2022年江蘇省揚州市經濟技術開發區實驗中學高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.．設是兩個實數，命題：“中至少有一個數大于”成立的充分不必要條件是A．

B．

C．

D．參考答案：B2.函數f（x）的圖象關于y軸對稱，且對任意x∈R都有f（x+3）=﹣f（x），若當x∈（，）時，f（x）=（）x，則fA．﹣ B． C．﹣4 D．4參考答案：A【考點】函數的值．【分析】推導出f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），當x∈（，）時，f（x）=（）x，從而f=f（﹣1）=﹣f（2），由此能求出結果．【解答】解：∵函數f（x）的圖象關于y軸對稱，且對任意x∈R都有f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），∵當x∈（，）時，f（x）=（）x，∴f=f（﹣1）=﹣f（2）=﹣（）2=﹣．故選：A．3.甲乙兩人隨意入住兩間空房，則甲、乙兩人各住一間房的概率是 （

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.已知點O為△ABC內一點，且則△AOB、△AOC、△BOC的面積之比等于

A．9：4：1

B．1：4：9

C．3：2：1

D．1：2：3參考答案：C,延長到，使,延長到，使，連結,取的中點，則所以三點共線且為三角形的重心，則，在△AOB’中，B為OB‘邊中點，所以,在△AOC’中，C為OC‘邊近O端三等分點，所以。在△B'OC'中，連BC'，B為OB‘邊中點，所以，在△BOC'中，C為OC‘邊近O端三等分點，所以，因為，所以△AOB：△AOC：△BOC面積之比為，選C.5.已知函數，在定義域上表示的曲線過原點，且在處的切線斜率均為.有以下命題：①是奇函數；②若內遞減，則的最大值為4；③的最大值為M，最小值為m，則；④若對恒成立，則的最大值為2.其中正確命題的個數為A.1個 B.2個 C.3個 D.4個參考答案：【知識點】導數的應用B12【答案解析】B

函數f（x）=x3+ax2+bx+c的圖象過原點，可得c=0；又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1處的切線斜率均為-1，則有，解得a=0，b=-4．所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．

①可見f（x）=x3-4x是奇函數，因此①正確；x∈[-2，2]時，[f′（x）]min=-4，則k≤f'（x）恒成立，需k≤-4，因此④錯誤．

②令f′（x）=0，得x=±．所以f（x）在[-，]內遞減，則|t-s|的最大值為，因此②錯誤；

且f（x）的極大值為f（-）=，極小值為f（）=-，兩端點處f（-2）=f（2）=0，

所以f（x）的最大值為M=，最小值為m=-，則M+m=0，因此③正確．故選B．【思路點撥】首先利用導數的幾何意義及函數f（x）過原點，列方程組求出f（x）的解析式；然后根據奇函數的定義判斷函數f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，則命題①④得出判斷；最后令f′（x）=0，求出f（x）的極值點，進而求得f（x）的單調區間與最值，則命題②③得出判斷．6.已知f（x）是定義在R上且以3為周期的奇函數，當時，f（x）=ln（x2﹣x+1），則函數f（x）在區間[0，6]上的零點個數是（）A．3 B．5 C．7 D．9參考答案：D【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析】由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0，先求出當時的零點個數，然后利用周期性和奇偶性判斷f（x）在區間[0，6]上的零點個數即可．【解答】解：因為函數為奇函數，所以在[0，6]上必有f（0）=0．當時，由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0得x2﹣x+1=1，即x2﹣x=0．解得x=1．因為函數是周期為3的奇函數，所以f（0）=f（3）=f（6）=0，此時有3個零點0，3，6．f（1）=f（4）=f（﹣1）=f（2）=f（5）=0，此時有1，2，4，5四個零點．當x=時，f（）=f（）=f（）=﹣f（），所以f（）=0，即f（）=f（）=f（）=0，此時有兩個零點，．所以共有9個零點．故選D．7.已知函數滿足，且的導函數，則的解集為（D）A.

B.

C.

D.參考答案：D略8.設全集，集合，，則等于（

）A.{2} B.{3} C.{4} D.{2,3,4}參考答案：B【分析】根據補集和并集的定義可計算出集合.【詳解】由題意可得，因此，.故選：B.【點睛】本題考查補集和交集的計算，考查計算能力，屬于基礎題.9.設F1、F2是橢圓Γ的兩個焦點，S是以F1為中心的正方形，則S的四個頂點中能落在橢圓Γ上的個數最多有（S的各邊可以不與Γ的對稱軸平行）（A）1個

（B）2個

（C）3個

（D）4個參考答案：B10.函數的圖象

A．關于原點對稱

B．關于直線y＝x對稱

C．關于x軸對稱

D．關于y軸對稱參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數的定義域為，函數的值域為，則

．參考答案：（0,1）略12.設點P在曲線y=ex上，點Q在曲線y=lnx上，則|PQ|的最小值為．參考答案：【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用．【分析】考慮到兩曲線關于直線y=x對稱，求丨PQ丨的最小值可轉化為求P到直線y=x的最小距離，再利用導數的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線方程，由點到直線的距離公式即可得到最小值..【解答】解：∵曲線y=ex（e自然對數的底數）與曲線y=lnx互為反函數，其圖象關于y=x對稱，故可先求點P到直線y=x的最近距離d，設曲線y=ex上斜率為1的切線為y=x+b，∵y′=ex，由ex=1，得x=0，故切點坐標為（0，1），即b=1，∴d==，∴丨PQ丨的最小值為2d=．故答案為：．13.在正三角形中，是上的點，，則

