2022年湖南省長沙市第三十一中學高三數學文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了解該單位職工的心理狀況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為（）A．7 B．15 C．35 D．25參考答案：B【考點】分層抽樣方法．【專題】概率與統計．【分析】根據分層抽樣的定義進行求解即可．【解答】解：設樣本容量為n，則由題意得，解得n=15，故選：B【點評】本題主要考查分層抽樣的應用，比較基礎．2.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若，且A、B、C三點共線(該直線不過點O)，則S2014等于(

)A．1007

B．1008

C．2013

D．2014參考答案：A3.設函數,則（）A． B．3 C． D．參考答案：D4.已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，則a，b，c的大小關系為(

)A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a參考答案：A【考點】不等式比較大小．【專題】不等式的解法及應用．【分析】由函數y=2x在R上是增函數可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，從而得到a，b，c的大小關系【解答】解：由于函數y=2x在R上是增函數，a=21.2，b=（）﹣0.8=20.8，1.2＞0.8＞0，∴a＞b＞20=1．再由c=2log52=log54＜log55=1，可得a＞b＞c，故選A．【點評】本題主要考查指數函數、對數函數的單調性和特殊點，屬于基礎題．5.在某次數學測驗后，將參加考試的500名學生的數學成績制成頻率分布直方圖（如圖），則在該次測驗中成績不低于100分的學生數是（

）A.210 B.205 C.200 D.195參考答案：C【分析】由頻率分布直方圖，可得低于100分的人數的頻率，即可求得低于100分人數，進而求得不低于100分的人數。【詳解】由頻率分布直方圖可知，低于100分的人數的頻率為所以低于100分的人數為則不低于100分的人數為所以選C【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的簡單應用，屬于基礎題。6.已知正四棱錐P—ABCD的棱長都等于a，側棱長為,側棱PB、PD的中點分別為M、N，則截面AMN與底面ABCD所成二面角的大小為A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B7.設不等式的解集為M，函數的定義域為N，則為A[0，1]

B（0，1）

C[0，1）D（-1，0]參考答案：C8.已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1,a)，B(2,b)，且cos2α=，則|a－b|=（

）A． B． C． D．1參考答案：B解答：由可得，化簡可得；當時，可得，，即，，此時；當時，仍有此結果.

9.已知:Sinθ=

,cosθ=

(<θ<π),則tan=A.

B.5

C.

D.參考答案：答案：B10.已知函數，且在上是增函數，則實數的取值范圍是

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知sinα＝，α為第二象限角，且tan(α＋β)＝1，則

。參考答案：712.右圖表示的是求首項為-41，公差為2的等差數列前n項和的最小值得程序框圖，如果?中填，則?可填寫參考答案：【知識點】等差數列算法和程序框圖【試題解析】因為所有負數項的和最小，所以當a>0時，前n項和最小。

故答案為：13.在的展開式中，

的系數是______(用數字作答).參考答案：8414.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1且與雙曲線C的一條漸進線垂直的直線l與C的兩條漸進線分別交于M，N兩點，若，則雙曲線C的漸進線方程為

．參考答案：

15.從一副撲克牌(52張)中隨機抽取2張,則“抽出的2張不是同一花色”的概率為________.參考答案：16.拋物線y2=4x上一點A到它焦點F的距離為4，則直線AF的斜率為

