2021年遼寧省沈陽市興華實驗中學高二數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數的圖像如圖所示，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.函數從0到2的平均變化率為（

）A. B.1 C.0 D.2參考答案：A【分析】根據平均變化率的定義可得出結果.【詳解】由題意可知，函數從到的平均變化率為，故選：A.【點睛】本題考查平均變化率的概念，解題的關鍵就是利用平均變化率定義來解題，考查計算能力，屬于基礎題.3.

參考答案：C4.觀察下列各式：，則A．89 B．144 C．233 D．232參考答案：B5.復數2﹣i的共軛復數是（

）A、2+i

B、1+2i

C、﹣2﹣i

D、﹣2+i參考答案：A【考點】虛數單位i及其性質

【解析】【解答】解：復數2﹣i的共軛復數為2+i．故選：A．

【分析】利用共軛復數的定義即可得出．

6.設隨機變量X服從正態分布N（0，1），P(X>1)=p,則P(X>－1)=A、p

B、1－p

C、1－2p

D、2p參考答案：B略7.下列說法錯誤的是(

)．

(A)如果命題“”與命題“p或q”都是真命題，那么命題q一定是真命題

(B)命題p：R，，則：R，x2+2x+2>0

(C)命題“若a，b都是偶數，則a+b是偶數”的否命題是“若a，b都不是偶數，則a+b不是偶數”(D)特稱命題“R，使”是假命題參考答案：C略8.不等式對一切恒成立，則實數的取值范圍是（）A．

B．

C．

D．.參考答案：C9.法國數學家費馬觀察到，，，都是質數，于是他提出猜想：任何形如N*）的數都是質數，這就是著名的費馬猜想.半個世紀之后，善于發現的歐拉發現第5個費馬數不是質數，從而推翻了費馬猜想，這一案例說明

A．歸納推理，結果一定不正確

B．歸納推理，結果不一定正確

C．類比推理，結果一定不正確

C．類比推理，結果不一定正確參考答案：B10.若命題“”是真命題，則實數的取值范圍是（

）. . . 參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數的對稱中心為，記函數的導數為，函數的導數為，則有；反之也成立.若函數，則

.參考答案：－8050略12.已知都是定義在上的函數，且滿足以下條件：①；②；③．若，則=_______．參考答案：13.4人站成一排，其中甲乙相鄰則共有種不同的排法．參考答案：12【考點】排列、組合的實際應用．【分析】相鄰問題運用捆綁法，甲乙捆綁，再與其它2人，全排即可．【解答】解：相鄰問題運用捆綁法，甲乙捆綁，再與其它2人，全排，故甲、乙二人相鄰的不同排法共A22?A33=12種．故答案為：12．14.已知A（3，1），B（﹣4，0），P是橢圓上的一點，則PA+PB的最大值為

．參考答案：10+

【考點】橢圓的簡單性質．【分析】由題意畫出圖形，可知B為橢圓的左焦點，A在橢圓內部，設橢圓右焦點為F，借助于橢圓定義，把|PA|+|PB|的最大值轉化為橢圓上的點到A的距離與F距離差的最大值求解．【解答】解：由橢圓方程，得a2=25，b2=9，則c2=16，∴B（﹣4，0）是橢圓的左焦點，A（3，1）在橢圓內部，如圖：設橢圓右焦點為F，由題意定義可得：|PB|+|PF|=2a=10，則|PB|=10﹣|PF|，∴|PA|+|PB|=10+（|PA|﹣|PF|）．連接AF并延長，交橢圓與P，則此時|PA|﹣|PF|有最大值為|AF|=∴|PA|+|PB|的最大值為10+．故答案為：10+15.函數y=3x，x∈[1，2]的值域為_________．參考答案：

略16.橢圓(a＞b＞0)的四個頂點為A、B、C、D，若四邊形ABCD的內切圓恰好過橢圓的焦點，則橢圓的離心率e=____.參考答案：17.某單位有7個連在一起的停車位，現有3輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個空車位連在一起，則不同的停放方法有

