上海市寶山區寶山中學2024屆數學高一上期末質量跟蹤監視試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知a，b，c∈R，a>bAa2>bC.ac>bc D.a-c>b-c2．設，則的大小關系為（）A. B.C. D.3．如圖，一根絕對剛性且長度不變、質量可忽略不計線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏讓沙漏在偏離平衡位置一定角度后在重力作用下在鉛垂面內做周期擺動．設線長為，沙漏擺動時離開平衡位置的位移（單位：cm）與時間（單位：s）的函數關系是，．若，要使沙漏擺動的最小正周期是，則線長約為（）A.5m B.C. D.20m4．函數，設，則有A. B.C. D.5．設全集,,,則圖中陰影部分表示的集合為A. B.C. D.6．直線l的方程為Ax+By+C=0，當，時，直線l必經過A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限7．設命題p:?x∈0,1，x>xA.?x∈0,1，x<x3C.?x∈0,1，x≤x38．若直線l1∥l2，且l1的傾斜角為45°，l2過點（4，6），則l2還過下列各點中的A.(1,8) B.(-2,0)C.(9,2) D.(0,-8)9．已知，，為正實數，滿足，，，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.10．已知直線過，，且，則直線的斜率為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設A為圓上一動點，則A到直線的最大距離為________12．函數的最小正周期為，將的圖象向左平移個單位長度，所得圖象關于原點對稱，則的值為__________13．函數的反函數為___________14．已知函數f（x）=lg（x2+2ax-5a）在[2，+∞）上是增函數，則a的取值范圍為______15．如圖,二面角的大小是30°,線段，與所成的角為45°,則與平面所成角的正弦值是__________16．若，，則等于_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數.（1）求函數的最小正周期及單調遞增區間；（2）求函數在區間上的值域.18．對于四個正數，如果，那么稱是的“下位序對”（1）對于，試求的“下位序對”；（2）設均為正數，且是的“下位序對”，試判斷之間的大小關系.19．已知函數（1）用函數奇偶性的定義證明是奇函數；（2）用函數單調性的定義證明在區間上是增函數；（3）解不等式20．如圖，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長為2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED//PA，且PA=2ED=2（1）證明：平面PAC⊥平面PCE；（2）若直線PC與平面ABCD所成的角為45°，求直線CD與平面PCE所成角的正弦值21．某種產品的成本是50元/件，試銷階段每件產品的售價（單位：元）與產品的日銷售量（單位：件）之間有如下表所示的關系：/元60708090/件80604020（1）根據以上表格中的數據判斷是否適合作為與的函數模型，并說明理由；（2）當每件產品的售價為多少時日利潤（單位：元）最大，并求最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】對A，B，C，利用特殊值即可判斷，對D，利用不等式的性質即可判斷.【題目詳解】對A，令a=1，b=-2，此時滿足a>b，但a2<b對B，令a=1，b=-2，此時滿足a>b，但1a>1對C，若c=0，a>b，則ac=bc，故C錯；對D，∵a>b∴a-c>b-c，故D正確.故選：D.2、D【解題分析】利用指數函數與對數函數的性質，即可得出的大小關系.【題目詳解】因為，，，所以.故選：D.【題目點撥】本題考查的是有關指數冪和對數值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應用指數函數和對數函數的單調性，確定其對應值的范圍.比較指對冪形式的數的大小關系，常用方法：（1）利用指數函數的單調性：，當時，函數遞增；當時，函數遞減；（2）利用對數函數的單調性：，當時，函數遞增；當時，函數遞減；（3）借助于中間值，例如：0或1等.3、A【解題分析】根據余弦函數的周期公式計算，即可求得答案.【題目詳解】因為函數最小正周期是，故，即，解得（m）,故選：A4、D【解題分析】>1，<0，0<<1，∴b<c<1，又在x∈（-∞，1）上是減函數，∴f(c)<f(b)<0，而f(a)>0，∴f(c)<f(b)<f(a).點睛：在比較冪和對數值的大小時，一般化為同底數的冪（利用指數函數性質）或同底數對數（利用對數函數性質），有時也可能化為同指數的冪（利用冪函數性質）比較大小，在不能這樣轉化時，可借助于中間值比較，如0或1等．把它們與中間值比較后可得出它們的大小5、B【解題分析】，陰影部分表示的集合為，選B.6、A【解題分析】把直線方程化為斜截式，根據斜率以及直線在y軸上的截距的符號，判斷直線在坐標系中的位置【題目詳解】當A＞0，B＜0，C＞0時，直線Ax+By+C=0，即y=﹣x﹣，故直線的斜率﹣＞0，且直線在y軸上的截距﹣＞0，故直線經過第一、二、三象限，故選A【題目點撥】本題主要考查根據直線的斜截式方程判斷直線在坐標系中的位置，屬于基礎題7、D【解題分析】直接根據全稱命題的否定，即可得到結論.【題目詳解】因為命題p:?x∈0,1，x所以?p：?x∈0,1，x故選：D8、B【解題分析】由題意求出得方程，將四個選項逐一代入，即可驗證得到答案.