第九節函數模型及其應用考試要求：1．在實際情景中，會選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規律．2．結合現實情景中的具體問題，理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”等術語的現實含義．一、教材概念·結論·性質重現1．常見的函數模型(1)正比例函數模型：f(x)＝kx(k為常數，k≠0)．(2)反比例函數模型：f(x)＝kx(k為常數，k(3)一次函數模型：f(x)＝kx＋b(k，b為常數，k≠0)．(4)二次函數模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)．(5)指數型函數模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數，a≠0，b>0，b≠1)．(6)對數型函數模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數，m≠0，a>0，a≠1)．(7)冪函數模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數，a≠0，n≠1)．(8)“對勾”函數模型：y＝x＋ax1．不要忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數的定義域，必須驗證數學結果的合理性．2．對于函數f(x)＝x＋ax(a>0)，當x>0時，在x＝a處取得最小值2a；當x<0時，在x＝－a處取得最大值－2a2．指數、對數、冪函數模型性質比較函數性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩圖象的變化隨x的增大逐漸表現為與y軸平行隨x的增大逐漸表現為與x軸平行隨n值變化各有不同值的比較存在一個x0，當x＞x0時，有logax＜xn＜ax“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；指數增長先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數爆炸”來形容；對數增長先快后慢，其增長速度緩慢．二、基本技能·思想·活動經驗1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)冪函數增長比直線增長更快． (×)(2)不存在x0，使ax0<x0n<logax(3)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xa(a>1)的增長速度． (√)(4)“指數爆炸”是指數型函數y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增長速度越來越快的形象比喻． (×)2．下列函數中，隨x的增大，y的增長速度最快的是()A．y＝0.001ex B．y＝1000lnxC．y＝x1000 D．y＝1000·2xA解析：在對數函數、冪函數、指數函數中，指數函數的增長速度最快，排除B，C；指數函數中，底數越大，函數增長速度越快．故選A.3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，對三個函數的增長速度進行比較，下列選項中正確的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)B解析：當x∈(4，＋∞)時，易知增長速度由大到小依次為g(x)＞f(x)＞h(x)．故選B.4．在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數據，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00則對x，y最適合的擬合函數是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD解析：根據x＝0.50，y＝－0.99，代入計算，可以排除A；根據x＝2.01，y＝0.98，代入計算，可以排除B，C；將各數據代入函數y＝log2x，可知滿足題意．故選D.5．用長度為24的材料圍成一個矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為_________．3解析：設隔墻的長度為x(0<x<6)，矩形的面積為y，則y＝x·24-4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴當x考點1利用函數的圖象刻畫實際問題——基礎性1．如圖，一個高為H且裝滿水的魚缸，其底部裝有一個排水小孔，當小孔打開時，水從孔中勻速流出，水流完所用時間為T.若魚缸水深為h時，水流出所用時間為t，則函數h＝f(t)的圖象大致是()B解析：函數h＝f(t)是關于t的減函數，故排除C，D；開始時，h隨著時間的變化，變化緩慢，水排出超過一半時，h隨著時間的變化，變化加快，故對應的圖象為B.故選B.2．有一個盛水的容器，由懸在它上空的一條水管均勻地注水，最后把容器注滿，在注水過程中時間t與水面高度y之間的關系如圖所示．若圖中PQ為一線段，則與之對應的容器的形狀是()B解析：由函數圖象可判斷出該容器的形狀不規則，又函數圖象的變化先慢后快，所以容器下邊粗，上邊細．再由PQ為線段，知這一段是均勻變化的，所以容器上端必是直的一段，排除A，C，D.故選B.3．(多選題)(2022·北京東城區模擬)某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為y，觀影人數記為x，y關于x的函數圖象如圖(1)所示．