第50講排列組合一．選擇題（共6小題）1．（2021春?夏津縣校級期中）有5個不同的小球，裝入4個不同的盒內，每盒至少裝一個球，共有不同的裝法．A．240 B．120 C．600 D．360【解答】解：第一步從5個球中選出2個組成復合元共有種方法．第二步，再把4個元素裝入4個不同的盒內有種方法，根據分步計數原理裝球的方法共有種方法．故選：．2．（2021?鐵東區校級三模）已知5輛不同的白顏色和3輛不同的紅顏色汽車停成一排，則白顏色汽車至少2輛停在一起且紅顏色的汽車互不相鄰的停放方法有A．1880 B．1440 C．720 D．256【解答】解：由題意可知，白顏色汽車按3，2分為2組，先從5輛白色汽車選3輛全排列共有種，再將剩余的2輛白色汽車全排列共有種，再將這兩個整體全排列，共有種，排完后有3個空，3輛不同的紅顏色汽車插空共有種，由分步計數原理得共有有種，故選：．3．（2021春?杭州月考）有來自甲乙丙三個班級的5位同學站成一排照相，其中甲班2人，乙班2人，丙班1人，則僅有一個班級的同學相鄰的站法種數有A．96 B．48 C．36 D．24【解答】解：根據題意，分2種情況討論：①，甲班的2名同學相鄰，先將這2名同學看成一個整體，考慮2人之間的順序，有種情況，將這個整體與丙班的1人全排列，有種情況，排好后有3個空位可用，在3個空位中任選2個，安排乙班的2人，有種情況，則甲班的2名同學相鄰的站法有種；②，乙班的2名同學相鄰，同理有24種站法；則僅有一個班同學有的相鄰站法有48種；故選：．4．（2021春?張家港市期中）5名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法共有A．60種 B．90種 C．150種 D．240種【解答】解：根據題意，分2步進行分析：①將5名同學分為3組，若分為1、2、2的三組，有種分組方法，若分為1、1、3的三組，有種分組方法，則有種分組方法，②將分好的三組安排到3個小區，有種情況，則有種不同的安排方法，故選：．5．（2021?西湖區校級模擬）將8本不同的書全部分發給甲、乙、丙三名同學，每名同學至少分到一本，若三名同學所得書的數量各不相同，且甲同學分到的書比乙同學多，則不同的分配方法種數為A．1344 B．1638 C．1920 D．2486【解答】解：8本不同的書全部分發給甲、乙、丙三名同學，每名同學至少分到一本，若三名同學所得書的數量各不相同，則有，2，，，3，兩種分組的方法，由于甲同學分到的書比乙同學多，當乙分的1本時，此時的種數為當丙分的1本時，此時的種數為，故不同的分配方法種數為種，故選：．6．（2021?鎮海區校級模擬）在新冠病毒疫情爆發期間，口罩成為了個人的必需品．已知某藥店有4種不同類型的口罩，，，，其中型口罩僅剩1只（其余3種庫存足夠）．今甲、乙等5人先后在該藥店各購買了1只口罩，統計發現他們恰好購買了3種不同類型的口罩，則所有可能的購買方式共有A．330種 B．345種 C．360種 D．375種【解答】解：根據題意可能的購買方式有如下兩種：①5人中有人購買型口罩，有種購買方式；②5人中沒有人購買型口罩，有種購買方式；綜合①②知共有種購買方式．故選：．二．填空題（共24小題）7．（2021春?湖南月考）從1，3，5，7中任取2個數字，從0，2，4，6中任取2個數字，一共可以組成396個沒有重復數字的四位偶數．（用數字作答）【解答】解：根據題意，分2種情況討論：①從0，2，4，6中任取2個數字中沒有0，有個四位偶數；②從0，2，4，6中任取2個數字中含有0，有個四位偶數；則有個四位偶數；故答案為：396．8．（2021?西湖區校級模擬）某公司有9個連在一起的停車位，現有5輛不同型號的轎車需停放，若停放后恰有3個空車位連在一起，則不同的停放方法有3600種．【解答】解：根據題意，某公司有9個連在一起的停車位，現有5輛不同型號的轎車需停放，則有4個空位：分2步進行分析：①，5輛不同型號的車需停放，共有種方法，②，要求剩余的4個車位中恰有3個連在一起，利用插空法，有種方法，則不同的停放方法有種；故答案為：3600．9．7人排隊，其中甲、乙、丙3人順序一定，共有840不同的排法．【解答】解：根據題意，假設有7個位置，對應7個人，先在7個位置中任取4個，安排除甲、乙、丙之外的4人，有種情況，由于甲、乙、丙3人順序一定，在剩余3個位置安排3人即可，有1種情況，則共有種不同的排法；故答案為：840．