（2）中，∠AOB還可表示為∠1，∠BOC還可表示為∠4，∠AOD還可表示為∠2，∠DOC還可表示為∠3.

在表示角時，首先要明確所表示的角，其次要熟悉角的四種表示方法，還要注重簡便.角的測量方法與畫法內容角的測量方法最常用的方法是用量角器來測量角的測量單位把一個周角360等分，每一份叫作1度的角，記作1°；把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，記作1′；把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，記作1″角度制以度、分、秒為單位的角的度量制，叫作角度制制角度的換算1周角=360°，1周角=2平角=4直角；1平角=180°，1平角=2直角；1°=60′，1′=60″角的畫法（1）借助三角尺可以畫30°，45°，60°，90°等特殊角；（2）用量角器可以畫任意度數的角知識解讀（1）把高級單位轉化成低級單位要乘進率；把低級單位轉化成高級單位要除以進率；知識解讀（2）轉化時必須逐級進行，“越級”轉化容易出錯；（3）角的度、分、秒是60進制的，這和計量時間的時、分、秒是一樣的.巧記樂背一度等于六十分，一分等于六十秒；周角三百六十度，正好等于兩平角；一個直角九十度，個個不多也不少.“度”與“度、分、秒”之間的換算方法把“度”換算為“度、分、秒”時，先把不足1度的部分化為分，再把不足1分的部分化為秒；把“度、分、秒”換算為“度”時，先把以秒為單位的部分化為分，再把以分為單位的部分化為度.解：18.29°=18°+0.29°=18°+0.29×60′=18°+17.4′=18°+17′+0.4′=18°+17′+0.4×60″=18°+17′+24″=18°17′24″.例3把18.29°轉化為用度、分、秒表示的形式，把11°24′36″轉化為用度表示的形式.11°24′36″=11°+24′+（36÷60）′=11°+24′+0.6′=11°+24.6′=11°+（24.6÷60）°=11°+0.41°=11.41°.

度、分、秒相鄰兩單位之間是60進制.大單位化小單位對應乘60，小單位化大單位對應除以60.對表示角的方法不清楚而致錯例4如圖4-3.1-3，下列說法正確的是（）①∠1就是∠A，②∠2就是∠B，③∠3就是∠C，④∠4就是∠D.A.①②B.③④C.①②③④D.只有②圖4-3.1-3D

解析：①∠1的頂點處有三個角，不能用一個大寫字母表示，故錯誤；②∠2的頂點處只有一個角，能用一個大寫字母表示，故正確；同樣∠3，∠4也不能用一個大寫字母表示，故錯誤.故選D.

本題易忽略“如果用一個大寫英文字母表示角時，該角的頂點處只能有一個角”，而誤認為①③④的說法也正確，錯選C.在進行角度單位的換算時，按10進制轉換，造成計算錯誤例5（1）把26.19°轉化為用度、分、秒表示的形式；（2）把33°14′24″轉化為用度表示的形式.解：(1)26.19°=26°+0.19°=26°+（0.19×60）′=26°+11.4′=26°+11′+（0.4×60）″=26°11′+24″=26°11′24″.(2)33°14′24″=33°+14′+′=33°+14′+0.4′=33°+14.4′=33°+°=33.24°.

本題易忘記度、分、秒相鄰兩單位之間是60進制的，而按照10進制進行單位換算，得到錯誤結果：（1）26.19°=26°1′9″，（2）33°14′24″=34.64°.題型一數角的個數例6圖4-3.1-4中有多少個小于平角的角？請用適當的方法把它們表示出來.圖4-3.1-4思路導圖分別找出以點A，B，C，D為頂點的角用較簡單的方法分別表示每一個角把不同頂點的角的個數相加，便得題圖中的角的總個數

解：以點A為頂點的角有1個，以點B為頂點的角有3個，以點C為頂點的角有3個，以點D為頂點的角有1個，共有8個角.

