某某省隨州市曾都區2016屆九年級數學上學期期末考試試題一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．一元二次方程2x2﹣x=1的一次項系數和常數項依次是()A．﹣1和1 B．﹣1和﹣1 C．2和﹣1 D．﹣1和32．若反比例函數的圖象位于第二、四象限，則k的取值可以是()A．0 B．1 C．2 D．以上都不是3．自連續正整數10～99中選出一個數，其中每個數被選出的機會相等．求選出的數，其十位數字與個位數字的和為9的概率為()A． B． C． D．4．如圖，一個幾何體上半部為正四棱錐，下半部為立方體，且有一個面涂有顏色．下列圖形中，是該幾何體的表面展開圖的是()A． B． C． D．5．當﹣2≤x≤1時，二次函數y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，則實數m的值為()A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或6．在如圖4×4的正方形網格中，△MNP繞某點旋轉一定的角度，得到△M1N1P1，則其旋轉中心可能是()A．點A B．點B C．點C D．點D7．如圖，白云湖水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的斜面坡度是1：，堤壩高BC=50m，則迎水坡面AB的長度是()A．100m B．2400m C．400m D．1200m8．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AD切⊙O于點A，點C是的中點，則下列結論不成立的是()A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE9．如圖，菱形ABCD中，點M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF=NM=2，ME=3，則AN=()A．3 B．4 C．5 D．610．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊上的一個動點，AE⊥EF，EF交DC于F，設BE=x，FC=y，則當點E從點B運動到點C時，y關于x的函數圖象是()A． B． C． D．二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）11．寫出一個有最大值的二次函數，且它的圖象過（1，3）點，這個二次函數的解析式為__________．12．如圖，為了測量某建筑物AB的高度，在地面上的C處測得建筑物頂端A的仰角為30°，沿CB方向前進30m到達D處，在D處測得建筑物頂端A的仰角為45°，則建筑物AB的高度等于__________m．13．已知雙曲線y=經過點（﹣1，3），如果A（x1，y1）B（x2，y2）兩點在該雙曲線上，且x1＜x2＜0，那么y1__________y2．14．圓錐的底面半徑是1，側面積是2π，則這個圓錐的側面展開圖的圓心角為__________．15．如圖所示，把一個直角三角尺ACB繞著30°角的頂點B順時針旋轉，使得點A落在CB的延長線上的點E處，則∠BDC的度數為__________度．16．如圖，正方形ABCD中，AB=12，點E在邊BC上，BE=EC，將△DCE沿DE所疊得△DFE，延長EF交邊AB于點G，連接DG，BF，給出以下結論：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=．其中所有正確結論的序號是__________．三、解答題（共9小題，滿分72分）17．已知關于x的方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣7a﹣4=0的兩根為x1、x2，且滿足x1?x2﹣3x1﹣3x2﹣2=0．求a的值．18．一個不透明的布袋里裝有2個白球，1個黑球和若干個紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出1個球，是白球的概率為．（1）布袋里紅球有多少個？（2）先從布袋中摸出1個球后不放回，再摸出1個球，請用列表法或畫樹狀圖等方法求出兩次摸到的球都是白球的概率．19．已知一次函數y1=x+m的圖象與反比例函數y2=的圖象交于A、B兩點．已知當x＞1時，y1＞y2；當0＜x＜1時，y1＜y2．（1）求一次函數的解析式；（2）已知雙曲線在第一象限上有一點C到y軸的距離為3，求△ABC的面積．20．已知AB是⊙O的直徑，P為AB延長線上的任意一點，過點P作⊙O的切線，切點為C，∠APC的平分線PD與AC交于點D．（1）如圖①，若∠CPA恰好等于30°，求∠CDP的度數；（2）如圖②，若∠CPA不等于30°時，①中的結論是否仍然成立？請說明理由．21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉n度后，得到△DEC，點D剛好落在AB邊上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中點，判斷四邊形ACFD的形狀，并說明理由．22．如圖，自來水廠A和村莊B在小河l的兩側，現要在A，B間鋪設一條輸水管道．為了搞好工程預算，需測算出A，B間的距離．一小船在點P處測得A在正北方向，B位于南偏東24.5°方向，前行1200m，到達點Q處，測得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．（1）線段BQ與PQ是否相等？請說明理由；（2）求A，B間的距離．（參考數據cos41°≈0.75）23．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D為AC延長線上一點，AC=3CD，過點D作DH∥AB，交BC的延長線于點H．（1）求BD?cos∠HBD的值；（2）若∠CBD=∠A，求AB的長．24．