10．（2021春?徐匯區校級期末）7個人站成一排，其中甲一定站在最左邊，乙和丙必須相鄰，一共有240種不同的排法．【解答】解：由題意知本題是一個排列組合及簡單計數問題，甲要站在最左邊，剩下6個位置，6個人排列，乙和丙必須相鄰，把乙和丙看成一個元素，同另外4個人排列，乙和丙之間也有一個排列，根據乘法原理知共有種結果，故答案為：24011．把6名學生分到一個工廠的三個車間實習，每個車間2人，若甲必須分到一車間，乙和并不能分到三車間，則不同的分法有9種．【解答】解：先安排進二車間實習的人，有種方法，再安排進一車間的人有種方法，余下的2人進三車間．所以共有種分法．故答案為：912．（2021?浙江二模）給如圖染色，滿足條件每個小方格染一種顏色，有公共邊的小方格顏色不能相同，則用4種顏色染色的方案有252種，用5種顏色染色的方案共有種．【解答】解：（1）根據題意，若用4種顏色染色時，先對、區域染色有種，再對染色：①當同時，有種；②當同時，有種；③當不同、時，有種；綜合①②③共有種．（2）根據題意，若用5種顏色染色時，先對、區域染色有種，再對染色：①當同時，有種；②當同時，有種；③當不同、時，有種；綜合①②③，共有種．故填：252，1040．13．從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的六個面染色，每個面恰染一種顏色，每兩個具有公共棱的面染成不同的顏色．則不同的染色方法共有230種．（注：如果我們對兩個相同的正方體染色后，可以通過適當的翻轉，使得兩個正方體的上、下、左、右、前、后六個對應面的染色都相同，那么，我們就說這兩個正方體的染色方案相同．【解答】解：由題意，至少3種顏色：6種顏色全用：上面固定用某色，下面可有5種選擇，其余4面有種方法，共計30種方法；用5種顏色：上下用同色：6種方法，選4色：；種方法；．用4種顏色：種方法．用3種顏色：種方法．共有230種方法故答案為：230．14．（2021?寧波期末）如圖，對“田”字型的四個格子進行染色．每個格子均可從紅、黃、藍三種顏色中選一種，每個格子只染一種顏色，且相鄰的格子不能都染紅色，則滿足要求的染色方法有56種．【解答】解：根據題意，分3種情況討論：①，若4個格子中沒有一格染紅色，每格都染黃或藍，有種不同染法：②，若4個格子中恰有一格染紅色，4格中選一格染紅，其余3格染黃或藍，有種不同染法；③，若4個格子中恰有兩格染紅色，有2種情況，其余2格染黃或藍，有種不同所以不同染法．共有56種染法，故答案為：56．15．（2021春?孝南區校級期中）正五邊形中，若把頂點、、、、染上紅、黃、綠、黑四種顏色中的一種，使得相鄰頂點所染顏色不相同，則不同的染色方法共有276種．【解答】解：由題意知本題需要分類來解答，首先選取一種顏色，有4種情況．如果的兩個相鄰點顏色相同，3種情況；這時最后兩個邊有種情況；如果的兩個相鄰點顏色不同，種情況；這時最后兩個邊有種情況．方法共有種．故答案為：27616．從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數中取出3個數，使其和為不小于10的偶數，不同的取法有51種．【解答】解：從這10個數中取出3個偶數的方法有種，取出1個偶數，2個奇數的方法有種，而取出3個數的和為小于10的偶數的方法有，2，，，2，，，1，，，1，，，1，，，3，，，1，，，1，，，1，，共有9種，故不同的取法有種故答案為：5117．（2021春?麗水期末）某城市街區如圖所示，其中實線表示馬路，如果只能在馬路上行走，則從點到點的最短路徑的走法有7種．【解答】解：要從點到點，至少需要走2條向下的路和3條向右的路，若下圖，我們只需要從這5步路中選出其中2步走向下的路即可走到點，故有條最短路徑，要從點到點，至少需要走1條向下的路和2條向右的路，只需要從這3步路中選出其中1步走向下的路即可走到點，故有條最短路徑故從點到點的最短路徑的走法有種，故答案為：718．（2021春?田家庵區校級期中）來自甲、乙、丙三個班的5名同學站成一排照相，其中甲班有2人，乙班有2人，丙班有1人，僅有一個班同學有的相鄰站法有48種．