。參考答案：本題考查向量數量積的運算，難度中等.由題意可知.14.如圖是甲、乙兩名籃球運動員在五場比賽中所得分數的莖葉圖，則在這五場比賽中得分較為穩定（方差較小）的那名運動員的得分的方差為

．參考答案：【考點】BA：莖葉圖．【分析】根據莖葉圖中的數據求出甲、乙二人的平均數，再根據方差的定義得出乙的方差較小，求出乙的方差即可．【解答】解：根據莖葉圖中的數據，計算甲的平均數為=×（7+7+9+14+18）=11，乙的平均數為=×（8+9+10+13+15）=11；根據莖葉圖中的數據知乙的成績波動性小，較為穩定（方差較小），計算乙成績的方差為：s2=×[（8﹣11）2+（9﹣11）2+（10﹣11）2+（13﹣11）2+（15﹣11）2]=．故答案為：．【點評】本題考查了莖葉圖、平均數與方差的應用問題，是基礎題．15.給出下列幾個命題：①若函數的定義域為，則一定是偶函數；②若函數是定義域為的奇函數，對于任意的都有，則函數的圖象關于直線對稱；③已知是函數定義域內的兩個值，當時，，則是減函數；④設函數的最大值和最小值分別為和，則；⑤若是定義域為的奇函數，且也為奇函數，則是以4為周期的周期函數．其中正確的命題序號是

．（寫出所有正確命題的序號）參考答案：①④⑤略16.已知函數有零點，則的取值范圍是

參考答案：【知識點】函數零點的判定定理．B9【答案解析】

解析：由，解得當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.故該函數的最小值為因為該函數有零點，所以，即，解得故的取值范圍是.【思路點撥】先討論函數的單調性，得出函數的最值，由函數的最大值大于或等于零（或函數的最小值小于或等于零）得出a的取值范圍．17.已知實數，滿足，則目標函數的最小值為

▲

．參考答案：1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數．⑴當時，求函數的極值；⑵若存在與函數，的圖象都相切的直線，求實數的取值范圍．參考答案：（1）函數的定義域為當時，，所以………………2分所以當時，，當時，，所以函數在區間單調遞減，在區間單調遞增，所以當時，函數取得極小值為，無極大值；…4分（2）設函數上點與函數上點處切線相同，則所以

……6分所以，代入得：

………………8分設，則不妨設則當時，，當時，所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，……………10分代入可得：設，則對恒成立，所以在區間上單調遞增，又所以當時，即當時,

……………12分又當時

……14分因此當時，函數必有零點；即當時，必存在使得成立；即存在使得函數上點與函數上點處切線相同．又由得：所以單調遞減，因此所以實數的取值范圍是．…………………16分19.（本小題滿分10分）已知函數

（1）求的值.

（2）求的最大值和最小值.參考答案：解：（1）=

………4分（2）

………6分因為,所以，當時，取得最大值，最大值為2；

………………8分當時，取得最小值，最小值為-1.……10分20.橢圓的離心率是，過點P（0，1）做斜率為k的直線l，橢圓E與直線l交于A，B兩點，當直線l垂直于y軸時．（1）求橢圓E的方程；（2）當k變化時，在x軸上是否存在點M（m，0），使得△AMB是以AB為底的等腰三角形，若存在求出m的取值范圍，若不存在說明理由．參考答案：(1)；(2)見解析．【分析】（1）由橢圓的離心率為得到，于是橢圓方程為．有根據題意得到橢圓過點，將坐標代入方程后求得，進而可得橢圓的方程．（2）假設存在點，使得是以為底的等腰三角形，則點為線段AB的垂直平分線與x軸的交點．由題意得設出直線的方程，借助二次方程的知識求得線段的中點的坐標，進而得到線段的垂直平分線的方程，在求出點的坐標后根據基本不等式可求出的取值范圍．【詳解】（1）因為橢圓的離心率為，所以，整理得．故橢圓的方程為．由已知得橢圓過點，所以，解得，所以橢圓的方程為．（2）由題意得直線的方程為．由消去整理得，其中．設，的中點則，所以∴，∴點C的坐標為．假設在軸存在點，使得是以為底的等腰三角形，則點為線段的垂直平分線與x軸的交點．①當時，則過點且與垂直的直線方程，令，則得．若，則，∴．若，則，∴．②當時，則有．綜上可得．所以存在點滿足條件,且m的取值范圍是.【點睛】求圓錐曲線中的最值或范圍問題時，常用的方法是將所求量表示成某個參數的代數式的形式，然后再求出這個式子的最值或范圍即可．求最值或范圍時一般先考慮基本不等式，此時需要注意不等式中等號成立的條件；若無法利用基本不等式求解，則要根據函數的單調性求解．由于此類問題一般要涉及到大量的計算，所以在解題時要注意計算的合理性，合理利用變形、換元等方法進行求解．21.（本小題滿分10分）如圖，在四棱錐P、ABCD中，PA底面，底面ABCD是邊長為2的菱形，M為PC的中點，］（1） 求異面直線PB與MD所成的角的大小;（2） 求平面PCD與平面PAD所成的二面角的正弦值。參考答案：22.已知函數.（1）若在上單調遞減，求k的取值范圍；（2）若，求證：.參考答案：（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）令f′