它們分別是∠A，∠1，∠2，∠ABC，∠α，∠β，∠ACB，∠BDC.方法點撥：

數角的個數時，先要找到角的頂點，若從頂點出發的射線有2條則只有1個角，若從頂點出發的射線有2條以上則肯定有多個角.題型二與鐘表有關的角度問題例7在某天由13:15到13:54，時鐘的時針和分針轉過的角度分別是多少？角度a指針旋轉的角度問題(54-15)××60=19.5°，分針轉過的角度為(54-15)×=234°.解：時針轉過的角度為方法點撥

解答指針旋轉角度問題時，要熟記以下幾個量：（1）時針每小時轉動

=30°，時針每分鐘轉動

=0.5°；（2）分針每小時轉動360°，分針每分鐘轉動

=6°.例8

如圖4-3.1-5，在15:25時，鐘面上的時針和分針所構成的角是多少度？角度b指針夾角的問題圖4-3.1-5思路導圖將起始時刻定為15：00，此時時針和分針所構成的角是90°從15：00到15：25，分別算出時針和分針轉過的角度通過加減運算，求出在15:25時時針和分針夾角的度數解：將起始時刻定為15:00（下午3點整時），此時時針和分針構成的角是90°，將終止時刻定為15:25，從圖4-3.1-5中可以看出分針從12轉到5用了25分鐘，即分針轉了6°×25=150°，時針轉了0.5°×25=12.5°，所以在15:25時，鐘面上的時針和分針所構成的角為150°-90°-12.5°=47.5°.解讀中考：

本節內容在中考中涉及的知識點主要有角的測量方法和度、分、秒的換算，題型有選擇題和填空題，難度較小.例9（北京中考）如圖4-3.1-6，用量角器測量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數為（

）A.45°

B.55°

C.125°

D.135°圖4-3.1-6B考點一角的測量解析：由題圖可知，∠AOB的度數為55°.故選B.例10（廣西百色中考）下列關系式正確的是（

）

A.35.5°=35°5′B.35.5°=35°50′C.35.5°＜35°5′D.35.5°＞35°5′解析：因為35.5°=35°30′，而35°30′＞35°5′，

所以35.5°>35°5′.故選D.D考點二度、分、秒的換算例11（四川雅安中考）1.45°=_______′.解析：1.45°=60′+(0.45×60)′=87′.87核心素養例12

(1)當過點O的射線有3條時，如圖4-3.1-7（1），則圖中共有____個角，它們分別是______________________.(2)當過點O的射線有4條時，如圖4-3.1-7（2），則圖中共有____個角，它們分別是_________________________________________.(3)當過點O的射線有5條時，如圖4-3.1-7（3），則圖中共有____個角，它們分別是____________________________

_______________________________________.

∠AOC∠AOD∠AOE∠AOB∠COD∠COE∠COB∠DOE∠DOB∠EOB3∠AOC∠AOB∠COB.6∠AOC∠AOD∠AOB∠COD∠COB∠DOB.10(4)當過點O的射線有n（n為大于3的正整數）條時，請你猜想圖中共有_________個角，并簡述理由.解：（1）3∠AOC∠AOB∠COB.（2）6∠AOC∠AOD∠AOB∠COD∠COB∠DOB.（3）10.∠AOC∠AOD∠AOE∠AOB∠COD∠COE∠COB∠DOE∠DOB∠EOB.(4)理由如下：由(1)(2)(3)小題可知，，

由此猜想當過點O的射線有n（n為大于3的正整數）條時，則圖中共有個角.角的比較與運算內容角的比較方法測量法先用量角器量出角的度數，再比較其大小疊合法把兩個角的頂點和一邊重合，兩個角的另一邊落在重合邊的同側，根據另一邊的位置關系來比較大小比較角的大小的方法知識解讀（1）角的大小關系和角的度數的大小關系是一致的，這是從“數”的方面來進行比較的；（2）使用疊合法時應注意頂點重合，一邊重合，兩個角的另一邊落在重合邊的同側；（3）兩個角的比較還可用中間值法，通過兩個角與中間值的比較，得出大小關系巧記樂背比較兩個角大小，通過測量可分曉；若用疊合來比較，“重合”“同側”要記牢；若是差別比較大，估測也能比大小.例1不用量角器，比較圖4-3.2-1和圖4-3.2-2中角的大小.（用“>”連接）圖4-3.2-1圖4-3.2-2分析：圖4-3.2-1中∠α和∠β均為銳角，因此，在不測量的情形下，我們可以將圖中的∠α向∠β平移，使∠α與∠β的頂點和一邊重合，觀察另一邊的位置來比較角的大小.圖4-3.2-2中的三個角按角的分類，∠1為銳角，∠2為直角，∠3為鈍角，因此通過估測可直接比較出它們的大小.圖4-3.2-3

解：如圖4-3.2-3，將∠α向∠β平移，使∠α與∠β的頂點和一邊重合，觀察另一邊的位置，發現∠α落在∠β內部，因此∠β>∠α.