由于目前該片盈利未達到預期，相關人員提出了兩種調整方案，圖(2)、圖(3)中的實線分別為調整后y關于x的函數圖象．給出下列四種說法，其中正確的是()A．圖(2)對應的方案是：提高票價，并提高固定成本B．圖(2)對應的方案是：保持票價不變，并降低固定成本C．圖(3)對應的方案是：提高票價，并保持固定成本不變D．圖(3)對應的方案是：提高票價，并降低固定成本BC解析：由題圖(1)可設y關于x的函數為y＝kx＋b，k＞0，b＜0，k為票價，當k＝0時，y＝b，則－b為固定成本．由題圖(2)知，直線向上平移，k不變，即票價不變，b變大，則－b變小，固定成本減小，故A錯誤，B正確；由題圖(3)知，直線與y軸的交點不變，直線斜率變大，即k變大，票價提高，b不變，即－b不變，固定成本不變，故C正確，D錯誤．4．某人根據經驗繪制了從12月21日至1月8日自己種植的西紅柿的銷售量y(單位：千克)隨時間x(單位：天)變化的函數圖象，如圖所示，則此人在12月26日大約賣出了西紅柿________千克．1909解析：前10天滿足一次函數關系．設為y＝kx＋b.將點(1，10)和點(10，30)的坐標代入函數解析式得10=k+b，30=10k+b，解得k＝209，b＝709，所以y＝209x＋1．解決這類問題一般要根據題意構建函數模型，先建立函數模型，再結合模型選圖象，并結合五個冪函數的圖象與性質來求解．2．有些題目，如第3題，根據實際問題中兩變量的變化特點，結合圖象的變化趨勢，驗證答案是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案．考點2已知函數模型解決實際問題——綜合性汽車急剎車的停車距離與諸多因素有關，其中最為關鍵的兩個因素是駕駛員的反應時間和汽車行駛的速度．設d表示停車距離，d1表示反應距離，d2表示制動距離，則d＝d1＋d2.如圖是根據美國公路局公布的試驗數據制作的停車距離示意圖．序號速度(km/h)停車距離14017.025026.536035.747046.058052.769070.7710085.48110101.0由圖中數據得到如表的表格，根據表格中的數據，建立停車距離與汽車速度的函數模型．可選擇模型①：d＝av＋b；模型②：d＝av2＋bv；模型③：d＝av＋bv；模型④：d＝av2＋bv(其中v為汽車速度，a，A．d＝av＋bB．d＝av2＋bvC．d＝av＋bD．d＝av2＋bB解析：若選擇模型①，則60a+b=35.7，100a+b=85.4，解得a故d＝1.2425v－38.85.當v＝120時，停車距離d的預測值為1.2425×120－38.85＝110.25.若選擇模型②，則3600a+60b=35.7，10000a+100b=85.4，解得故d＝0.006475v2＋0.2065v.當v＝120時，停車距離d的預測值為0.006475×1202＋0.2065×120＝118.02.若選擇模型③，則60a+b60=35.7，100a+故d＝0.9996875v－1456.875v當v＝120時，停車距離d的預測值為0.9996875×120－1456.875120若選擇模型④，則3600a+b60=35.7，10000a+b100故d＝15.9951960v2＋379.2857143當v＝120時，停車距離d的預測值為15.9951960×1202＋379.2857143由實驗數據可知當v＝120時，停車距離為118m．模型②的預測值更接近118m，故模型②擬合效果最好．解函數模型的實際應用題，首先應考慮該題考查的是何種函數，然后根據題意列出函數關系式(注意定義域)，并進行相關求解，最后結合實際意義作答．讀題1．某市家庭煤氣的使用量x(單位：m3)和煤氣費f(x)(單位：元)滿足關系f(x)＝C，月份用氣量煤氣費1月份4m34元2月份25m314元3月份35m319元若4月份該家庭使用了20m3的煤氣，則其煤氣費為()A．11.5元 B．11元C．10.5元 D．10元A解析：根據題意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝12，C＝4，所以f(x)＝4，0<x≤52．某新型企業為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預計年利潤低于10%時，該企業考慮轉型，下表顯示的是某企業幾年來年利潤y(百萬元)與年投資成本x(百萬元)變化的一組數據：年份2018201920202021…投資成本x35917…年利潤y1234…給出以下3個函數模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)．(1)選擇一個恰當的函數模型來描述x，y之間的關系；(2)試判斷該企業年利潤超過6百萬元時，該企業是否要考慮轉型．解：(1)將(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)，得1=3k+b，2=5k+b所以y＝12x－1當x＝9時，y＝4，不符合題意．將(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b＞0且b≠1)，得1=ab3所以y＝24·(2)x＝2當x＝9時，y＝29將(3，1)，(5，2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)，得1=loga所以y＝log2(x－1)．當x＝9時，y＝log28＝3；當x＝17時，y＝log216＝4.故可用③來描述x，y之間的關系．(2)令log2(x－1)＞6，則x＞65.