【解答】解：根據題意，分2種情況討論：①，甲班的2名同學相鄰，先將這2名同學看成一個整體，考慮2人之間的順序，有種情況，將這個整體與丙班的1人全排列，有種情況，排好后有3個空位可用，在3個空位中任選2個，安排乙班的2人，有種情況，則甲班的2名同學相鄰的站法有種；②，乙班的2名同學相鄰，同理有24種站法；則僅有一個班同學有的相鄰站法有48種；故答案為：48．19．（2021?浙江期中）高三年級有3名男生和3名女生共六名學生排成一排照相，要求男生互不相鄰，女生也互不相鄰，且男生甲和女生乙必須相鄰，則這樣的不同排法有40種（用數字作答）．【解答】解：根據題意，分2種情況討論：①，六名學生按男女男女男女排列，若男生甲在最左邊的位置時，女生乙只能在其右側，有1種情況，剩下的2名男生和女生都有種情況，此時有種安排方法，若男生甲不在最左邊的位置時，女生乙可以在其左側與右側，有2種情況，剩下的2名男生和女生都有種情況，此時有種安排方法；則此時有種安排方法；②，六名學生按女男女男女男排列，同理①，也有20種安排方法，則符合條件的安排方法有種；故答案為：40．20．（2021?浙江模擬）將，，，，，六個字母排成一排，其中，相鄰，且，在，的兩側，則不同的排法共有80種．（用數字作答）【解答】解：根據題意，分3步進行分析：①，相鄰，將看成一個整體，考慮其間的順序，有2種情況，②將，安排在，的兩側，有2種情況，③四人排好后，有4個空位可用，在4個空位中任選一個，安排，有4種情況，五人排好后，有5個空位可用，在5個空位中任選一個，安排，有5種情況，則有種情況，故答案為：8021．（2021?椒江區校級模擬）某學校將一塊長方形空地分成如圖所示的八塊，計劃在這八塊空地上種花．已知空地1，2上已經種了花，其余空地需從，，，，這5種花中選擇若干種進行種植，要求每塊空地只種一種花，且有公共頂點的兩塊空地種的花不能相同，則不同的種植方案有1080種．【解答】解：若選用4種花，則不同的種植方案有種，若選用5種花，則不同的種植方案有種，故不同的種植方案共有種，故答案為：1080．22．（2021?溫州模擬）有10個相同的小球，現全部分給甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，則他們所得的球數的不同情況有15種．【解答】解：先將6個球按甲1個，乙2個，丙3個進行分派；剩余的4個球隨機的分派給三個人，每個人可分可不分球；相當于四個完全一樣的東西形成的六個空中插入兩個隔板；即有種；故他們所得的球數的不同情況有15種．故答案為：15．23．（2012春?南崗區校級月考）5本不同的書，分給三名同學，每人至少一本，則不同的分配方法種數為150．【解答】解：將5本不同的書分成滿足題意的3組有1，1，3與2，2，1兩種，分成1、1、3時，有種分法，分成2、2、1時，有種分法，所以共有種方案，故答案為：150．24．（2021春?渝中區校級期中）方程的非負整數解共有78組．【解答】解：根據題意，對于方程，將11看成11個“1”，11個“1”中間有12個空，從12個空中選兩個空進行插板，或從12個空中選1個空插2個板，即可以將11個“1”分為三組，每一組對應“1”的數目，依次為、、的數值，則有種分組方法，方程的非負整數解有78組，故選：78．25．（2021春?河西區期中）現用5種顏色，給圖中的5個區域涂色，要求相鄰的區域不能涂同一種顏色，則不同的涂色方法共有420．【解答】解：可以同色的區域為，，若都不同色，則有，若只有同色，則有，若只有同色，則有，若，兩個同色，則有，共有，故答案為：420．26．（2004?浦東新區校級模擬）將紅、黃、綠三種不同的顏色均涂入圖中五個區域中，每個區域涂一種顏色，且相鄰的區域不能涂同一種顏色，不同的涂色方法共有42種．（三種顏色必須用全，以數字作答）【解答】解：由題意，不妨從左至右按編號，由于三種顏色必須用全，第一步涂一號有三種涂法，第二步涂二號有二種涂法第三步涂三號時可分為兩類研究，若三號與一號同則后兩框必一框涂色與一號二號不同，與若三號與一號不同，由于三種顏色已全部用上，故后兩框涂色只需要滿足同色不相鄰即可故總的涂色方法為種故答案為4227．（2017春?和平區期末）一名同學想要報考某大學，他必須從該校的7個不同專業中選出5個，并按第一志愿、第二志愿、第五志愿的順序填寫志愿表．若專業不能作為第一、第二志愿，則他共有1800種不同的填法（用數字作答）．