由圖4-3.2-2可知，∠1為銳角，即∠1<90°；∠2為直角，即∠2=90°；∠3為鈍角，即90°<∠3<180°，因此∠3>∠2>∠1.

在不用量角器測量角的度數的情況下比較角的大小有兩種方法:一種是運用典型的“疊合法”比較大小；另一種是運用“估測法”，按照常見的“銳角<直角<鈍角<平角<周角”來比較大小.角的和、差、倍、分內容角的和差如圖4-3.2-4.（1）∠AOC是∠AOB與∠BOC的和，記作∠AOC=∠AOB+∠BOC；（2）∠AOB是∠AOC與∠BOC的差，記作∠AOB=∠AOC-∠BOC圖4-3.2-4角的倍分如圖4-3.2-5.(1)如果2個∠1的和是∠2，那么∠2是∠1的2倍或∠1是∠2的，記作∠2=2∠1或∠1=∠2；

(2)如果3個∠1的和是∠3，那么∠3是∠1的3倍或∠1是∠3的，記作∠3=3∠1或∠1=∠3圖4-3.2-5知識解讀（1）角的和、差是指角的度數的和、差；（2）因為度、分、秒是60進制的，所以在角度的運算中要注意單位的換算；（3）初中數學中角的度數是非負數，所以在角的運算過程中不能出現負值例2用一副三角尺，你能畫出哪些大于0°而小于180°的角？

解：用一副三角尺可直接畫出的角有30°，45°，60°和90°.

因為15°=45°-30°(或60°-45°)，所以可采用一副三角尺畫出15°的角.圖4-3.2-6具體操作步驟：如圖4-3.2-6，先用含45°角的三角尺畫出45°的∠AOB，再在∠AOB的內部用含30°角的三角尺畫出30°的∠AOC，則∠BOC=15°.同理，因為75°=45°+30°,105°=45°+60°,120°=60°+60°,135°=45°+90°,150°=90°+60°,165°=180°-45°+30°，所以用一副三角尺可以畫出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°的角.

一副三角尺上的角都是特殊角，將這些角進行加減運算，可得到其他的角，也就是一副三角尺可畫出的角.角的平分線內容角的平分線一般地，從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫作這個角的平分線知識解讀(1)角平分線是一條射線；(2)因為角平分線把角分成兩個相等的角，所以在滿足∠AOB=2∠AOM=2∠BOM的情況下可斷定OM一定是∠AOB的平分線;(3)角平分線和線段的中點有很多相似之處，如中點和角平分線都可以通過測量或折疊得到巧記樂背角平分線是射線，角的頂點是端點；位置總在角內部，把角等分是特點.角的三等分線和四等分線如果射線OP，OC在∠AOB的內部，且∠BOC=∠COP=∠AOP=∠AOB，那么OP，OC是∠AOB的三等分線；如果射線OM，ON，OQ在∠AOB的內部，且∠BOM=∠MON=∠NOQ=∠AOQ=∠AOB，那么OM，ON，OQ是∠AOB的四等分線.例3如圖4-3.2-7，已知OC平分∠BOD，且∠BOC=20°，OB是∠AOD的平分線，求∠AOD的度數.圖4-3.2-7解：因為OC平分∠BOD，且∠BOC=20°，所以∠BOD=2∠BOC=2×20°=40°.又因為OB是∠AOD的平分線，所以∠AOD=2∠BOD=2×40°=80°.