因為年利潤665考點3構造函數模型解決實際問題——應用性考向1二次函數、分段函數模型某景區提供自行車出租，該景區有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分)．(1)求函數y＝f(x)的解析式；(2)試問當每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？解：(1)當x≤6時，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3.因為x為整數，所以3≤x≤6，x∈Z.當x＞6時，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，結合x為整數得6＜x≤20，x∈Z.所以y＝f(x)＝50x(2)對于y＝50x－115，3≤x≤6，x∈Z，顯然當x＝6時，ymax＝185.對于y＝－3x2＋68x－115＝－3x-3432＋8113，6＜x當x＝11時，ymax＝270.因為270＞185，所以當每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多．解決分段函數模型問題的注意點(1)實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成．如出租車票價與路程之間的關系，應構建分段函數模型求解．(2)構造分段函數模型時，要力求準確、簡捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函數的最值是各段的最大(最小)值中的最大(最小)者．考向2指數(對數)函數模型(1)某高校為提升科研能力，計劃逐年加大科研經費投入．若該高校2017年全年投入科研經費1300萬元，在此基礎上，每年投入的科研經費比上一年增長12%，則該高校全年投入的科研經費開始超過2000萬元的年份是(參考數據：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2020年 B．2021年C．2022年 D．2023年B解析：若2018年是第一年，則第n年科研費為1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg1.3＋nlg1.12>lg2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研經費超過2000萬元．故選B.(2)基本再生數R0與世代間隔T是流行病學基本參數．基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在病毒感染初始階段，可以用指數模型I(t)＝ert描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位：天)的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學者基于已有數據估計出R0＝3.28，T＝6.據此，在病毒感染初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)()A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天B解析：因為R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝3.28-16＝0.38，所以I(t)＝ert＝e設在病毒感染初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間為t1天，則e0.38t＋t1＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1指數函數與對數函數模型的應用技巧(1)要先學會合理選擇模型．指數函數模型是增長速度越來越快(底數大于1)的一類函數模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數函數模型．(2)在解決指數函數、對數函數模型問題時，一般先需要通過待定系數法確定函數解析式，再借助函數的圖象求解最值問題．1．某位股民買入某只股票，在接下來的交易時間內，他的這只股票先經歷了3次漲停(每次上漲10%)，又經歷了3次跌停(每次下降10%)，則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為()A．略有盈利B．無法判斷盈虧情況C．沒有盈利也沒有虧損D．略有虧損D解析：設買入股票時的價格為m(m>0)元．先經歷了3次漲停(每次上漲10%)，又經歷了3次跌停(每次下降10%)后的價格為m×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m<m，所以該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為略有虧損．故選D.2．某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()A．10.5萬元 B．11萬元C．43萬元 D．43.025萬元C解析：設公司在A地銷售該品牌的汽車x(0≤x≤16且x∈N)輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛，所以可得利潤y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－110·x-21因為x∈[0，16]且x∈N，所以當x＝10或11時，總利潤取得最大值43萬元．3．