．參考答案：

【考點】拋物線的簡單性質．【分析】求出拋物線的焦點坐標，設出A，利用拋物線y2=4x上一點A到它焦點F的距離為4，求出A的橫坐標，然后求解斜率．【解答】解：由題可知焦點F（1，0），準線為x=﹣1設點A（xA，yA），∵拋物線y2=4x上一點A到它焦點F的距離為4，∴點A到其準線的距離為4，∴xA+1=4，∴xA=3，∴yA=±2∴點A（3，），∴直線AF的斜率為，故答案為：．【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用，直線與拋物線的位置關系，考查計算能力．17.已知函數，若在區間(1,+∞)上函數f(x)的圖象恒在直線的圖象的下方，則實數a的取值范圍是__________．參考答案：【分析】先把圖象位置關系轉化為不等關系，即，然后利用導數求解最值可得.【詳解】設，由題意可知，在區間上恒成立；，當時，，，所以為增函數，所以有，即；當時，總存在，使得，即為減函數，不合題意；綜上可得.【點睛】本題主要考查利用導數研究函數圖象之間的位置關系，通常是轉化為不等關系，求解最值，側重考查數學建模的核心素養.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常數a＞0．（Ⅰ）當a＞2時，求函數f（x）的單調遞增區間；（Ⅱ）設定義在D上的函數y=h（x）在點P（x0，h（x0））處的切線方程為l：y=g（x），若＞0在D內恒成立，則稱P為函數y=h（x）的“類對稱點”．當a=4時，試問y=f（x）是否存在“類對稱點”，若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值．【分析】（Ⅰ）求出函數的導數，結合a的范圍求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）法一：a=4時，求出f（x）的導數，得到切線方程根據新定義問題等價于當0＜x＜x0時，f（x）＜g（x），結合函數的單調性求出即可；法二：猜想y=f（x）存在“類對稱點”，其中一個“類對稱點”的橫坐標為，然后加以證明即可．【解答】解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞），∵，∴…∵a＞2，∴，令f′（x）＞0，即，∵x＞0，∴0＜x＜1或，…所以函數f（x）的單調遞增區間是（0，1），…（Ⅱ）解法一：當a=4時，所以在點P處的切線方程為…若函數存在“類對稱點”P（x0，f（x0）），則等價于當0＜x＜x0時，f（x）＜g（x），當x＞x0時，f（x）＞g（x）恒成立．…①當0＜x＜x0時，f（x）＜g（x）恒成立，等價于恒成立，即當0＜x＜x0時，恒成立，令，則φ（x0）=0，…要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）單調遞增即可．又∵，…∴，即．…②當x＞x0時，f（x）＞g（x）恒成立時，．…∴．…所以y=f（x）存在“類對稱點”，其中一個“類對稱點”的橫坐標為．…（Ⅱ）解法二：猜想y=f（x）存在“類對稱點”，其中一個“類對稱點”的橫坐標為．…下面加以證明：當時，…①當時，f（x）＜g（x）恒成立，等價于恒成立，令…∵，∴函數φ（x）在上單調遞增，從而當時，恒成立，即當時，f（x）＜g（x）恒成立．…②同理當時，f（x）＞g（x）恒成立．…綜上知y=f（x）存在“類對稱點”，其中一個“類對稱點”的橫坐標為．…19.(12分)某籃球隊與其他6支籃球隊依次進行6場比賽，每場均決出勝負，設這支籃球隊與其他籃球隊比賽中獲勝的事件是獨立的，并且獲勝的概率均為.(1)求這支籃球隊首次獲勝前已經負了兩場的概率；(2)求這支籃球隊在6場比賽中恰好獲勝3場的概率；(3)求這支籃球隊在6場比賽中獲勝場數的期望．參考答案：20.（本小題滿分12分）ks5u已知的內角的對邊分別是,且.(1)求的值；(2)求的值.

參考答案：（1）解:∵,依據正弦定理得:,

……………1分即,解得.

……………3分(2)解:∵，

∴.

……………4分

∴.

……………5分∴,

……………6分

.

……………7分∵,∴.

……………8分∴

……………9分

……………10分

.

……………12分21.在直角坐標系xOy中，曲線C1：（為參數）.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線：.（1）求C1的普通方程和C2的直角坐標方程；（2）若曲線C1與C2交于A，B兩點，A，B的中點為M，點，求的值.參考答案：（1）的普通方程為，的直角坐標方程為；（2）3.【分析】（1）直接消去參數可得C1的普通方程；結合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ得C2的直角坐標方程；（2）將兩圓的方程作差可得直線AB的方程，寫出AB的參數方程，與圓C2聯立，化為關于t的一元二次方程，由參數t的幾何意義及根與系數的關系求解．【詳解】（1）曲線的普通方程為.由，，得曲線的直角坐標方程為.（2）將兩圓的方程與作差得直線的方程為.點在直線上，設直線