已知OB是∠AOC的平分線，則可得（1）∠AOB=∠BOC=∠AOC；（2）∠AOC=2∠AOB=2∠BOC，在解題時要靈活運用其關系.關于角的和差的無圖計算題，未進行分類討論而漏解例4已知∠AOB=20°，∠BOC=30°，求∠AOC的度數.圖4-3.2-8解：本題有兩種情況：當OB在∠AOC的內部時，如圖4-3.2-8（1），∠AOC=∠AOB+∠BOC=20°+30°=50°；當OB在∠AOC的外部時，如圖4-3.2-8（2），∠AOC=∠BOC-∠AOB=30°-20°=10°.綜上所述，∠AOC的度數為50°或10°.

本題易只考慮到一種情況，僅得到∠AOC=50°，或僅得到∠AOC=10°.對角平分線的概念理解不透徹而導致錯誤例5如果∠AOB=2∠BOC，那么OC一定是∠AOB的平分線嗎？圖4-3.2-9

解：當∠AOB=2∠BOC=2∠AOC時，如圖4-3.2-9（1），OC是∠AOB的平分線；而只有條件∠AOB=2∠BOC時，OC不一定是∠AOB的平分線，如圖4-3.2-9（2）.

本題易受思維定式的影響，根據題干畫圖只畫出了第一種情況，誤以為OC一定是∠AOB的平分線.題型一角的大小比較6例6如圖4-3.2-10，解答下列問題：(1)比較∠FOD與∠FOE的大小；(2)借助三角尺比較∠DOE與∠BOF的大小；(3)借助量角器比較∠AOE與∠DOF的大小.圖4-3.2-10思路導圖(1)根據疊合法進行比較(3)利用量角器分別量得∠AOE與∠DOF的度數,進而比較大小(2)利用三角尺量得∠DOE>45°,∠BOF<45°,進而得出結論解：（1）∠FOD<∠FOE.(2)用含有45°角的三角尺比較，可得∠DOE>45°，∠BOF<45°，所以∠DOE>∠BOF.(3)用量角器量，得∠AOE=30°，∠DOF=30°，所以∠AOE=∠DOF.方法點撥：

本題用了三種方法比較角的大小，一般需根據具體情況選擇合適的方法來比較.疊合法在具體運用時不是很方便，因此在某些情況下，常利用題圖中的“同邊”構造疊合法.題型二角的代數計算例7計算：（1）48°39′+67°31′；（2）78°-47°34′56″；（3）22°16′×5；（4）42°15′÷5.解：（1）48°39′+67°31′=115°70′=116°10′.（2）78°-47°34′56′′=77°59′60′′47°34′56′′=30°25′4′′.（3）22°16′×5=22°×5+16′×5=110°80′=111°20′.（4）42°15′÷5=8°+2°15′÷5=8°+135′÷5=8°27′.方法點撥：

在進行角的加減運算時，應把度與度、分與分、秒與秒分別相加減，并在運算中注意進位或借位的進率都是60；當角度乘某數時，要分別與度、分、秒相乘，然后按進率60整理相乘結果；當角度除以某數時，要先把度相除并把余數化為分，再與分相除并把余數化為秒，最后與秒相除.題型三幾何圖形中角的和、差、倍、分計算例8如圖4-3.2-11，∠DOE∶∠BOE=1∶2，∠DOC∶∠COA=1∶2，如果∠AOB=120°，那么∠COE是多少度？圖4-3.2-11解：因為∠DOE∶∠BOE=1∶2，∠DOE+∠BOE=∠BOD，所以∠DOE=∠BOD.因為∠DOC∶∠COA=1∶2，∠DOC+∠COA=∠AOD，所以∠DOC=∠AOD.因為∠AOB=∠AOD+∠BOD=120°，所以∠COE=∠DOE+∠DOC=∠BOD+∠AOD=（∠BOD+∠AOD）=∠AOB=40°.方法點撥：

在幾何圖形中進行角的計算時，首先仔細觀察圖形，弄清各角之間的和、差、倍、分關系；然后看根據已知角的度數能否直接求出未知角的度數，若能可直接計算，若不能可將角的和差作為一個整體，如此題，不能單獨求出∠BOD和∠AOD的度數，將“∠BOD+∠AOD”作為整體，便找到了其與已知∠AOB的關系，進而求出結果.題型四求折疊圖形中角的度數例9如圖4-3.2-12，把一張長方形的紙片ABCD沿EF折疊后，點D，C分別落在點D′，C′的位置上，ED′與BC的交點為G，若∠EFG=55°，求∠GFC′的度數.圖4-3.2-12思路導圖由∠EFG=55°，∠EFG與∠EFC的和是180°，可求得∠EFC的度數求出∠EFC′與∠EFG的差，便得∠GFC′的度數由折疊的性質，可知∠EFC與∠EFC′的度數相等解：因為∠EFG=55°，∠EFG+∠EFC=180°，所以∠EFC=180°-∠EFG=180°-55°=125°.由折疊的性質知∠EFC′=∠EFC=125°.所以∠GFC′=∠EFC′-∠EFG=125°-55°=70°.