【解答】解：根據題意，分2步進行分析：①、由于專業不能作為第一、第二志愿，需要在除之外的6個專業中，任選2個，作為第一、二志愿，有種填法，②、第一二志愿填好后，在剩下的5個專業中任選3個，作為第三四五志愿，有種填法，則該學生有種不同的填法；故答案為：1800．28．（2021?西湖區校級模擬）杭州亞運會啟動志愿者招募工作，甲、乙等6人報名參加了，，三個項目的志愿者工作，因工作需要，每個項目僅需1名志愿者．若甲不能參加，項目，乙不能參加，項目，那么共有52種不同的選拔志愿者的方案．（用數字作答）【解答】解：根據題意，分4種情況討論：①甲乙都不參加志愿活動，在剩下4人中任選3人參加即可，有種選拔方法，②甲參加乙不參加志愿活動，甲只能參加項目，在剩下4人中任選2人參加、項目即可，有種選拔方法，③乙參加甲不參加志愿活動，乙只能參加項目，在剩下4人中任選2人參加、項目即可，有種選拔方法，④甲乙都參加志愿活動，甲只能參加項目，乙只能參加項目，在剩下4人中任選1人參加項目，有種選拔方法，則有種選拔方法；故答案為：5229．（2021?海淀區校級三模）從4男2女共6名學生中選出隊長1人、副隊長1人、普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有168種不同的選法．（用數字作答）【解答】解：根據題意，分2步進行分析：①，先從4男2女共6名學生選出4人，要求至少有1名女生，有種情況，②，在選出的4人中任選1人，作為隊長，剩余3人中選出1人作為副隊長，剩下2人作為隊員，有種情況，則有種不同的選法；故答案為：168．30．某校選定甲、乙、丙、丁、戊共5名教師去3個邊遠地區支教（每地區至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必須同地，則不同的選派方案共有30種．【解答】解：因為甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2、2、1和3、1、1兩種分配方案，①2、2、1方案：甲、丙為一組，從余下3人選出2人組成一組，然后排列：共有：種；②3、1、1方案：在丁、戊中選出1人，與甲丙組成一組，然后排列：共有：種；所以，選派方案共有種．三．解答題（共10小題）31．現有8個人男3女）站成一排．（1）女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？（2）其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？（3）其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？（4）其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？（5）其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相鄰，有多少種不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少種不同排法？（8）第3和第6個排男生，有多少種不同排法？（9）甲乙不能排在前3位，有多少種不同排法？女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？【解答】解：（1）根據題意，先將3名女生看成一個整體，考慮三人之間的順序，有種情況，將這個整體與5名男生全排列，有種情況，則女生必須排在一起的排法有種；（2）根據題意，甲必須站在排頭，有1種情況，將剩下的7人全排列，有種情況，則甲必須站在排頭有種排法；（3）根據題意，將甲乙兩人安排在中間6個位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，則甲、乙兩人不能排在兩端有種排法；（4）根據題意，先將出甲乙之外的6人全排列，有種情況，排好后有7個空位，則7個空位中，任選2個，安排甲乙二人，有種情況，則甲、乙兩人不相鄰有種排法；（5）根據題意，將8人全排列，有種情況，其中甲在乙的左邊與甲在乙的右邊的情況數目相同，則甲在乙的左邊有種不同的排法；（6）根據題意，先將出甲乙丙之外的5人全排列，有種情況，排好后有6個空位，則6個空位中，任選3個，安排甲乙丙三人，有種情況，其中甲乙丙不能彼此相鄰有種不同排法；（7）