淺論數(shù)學(xué)內(nèi)容的嚴謹性

論文摘要：嚴謹性是數(shù)學(xué)科學(xué)的基本特點。它要求數(shù)學(xué)結(jié)論的敘述必須精練、準確，而對結(jié)論的推理論證和系統(tǒng)安排都要求既嚴格，又周密。

即使是一些最基本、最常用，甚至不能藉邏輯方法加以定義的原始概念，數(shù)學(xué)科學(xué)也不滿足于直觀描述，而要求用公理來加以確定。對公理的選擇，還必須滿足“獨立性”、“相容性”和“完備性”的嚴格要求。在新的數(shù)學(xué)結(jié)論的推證過程中，則步步要有根據(jù)，處處應(yīng)合

乎邏輯理論的要求。要數(shù)學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)安排上，也必須符合學(xué)科內(nèi)在的邏輯順序。數(shù)學(xué)科學(xué)的嚴謹性，還有日益加強的趨勢。由于各種專門符號的廣泛使用，大量命題的陳述和論證都日益符號化、形式化。

1數(shù)學(xué)的嚴謹性并不是一下子形成的。在它達到當(dāng)前高度嚴謹性以前，也有過一個相對來說不那么嚴謹?shù)穆L歷程。例如，作為全部數(shù)學(xué)的嚴格基礎(chǔ)的數(shù)的系統(tǒng)理論，只是到了十九世紀末期才達到當(dāng)前的嚴謹程度。在此以前，它處于不太嚴謹、甚至是很不嚴謹?shù)木硾r。

總之，任何數(shù)學(xué)課程，都必須達到一定的嚴謹性。但是，究竟需要達到何種程度，則由該門課程的開設(shè)目的所決定。而且，嚴謹性的要求，也不是一下子完全達到，而可以逐步地滿足。例如，現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中的函數(shù)概念的精確化是經(jīng)歷了一個漫長的歷史過程的。

2學(xué)生對數(shù)學(xué)的嚴謹性要求，要有一個逐步適應(yīng)的過程。剛上中學(xué)的學(xué)生，由于他們認識上的特點，以及在小學(xué)階段的訓(xùn)練基礎(chǔ)，對嚴謹性的要求要有一個適應(yīng)過程。開始，學(xué)生對一些較精確的數(shù)學(xué)語言，如“互為相反數(shù)”、“任意非零整數(shù)”、“存在”、“唯一”、“僅當(dāng)”等等，往往缺乏足夠的理解。所以，對一些定義、法則往往局限于背誦條文和模仿范例解題。對法則的適用范圍和具體要求，往往考慮不夠。因此，在綜合運用時經(jīng)常互相混淆而出錯，更談不上靈活運用了。

對于嚴格推證，學(xué)生更是不適應(yīng)。學(xué)生習(xí)慣于用不完全歸納法，從個別實例中歸納出一般結(jié)論，而認識不到論證的必要性。在證明過程中，又經(jīng)常根據(jù)證明的需要而臨時“創(chuàng)造”出新的論據(jù)，假如教學(xué)過程不進行足夠訓(xùn)練，并使學(xué)生逐步掌握教材的嚴謹性，那么，甚至到了高年級，他們還經(jīng)常把對概念的一些常識性、直觀性理解，來代替精確定義；也會毫無根據(jù)地把一些數(shù)學(xué)結(jié)論推廣到不適當(dāng)?shù)膱龊稀＠纾麄儼腰c理解為很小很小的、大小可以忽略不計的球；把相似理解為形狀相象；把函數(shù)理解為隨著別的數(shù)的改變而變化的數(shù)；把極限理解為近似，等等。他們還經(jīng)常毫無根據(jù)地“運用”分配律得出類似于logａ=logａα+logａβ的錯誤結(jié)果。

不過，對這些現(xiàn)象應(yīng)當(dāng)有一個正確的分析。一方面應(yīng)當(dāng)認識到，由于年齡特點，學(xué)生對嚴謹性要求確實有不適應(yīng)之處，而另一方面也必須看到，出現(xiàn)這些現(xiàn)象往往是教學(xué)中缺乏基本訓(xùn)練的結(jié)果。

事實上，正如前面談到的那樣，傳統(tǒng)的教材和教法側(cè)重于機械記憶加模仿，學(xué)生當(dāng)然會養(yǎng)成不求甚解、不問根由的習(xí)慣。近年來國內(nèi)外的大量實驗證明，學(xué)生對嚴謹性的要求，是可以逐步適應(yīng)的。學(xué)生經(jīng)過一定的訓(xùn)練以后，對“有唯一解”、“取非負值”等術(shù)語能靈活運用，對一些比較嚴格的推理和證明也能很好接受，還能獨立地完成一些代數(shù)和幾何的證明和討論。

可見，對嚴謹性的要求，學(xué)生開始時在接受上確實有一定的局限性，要有一個適應(yīng)的過程。但是，倘若要求合理，教法得當(dāng)，適應(yīng)過程可以大大縮短。

3那么，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的嚴謹性，究竟要達到什么程度才合適呢？它應(yīng)當(dāng)符合以下幾點要求：

首先，必須保證內(nèi)容的科學(xué)性。

考慮學(xué)生的理解能力和教學(xué)上的實際需要，中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的嚴謹性要求可以適當(dāng)降低，但必須保證對相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容要有正確的理解和掌握。

例如，我們可以用“無限接近于”等較形象的語言來描述數(shù)列或變量的極限概念，而不用“ε-δ”式的嚴格定義。但是，在結(jié)合實例進行描述時，必須講清楚，這是某些無窮變量變化時的一種變化趨勢，不要讓學(xué)生誤以為這是取無窮變量的近似值。又如，利用直角三角形講銳角三角函數(shù)時，也應(yīng)當(dāng)明確指出：銳角三角函數(shù)是隨著角的改變而改變的變量，而且它的變化可以由相應(yīng)的線段之比來確定，特別當(dāng)取定某一銳角時，它的三角函數(shù)值與直角三角形的邊長無關(guān)。不要使學(xué)生誤認為“銳角三角函數(shù)只是邊長一定的直角三角形的兩邊之比”，這樣不符合科學(xué)性的要求。

其次，必須有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。

發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，是中學(xué)數(shù)學(xué)課的重要目的之一。而數(shù)學(xué)的嚴謹性要求，正是發(fā)展學(xué)生邏輯思維的核心環(huán)節(jié)。逐步加強教學(xué)內(nèi)容的嚴謹性，并使學(xué)生真正消化理解，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的重要措施，也為今后教學(xué)進一步提高嚴謹性創(chuàng)造了有利條件。不斷地豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)語言就是一項十分關(guān)鍵的工作，它不僅達到上述目的，還有利于提