把一張紙片沿某條直線折疊，則出現兩個相互重合的角，這個現象說明：如果把折疊后互相重合的兩個角展開并看成一個角，那么折痕是這個角的平分線，這是折疊圖形的一個顯著特點，求折疊圖形中角的度數時常利用這個特點.知識鏈接解讀中考：

本節內容在中考中的考點主要有：（1）角的大小比較，一般結合圓周角（后面學習）考查，單獨命題的幾率很小；（2）角的和、差、倍、分計算，常與折疊結合考查，題型有選擇題和填空題；（3）角的平分線的定義，常融合于角的計算中，不會單獨考查.例10（浙江金華中考）足球射門，不考慮其他因素，僅考慮射點到球門AB的張角大小時，張角越大，射門越好.在圖4-3.2-14的正方形網格中，點A，B，C，D，E均在格點上，球員帶球沿CD方向進攻，最好的射點在（）A.點CB.點D或點EC.線段DE(異于端點)上一點D.線段CD(異于端點)上一點圖4-3.2-14C考點一角的大小比較解析：如圖4-3.2-15，連接BC，AC，BD，AD，AE，BE，通過測量各角的度數可知，射點在線段DE上時角最大，射點在點D右上方或點E左下方時角度較小.故選C.圖4-3.2-15例11（湖北恩施中考）已知∠AOB=70°，以O為端點作射線OC，使∠AOC=42°，則∠BOC的度數為（）

A.28°B.112°C.28°或112°D.68°C考點二角的和、差、倍、分計算圖4-3.2-17解析：如圖4-3.2-17，當點C與點C1重合時，∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°-42°=28°；當點C與點C2重合時，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°.核心素養例12

已知∠AOB=90°，OC為一條射線，OM，ON分別平分∠BOC，∠AOC，求∠MON的度數.分析：由于本題沒有指明OC在∠AOB的內部還是外部，因此應分情況討論.解：當OC在∠AOB的內部時，如圖4-3.2-18（1）.因為OM，ON分別平分∠BOC，∠AOC，所以∠COM=∠BOC，∠CON=∠AOC.因為∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，所以∠MON=∠CON+∠COM=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=45°.當OC在∠AOB的外部時，如圖4-3.2-18（2）.因為OM，ON分別平分∠BOC，∠AOC，所以∠COM=∠BOC，∠CON=∠AOC.因為∠AOB=∠BOC-∠AOC=90°，所以∠MON=∠COM-∠CON=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=45°.綜上所述，∠MON的度數為45°.圖4-3.2-18方法點撥：

當題目中沒有給出圖形時，應根據題意畫出圖形，考慮到所有可能出現的情況，分情況討論解題.余角與補角余角和補角的概念內容余角如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角補角如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角知識解讀(1)互余（補）特指兩個角之間的一種特殊關系，如果三個或三個以上的角相加等于90°（或180°）時，不能說這些角互余（補）；(2)互余（補）是指兩個角之間的數量關系，而不是位置關系，即互余（補）的兩個角可能相鄰，也可能不相鄰，還可能有一部分重合；(3)在某個圖形中，一個角可能沒有余（補）角，也可能有一個或多個余（補）角；(4)若兩個角互余，則這兩個角一定都是銳角；若兩個角互補，則這兩個角可能都是直角，也可能是一個銳角和一個鈍角巧記樂背余角補角不孤獨，它們總是成對出；和為直角稱互余，和為平角稱互補.例1如圖4-3.3-1，O是直線AB上的一點，∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°.(1)圖中互為余角的角有幾對？各是哪些？(2)∠1的余角是哪個？(3)∠1的補角是哪個？圖4-3.3-1解：（1）因為∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°，所以∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°.所以圖中互為余角的角有4對，分別是∠1與∠2，∠3與∠4，∠2與∠3，∠1與∠4.(2)由∠1+∠2=90°，∠1+∠4=90°，得∠1的余角是∠2和∠4.（3）由∠1+∠BOD=180°，得∠1的補角是∠BOD.