根據題意，先將3名女生看成一個整體，考慮三人之間的順序，有種情況，再將5名男生看成一個整體，考慮5人之間的順序，有種情況，將男生、女生整體全排列，有種情況，則男生在一起，女生也在一起，有種不同排法；（8）根據題意，在5個男生中任選2個，安排在第3和第6個位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，則第3和第6個排男生，有種不同排法；（9）根據題意，將甲乙兩人安排在后面的5個位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，甲乙不能排在前3位，有種不同排法；根據題意，將5名男生全排列，有種情況，排好后除去2端有4個空位可選，在4個空位中任選3個，安排3名女生，有種情況，則女生兩旁必須有男生，有種不同排法．32．把6名實習生分配到7個車間實習，共有多少種不同的分法？【解答】解：6名實習生分配到7個車間實習，每名實習生有7種分配方法，共有種不同的分法．33．8人排成兩排，每排4人，下列各有多少種不同的排法？（1）甲、乙在前排兩端，丙在后排左端；（2）甲、乙在前排，丙在后排．【解答】解：（1）先排前排，除甲乙丙外選2人排在甲乙之間，再排后排，丙在后排左端，把剩下的3人全排列，故有種；（2）先排前排，除甲乙丙外選2人和甲乙全排列，再排后排，丙和剩下的3人全排列，故有種；34．設有99本不同的書（用排列數、組合數作答）．（1）分給甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少種不同的分法？（2）分給甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少種不同的分法？（3）平均分給甲、乙、丙3人，共有多少種不同的分法？（4）分給甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少種不同的分法？（5）分給甲、乙、丙3人，一人得93本，另兩人各得3本，共有多少種不同的分法？（6）分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少種不同的分法？（7）平均分成3份，共有多少種不同的分法？（8）分成3份，一份93本，另兩份各3本，共有多少種不同的分法？【解答】解：（1）甲得96本，有方法種；乙得2本，有方法種；丙得1本．有方法1種，不同的分法共有（種；（2）與（1）類似，不同的分法共有（種；（3）不同的分法共有種；（4）先把99本不同的書分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；再將甲、乙、丙3人全排列，這是因為3人中誰都有得到96本、2本、1本的可能，不同的分法共有（種；（5）99本不同的書，分給甲、乙、丙3人，一人得93本，另兩人各得3本，3人中，誰都有得到93本的可能，不同的分法共有（種．（6）99本不同的書，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的數量互不相同，不同的分法共有（種；（7）99本不同的書，平均分成3份，每份33本．本問題是典型的平均分組問題，要排除重復，不同的分法共有（種；（8）99本不同的書，分成3份，一份93本，另兩份各3本，兩份3本的有重復，不同的分法共有（種．35．本4本不同的書，下列情況各有多少種不同的分法？（1）分成2堆，一堆1本，一堆3本；（2）分成2堆，每堆2本．【解答】解：（1）由題意可得，；（2）由題意可得，．36．（1）4本不同的書平均分成2堆，有多少種不同的分法？平均分給2個人有多少種不同的分法？（2）4本不同的書分成2堆，每堆至少1本，有多少種不同的分法？分給2個人，每人至少1本，有多少種不同的分法？【解答】解：4本不同的書平均分成2堆，有（種分法；4本不同的書平均分給2個人，先分組有（種分法，將分好的2組全排列，對應2個人，有（種情況，則有（種不同的分法．（2）4本不同的書分成2堆，每堆至少1本，有2種情況：1本和3本，各2本，因此共有（種分法，分配給2個人，每人至少1本，有（種分法．37．有12本不同的書．（1）分給甲、乙、丙、丁四人，每人3本，有幾種分法？（2）若4堆依次為1本，3本，4本，4本，有幾種分法？（3