種。參考答案：24三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.若正數項數列的前項和為，首項，點在曲線上.（1）求；（2）求數列的通項公式；（3）設,表示數列的前項和,若恒成立，求及實數的取值范圍.參考答案：略19.已知橢圓=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F2，點（1，e）和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設a＞2，B1，B2分別是線段OF1，OF2的中點，過點B1作直線交橢圓于P，Q兩點．若PB2⊥QB2，求△PB2Q的面積．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（Ⅰ）將（1，e）和代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓的方程；（Ⅱ）由a＞2，求得橢圓的方程，設PQ方程為x=my﹣1，代入橢圓方程，則由PB2⊥QB2，，利用韋達定理求得：m2=4，利用弦長公式及三角形的面積公式△PB2Q的面積．…【解答】解：（Ⅰ）因為（1，e）和在橢圓上，且，∴，…由（1）得b2=1，…帶入（2）整理得4a4﹣25a2+25=0，解得a2=5或，∴橢圓的方程為，或者．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c2=5﹣1=4，∴F1（﹣2，0），F2（2，0），B1（﹣1，0），B2（1，0）．…由題意知PQ的斜率不為0，設PQ方程為x=my﹣1，聯立方程，…設P（x1，y1），Q（x2，y2），由韋達定理得…∵，且PB2⊥QB2，則，…∴（my1﹣1）（my2﹣1）﹣（my1﹣1+my2﹣1）+1+y1y2，=（m2+1）y1y2﹣2m（y1+y2）+4，=，∴m2=4，…∴，∴，∴．…20.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=4，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖2．（1）求證：A1C⊥平面BCDE；（2）過點E作截面EFH∥平面A1CD，分別交CB于F，A1B于H，求截面EFH的面積；（3）線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE成600的角？說明理由．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【專題】空間位置關系與距離．【分析】（1）證明DE⊥平面A1CD，可得A1C⊥DE，利用A1C⊥CD，CD∩DE=D，即可證明A1C⊥平面BCDE；（2）過點E作EF∥CD交BC于F，過點F作FH∥A1C交A1B于H，連結EH，則截面EFH∥平面A1CD，從而可求截面EFH的面積；（3）假設線段BC上存在點P，使平面A1DP與平面A1BE成60°的角，建立坐標系，利用向量知識，結合向量的夾角公式，即可求出結論．【解答】（1）證明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD．又∵A1C?平面A1CD，∴A1C⊥DE．又A1C⊥CD，CD∩DE=D，∴A1C⊥平面BCDE…（2）解：過點E作EF∥CD交BC于F，過點F作FH∥A1C交A1B于H，連結EH，則截面EFH∥平面A1CD．因為四邊形EFCD為矩形，所以EF=CD=1，CF=DE=4，從而FB=2，HF=．∵A1C⊥平面BCDE，FH∥A1C，∴HF⊥平面BCDE，∴HF⊥FE，∴．…（3）解：假設線段BC上存在點P，使平面A1DP與平面A1BE成60°的角．設P點坐標為（a，0，0），則a∈[0，6]．如圖建系C﹣xyz，則D（0，1，0），A1（0，0，），B（6，0，0），E（4，1，0）．∴，．設平面A1BE法向量為，則，∴，∴，設平面A1DP法向量為，因為，．則，∴，∴．則cos＜，＞===，∴5656a2﹣96a﹣141=0，解得∵0＜a＜6，∴所以存在線段BC上存在點P，使平面A1DP與平面A1BE成60°的角．…【點評】本題考查線面平行，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．21.已知函數f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（1）求f（x）的單調區間；（2）設f（x）的最小值為g（a），求證：．參考答案：【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；6E：利用導數求閉區間上函數的最值．【分析】（1）先對函數進行求導，根據導函數大于0原函數單調遞增，導函數小于0原函數單調遞減可得答案；（2）由（1）可知，f（x）的最小值為，a＞0，構造函數設，x∈（0，+∞），利用導數研究函數的單調性和最值，即可證明結論．【解答】解：（1）由已知可得函數f（x）的定義域為（﹣1，+∞），而，∵a＞0，x＞﹣1，∴當時，f'（x）＜0，當時，f'（x）＞0，∴函數f（x）的單調遞減區間是，單調遞增區間是．

（2）由（1）可知，f（x）的最小值為，a＞0．要證明，只須證明成立．

設，x∈（0，+∞）．

則，∴φ（x）在區間（0，+∞）上是增函數，∴φ（x）＞φ（0）=0，即．取得到成立．

設ψ（x）=ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），同理可證ln（x+1）＜x．取得到成立．因此，．22.某城市理論預測2010年到2014年人口總數與年份的關系如下表所示年201Ｘ（年）01234人口數Y（十萬）5781119

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