不要認為互余或互補的角一定是相鄰的角，事實上，互余或互補的角對位置沒有任何要求.余角和補角的性質內容余角的性質同角（等角）的余角相等補角的性質同角（等角）的補角相等知識解讀（1）得到余（補）角的性質的依據是等式的基本性質——等式的傳遞性；（2）同角的余（補）角相等指的是三個角之間的關系，等角的余（補）角相等指的是四個角之間的關系巧記樂背同、等角的余角相等，同、等角的補角相等；運用的依據都相同，圖形之中找等角.例2如圖4-3.3-2，直線AB與∠COD的兩邊OC，OD分別相交于點E，F，∠1+∠2=180°，找出圖中與∠2相等的角，并說明理由.分析：圖中連同∠1和∠2在內總共有9個角(小于平角的角)，∠2是個銳角，∠1，∠5，∠6，∠8是鈍角，這4個角顯然不可能與∠2相等，再逐一判斷∠3，∠4，∠7，∠O是否與∠2相等即可.圖4-3.3-2解：∠2=∠7，∠2=∠4，∠2=∠3.理由如下：因為∠2+∠8=180°，∠7+∠8=180°（平角的定義），所以∠2=∠7（同角的補角相等）.因為∠1+∠3=180°（平角的定義），∠1+∠2=180°（已知），所以∠2=∠3（同角的補角相等）.因為∠1+∠4=180°（平角的定義），∠1+∠2=180°（已知），所以∠2=∠4（同角的補角相等）.“同角（等角）的余角相等”、“同角（等角）的補角相等”是推得兩角相等的常用方法，實質上還是等式性質及等量代換的運用，只不過在特定的情況下使用起來更簡捷.方位角內容方位角為了準確地表示出方向，就要借助角的表示方式，通常以正南、正北方向為基準，配以偏東或偏西的角度來描述物體所在的方向，這種方法叫作方位角描述法知識解讀畫圖標準：一般按“上北下南，左西右東”.表示格式：南（北）偏東（西）××度.特殊情況：知識解讀①只用東、西、南、北四個方向中的任意一個方向表示時分別在其前面加“正”，如正東、正西、正南、正北；②習慣上北偏東45°用東北表示，北偏西45°用西北表示，南偏東45°用東南表示，南偏西45°用西南表示.巧記樂背方位角表示方向，習慣南、北放在前；多用偏字表旋轉，測得度數知方向.例3如圖4-3.3-3，根據A，B，C，D，E各點在圖中的方位填空.圖4-3.3-3（1）射線OA表示______________________；（2）射線OB表示______________________；（3）射線OC表示______________________；（4）射線OD表示______________________；（5）射線OE表示_______________________.解析：圖中各射線的方向可分為三類：射線OE，OC，OD為一類，表示形式為“×偏×”，其中注意OC與OD中角度的轉化；射線OB，射線OA各為一類.正南方向北偏西45°或西北方向南偏西60°方向南偏東70°方向北偏東30°方向誤認為多個角的和為90°或180°時，也稱其為互余或互補例4如圖4-3.3-4，O是直線AB上一點，趙敏說：“因為∠1，∠2，∠3，∠4四個角組成一個平角，所以它們互為補角.”你認為這種說法正確嗎？為什么？圖4-3.3-4

解：這種說法不正確.因為補角特指兩個角之間的一種特殊關系.根據補角的概念可知，當多個角的和等于180°時，不能稱其互為補角.

若不理解補角特指兩個角之間的一種特殊關系，本題易誤認為正確.根據余（補）角的性質尋找相等的角，考慮問題不全面例5如圖4-3.3-5，AB與CD交于點O，且∠AOE=∠COF=90°，∠AOC=30°，則圖中30°的角還有哪幾個？圖4-3.3-5解：因為∠BOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC=180°，所以∠BOD=∠AOC=30°.又因為∠EOF+∠COE=∠AOC+∠COE=90°，所以∠EOF=∠AOC=30°.所以圖中30°的角還有∠BOD，∠EOF.