【題目詳解】由題直線l1∥l2，且l1的傾斜角為45°，則的傾斜角為45，斜率由點斜式可得的方程為即四個選項中只有B滿足方程.即l2還過點(-2,0).故選B【題目點撥】本題考查直線方程的求法，屬基礎題.9、D【解題分析】設，，，，在同一坐標系中作出函數的圖象，可得答案.【題目詳解】設，，，在同一坐標系中作出函數的圖象，如圖為函數的交點的橫坐標為函數的交點的橫坐標為函數的交點的橫坐標根據圖像可得：故選：D10、A【解題分析】利用，求出直線斜率，利用可得斜率乘積為，即可求解.【題目詳解】設直線斜率為，直線斜率為，因為直線過，，所以斜率為，因為，所以，所以，故直線的斜率為.故選：A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】求出圓心到直線的距離，進而可得結果.【題目詳解】依題意可知圓心為，半徑為1.則圓心到直線距離，則點直線的最大距離為.故答案：.12、【解題分析】由題意知，先明確值，該函數平移后為奇函數，根據奇函數性質得圖象過原點，由此即可求得值【題目詳解】∵函數的最小正周期為，∴，即，將的圖象向左平移個單位長度，所得函數為，又所得圖象關于原點對稱，∴，即，又，∴故答案為：【題目點撥】本題考查函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查奇偶函數的性質，要熟練掌握圖象變換的方法13、【解題分析】先求出函數的值域有，再得出，從而求得反函數.【題目詳解】由，可得由，則，所以故答案為：.14、【解題分析】利用對數函數的定義域以及二次函數的單調性，轉化求解即可【題目詳解】解：函數f（x）＝lg（x2+2ax﹣5a）在[2，+∞）上是增函數，可得：，解得a∈[﹣2，4）故答案為[﹣2，4）【題目點撥】本題考查復合函數的單調性的應用，考查轉化思想以及計算能力15、【解題分析】過點A作平面β的垂線,垂足為C,在β內過C作l的垂線,垂足為D.連結AD，由CD⊥l,AC⊥l得，l⊥面ACD，可得AD⊥l，因此,∠ADC為二面角α?l?β的平面角,∠ADC=30°又∵AB與l所成角為45°,∴∠ABD=45°連結BC，可得BC為AB在平面β內的射影，∴∠ABC為AB與平面β所成的角設AD=2x,則Rt△ACD中,AC=ADsin30°=x，Rt△ABD中,∴Rt△ABC中,故答案為.點睛：求直線和平面所成角的關鍵是作出這個平面的垂線進而斜線和射影所成角即為所求，有時當垂線較為難找時也可以借助于三棱錐的等體積法求得垂線長，進而用垂線長比上斜線長可求得所成角的正弦值，當空間關系較為復雜時也可以建立空間直角坐標系，利用向量求解.16、【解題分析】由同角三角函數基本關系求出的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.【題目詳解】因為，，所以，所以，故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）最小正周期為，單調遞增區間為；（2）.【解題分析】（1）利用三角恒等變換化簡得出，利用正弦型函數的周期公式可求得函數的最小正周期，解不等式可得出函數的單調遞增區間；（2）由可求得的取值范圍，利用正弦型函數的基本性質可求得函數的值域.【小問1詳解】解：，所以，函數的最小正周期為，由得，故函數的單調遞增區間為.【小問2詳解】解：當時，，，所以，，即函數在區間上的值域為.18、（1）（2）【解題分析】(1)根據新定義，代入計算判斷即可；(2）根據新定義得到ad<bc，再利用不等式的性質，即可判斷.【題目詳解】（1），的“下位序對”是.（2）是的“下位序對”,,均為正數,,即，，同理可得，綜上所述，【題目點撥】關鍵點點睛：對于本題關鍵理解，如果，那么稱是的“下位序對”這一新定義，理解此定義后，利用不等式性質求解即可.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解題分析】（1）先求出函數定義域，證明即可；（2）根據函數單調性的定義域，作差、定號即可證明函數單調性；（3）將原不等式轉化為二次不等式求解即可.【小問1詳解】證明：由函數的解析式，得其定義域為，又因為故是奇函數.【小問2詳解】證明：任取，，則==，因為，，所以，，所以，綜上所述，對任意都有，所以，在區間上是增函數.【小問3詳解】因為，所以等價于，當時，，解得；當時，，解得；所以，不等式的解集為.20、(1)見解析(2)2【解題分析】1連接BD，交AC于點O，設PC中點為F，連接OF，EF，先證出BD∥EF，再證出EF⊥平面PAC，，結合面面垂直的判定定理即可證平面PAC⊥平面PCE；2先證明∠PCA=45°，設CD的中點為M，連接AM，所以點P到平面CDE的距離與點A到平面CDE的距離相等，即h2解析：（1）證明：連接BD，交AC于點O，設PC中點為F，連接OF，EF∵O，F分別為AC，PC的中點，∴OF//PA，且OF=1∵DE//PA，且DE=1∴OF//DE，且OF=DE，∴四邊形OFED為平行四邊形，∴OD//EF，即BD//EF，∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD//EF，∴EF⊥平面PAC，∵FE?平面PCE，∴平面PAC⊥平面PCE（2）因為直線PC與平面ABCD所成角為45°，所以∠PCA=45°，所以AC=PA=2，所以AC=AB，故ΔABC為等邊三角形，設CD的中點為M，連接AM，則AM⊥CD，設點D到平面PCE的距離為h1，點P到平面CDE的距離為h則由VD-PCE=V因為ED⊥面ABCD，AM?面ABCD，所以ED⊥AM，又AM⊥CD，CD∩DE=D，∴AM⊥面CDE；因為PA//DE，PA?平面CDE，DE?面CDE，所以PA//面CDE，所以點P到平面CDE的距離與點A到平面CDE的距離相等，即