一個容器裝有細沙acm3，細沙從容器底部一個細微的小孔慢慢地漏出，tmin后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，經過8min后發現容器內還有一半的沙子，則再經過________min，容器中的沙子只有開始時的八分之一．16解析：當t＝0時，y＝a；當t＝8時，y＝ae-8b＝12a.故e-8b＝1當容器中的沙子只有開始時的八分之一時，即y＝ae－bt＝18a，e－bt＝18＝(e-8b)3＝e-24b，則課時質量評價(十四)A組全考點鞏固練1．設甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發到返回原地所經過的路程y和其所用的時間x(分鐘)的函數圖象為()D解析：y為“小王從出發到返回原地所經過的路程”而不是位移，故排除A，C.又因為小王在乙地休息10分鐘，排除B.故選D.2．氣象學院用32萬元購置了一臺天文觀測儀，已知這臺觀測儀從啟動的第1天開始連續使用，第n天的維修保養費為4n＋46(n∈N*)元，使用它直至“報廢最合算”(所謂“報廢最合算”是指使用的這臺儀器平均每天耗資最少)為止，則一共要使用()A．300天 B．400天C．600天 D．800天B解析：使用n天的平均耗資為320000+50+4n+46n2n＝320000n+2n+48元，當且僅當3．(2023·濟南月考)某鄉村一條污染河道的蓄水量為v立方米，每天的進出水量為k立方米．已知污染源以每天r個單位污染河水，某一時段t(單位：天)，河水污染質量指數m(t)(每立方米河水所含的污染物)滿足m(t)＝rk+m0A．1個月 B．3個月C．半年 D．1年C解析：由題意可知，m(t)＝m0e-1則e-180t＝0.1，即－1則要使河水的污染水平下降到初始時的10%，需要的時間大約是184天，即半年．故選C.4．某商場從生產廠家以每件20元的價格購進一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為Q件，銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關系：Q＝8300－170p－p2，則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進貨支出)()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元D解析：設毛利潤為L(p)元，則由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．當p∈(0，30)時，L′(p)>0；當p∈(30，＋∞)時，L′(p)<0.故L(p)在p＝30時取得極大值，即最大值，且最大值為L(30)＝23000.5．某化工廠生產一種溶液，按市場要求雜質含量不超過0.1%.若初時含雜質2%，每過濾一次可使雜質含量減少138解析：設至少過濾n次才能達到市場要求，則2%×1-13n≤0.1%，即23n≤1206．我們經常聽到這樣一種說法：一張紙經過一定次數對折之后厚度能超過地月距離．但實際上，因為紙張本身有厚度，我們并不能將紙張無限次對折，當厚度超過紙張的長邊時，便不能繼續對折了，一張長邊為w，厚度為x的矩形紙張沿兩個方向不斷對折，則經過兩次對折，長邊變為12w，厚度變為4x，在理想情況下，對折次數n有下列關系：n≤23·log2wx8解析：由題知n≤23log24200＝23log因為log210＝1lg2≈10.3，0<log22120<1，所以n≤8＋23logB組新高考培優練7．(2022·聊城一模)“環境就是民生，青山就是美麗，藍天也是幸?！?，隨著經濟的發展和社會的進步，人們的環保意識日益增強．某化工廠產生的廢氣中污染物的含量為1.2mg/cm3，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會減少20%.當地環保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過0.2mg/cm3，若要使該工廠的廢氣達標排放，那么在排放前需要過濾的次數至少為()(參考數據：lg2≈0.3，lg3≈0.477)A．5 B．7C．8 D．9C解析：設該污染物排放前過濾的次數為n(n∈N*)，由題意1.2×0.8n≤0.2，即54兩邊取以10為底的對數可得lg54即nlg5×28≥lg2＋lg3，所以n因為lg2≈0.3，lg3≈0.477，所以lg2+lg所以n≥7.77，又n∈N*，所以nmin＝8，即該污染物排放前需要過濾的次數至少為8次．故選C.8．(多選題)(2022·濟南月考)甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發向同一方向運動，它們行走的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)關于時間x(x≥0)的函數關系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，則下列結論正確的是()A．當x>1時，甲走在最前面B．當x>1時，乙走在最前面C．當0<x<1時，丁走在最前面，當x>1時，丁走在最后面D．如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲CD解析：甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)關于時間x(x≥0)的函數關系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x