只觀察∠AOC與∠BOD是∠BOC的補角，根據同角的補角相等得出答案，未考慮∠AOC與∠EOF是∠COE的余角，從而造成漏解.對方位角的概念理解不清楚例6圖4-3.3-6如圖4-3.3-6，從點B看點A，點A所在的方向為（

）

A.南偏東58°B.北偏西32°C.南偏東32°D.東偏南58°解析：根據題意，可知點B是基準點，則點A的方位角是58°的余角，即南偏東32°.故選C.C

錯解：①不理解方位角是哪個角而誤選A；②不理解方位角的表示形式具有規定性而誤選D；③不理解A，B兩點中哪個點是基準點而誤選B.易錯總結例7（1）已知∠α=50°17′，求∠α的余角和補角；（2）已知∠α的余角是65°17′46″，求∠α及∠α的補角.題型一有關余角和補角的計算

角度a

求一個角的余角或補角解：(1)因為90°-50°17′=39°43′，180°-50°17′=129°43′，所以∠α的余角是39°43′，補角是129°43′.(2)因為90°-65°17′46″=89°59′60″-65°17′46″=24°42′14″，180°-24°42′17″=179°59′60″-24°42′14″=155°17′46″，所以∠α是24°42′14″，∠α的補角是155°17′46″.

已知一個角求其余角或補角時，根據余角或補角的概念直接計算即可，但要注意相減時要度、分、秒分別相減，并注意角度單位的進制.方法點撥：角度b余角和補角的綜合運算例8一個角的余角比這個角的補角的一半小30°，求這個角的度數.思路導圖根據“余角=補角的一半-30°”，列出方程并求解設這個角為x°,則其余角為(90-x)°,其補角為(180-x)°解：設這個角為x°，則這個角的余角為(90-x)°，補角為(180-x）°.由題意，得90-x=×(180-x)-30，解得x=60.答：這個角的度數是60°.

解決有關余角、補角的問題時，一般都是先設未知數，再由題意列出方程，最后求出結果.注意要充分利用余角、補角這兩個條件.方法點撥：例9星期六，樂樂和同學們去公園游玩，在虎山上玩得非常開心，但回來后忘記了虎山在公園里所在的位置，只記住了大門和游樂場的位置（如圖4-3.3-7），根據同學們的回憶得到下列信息：(1)大象館在游樂場的正北方向；(2)虎山在大象館的北偏西66°的方向上；(3)虎山在大門的北偏西32°的方向上；(4)大象館在大門的東北方向.題型二利用方位角確定點的位置圖4-3.3-7思路導圖根據信息(1)(4)確定出大象館的位置

根據信息(2)(3)確定出虎山的位置解：能.方法如下：(1)先過大門這個點沿東北方向畫射線，再過游樂場這個點沿正北方向畫射線，兩條射線的交點即為大象館的位置.(2)先過大門這個點沿北偏西32°方向畫射線，再過大象館這個點沿北偏西66°方向畫射線，兩條射線的交點即為虎山的位置，如圖4-3.3-8.圖4-3.3-8

用方位角確定位置時，首先要弄清觀測點，然后確定觀測點的東南西北方向，根據方位角的含義來確定.僅靠一個方位角只能確定點的方向而不能確定點的位置，但兩個方位角可以確定點的位置.方法點撥：例10如圖4-3.3-9(1)，∠AOB和∠COD都是直角.(1)試猜想，∠AOD和∠BOC在數量上是否存在相等、互余或互補關系？說明理由.(2)當∠COD繞點O旋轉到圖4-3.3-9(2)的位置時，你的猜想還成立嗎？說明理由.題型三探究角與角之間的關系圖4-3.3-9解：(1)∠AOD和∠BOC互補.理由如下：因為∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+∠BOD,所以∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC.又因為∠BOD+∠BOC=∠COD=90°，所以∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°.故∠AOD和∠BOC互補.故∠AOD和∠BOC互補.(2)∠AOD和∠BOC互補仍然成立.理由如下：因為∠AOB和∠COD都是直角，所以