如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=12，高AD=10，矩形EFPQ的一邊QP邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H．（1）求證：；（2）設BF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值；（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動（當點Q與點C重合時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式．25．已知兩條直線l1、l2分別經過點A（﹣1，0）、點B（3，0）并且當兩條直線同時相交于y軸的負半軸上的點C時，恰好有l1⊥l2，經過點A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l1交于點K，與直線l2交于點E，在x軸交于點F，D是拋物線的頂點，如圖所示．（1）求點C的坐標，并求出拋物線的函數解析式；（2）拋物線的對稱軸被直線l1、拋物線、直線l2和x軸依次截得三條線段，問：這三條線段有何數量關系？請說明理由．（3）當直線l2繞點C旋轉時，與拋物線的另一個交點為M，請找出使△MCK為等腰三角形的點M，簡述理由，并寫出點M的坐標．2015-2016學年某某省隨州市曾都區九年級（上）期末數學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．一元二次方程2x2﹣x=1的一次項系數和常數項依次是()A．﹣1和1 B．﹣1和﹣1 C．2和﹣1 D．﹣1和3【考點】一元二次方程的一般形式．【分析】首先把1從等號右邊移到等號左邊，再確定一次項系數和常數項．【解答】解：2x2﹣x=1，移項得：2x2﹣x﹣1=0，一次項系數是﹣1，常數項是﹣1．故選：B．【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．2．若反比例函數的圖象位于第二、四象限，則k的取值可以是()A．0 B．1 C．2 D．以上都不是【考點】反比例函數的性質．【專題】計算題．【分析】反比例函數的圖象位于第二、四象限，比例系數k﹣1＜0，即k＜1，根據k的取值X圍進行選擇．【解答】解：∵反比例函數的圖象位于第二、四象限，∴k﹣1＜0，即k＜1．故選：A．【點評】本題考查了反比例函數的性質．對于反比例函數（k≠0），（1）k＞0，反比例函數圖象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函數圖象在第二、四象限內．3．自連續正整數10～99中選出一個數，其中每個數被選出的機會相等．求選出的數，其十位數字與個位數字的和為9的概率為()A． B． C． D．【考點】概率公式．【分析】列舉出所有情況，看十位數字與個位數字的和為9的情況占所有情況的多少即為所求的概率．【解答】解：∵在連續正整數10～99中共有90個數，其中十位數字與個位數字的和為9的有：18、27、36、45、54、63、72、81、90共9位數，∴十位數字與個位數字的和為9的概率為：=．故選B．【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=．4．如圖，一個幾何體上半部為正四棱錐，下半部為立方體，且有一個面涂有顏色．下列圖形中，是該幾何體的表面展開圖的是()A． B． C． D．【考點】幾何體的展開圖．【專題】壓軸題．【分析】由平面圖形的折疊及幾何體的展開圖解題，注意帶圖案的一個面不是底面．【解答】解：選項A和C帶圖案的一個面是底面，不能折疊成原幾何體的形式；選項B能折疊成原幾何體的形式；選項D折疊后下面帶三角形的面與原幾何體中的位置不同．故選：B．【點評】本題主要考查了幾何體的展開圖．解題時勿忘記正四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形．注意做題時可親自動手操作一下，增強空間想象能力．5．當﹣2≤x≤1時，二次函數y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，則實數m的值為()A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或【考點】二次函數的最值．【專題】壓軸題；分類討論．【分析】根據對稱軸的位置，分三種情況討論求解即可．【解答】解：二次函數的對稱軸為直線x=m，①m＜﹣2時，x=﹣2時二次函數有最大值，此時﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，解得m=﹣，與m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②當﹣2≤m≤1時，x=m時，二次函數有最大值，此時，m2+1=4，解得m=﹣，m=（舍去）；③當m＞1時，x=1時二次函數有最大值，此時，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，解得m=2，綜上所述，m的值為2或﹣．故選：C．【點評】本題考查了二次函數的最值問題，難點在于分情況討論．6．在如圖4×4的正方形網格中，△MNP繞某點旋轉一定的角度，得到△M1N1P1，則其旋轉中心可能是()A．點A B．點B C．點C D．點D【考點】旋轉的性質．【分析】連接PP1、NN1、MM1，分別作PP1、NN1、MM1的垂直平分線，看看三線都過哪個點，那個點就是旋轉中心．【解答】解：∵△MNP繞某點旋轉一定的角度，得到△M1N1P1，∴連接PP1、NN1、MM1，作PP1的垂直平分線過B、D、C，作NN1的垂直平分線過B、A，作MM1的垂直平分線過B，∴三條線段的垂直平分線正好都過B，即旋轉中心是B．故選B．【點評】本題考查了學生的理解能力和觀察圖形的能力，注意：旋轉時，對應頂點到旋轉中心的距離應相等且旋轉角也相等，對稱中心在連接對應點線段的垂直平分線上．7．如圖，白云湖水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的斜面坡度是1：，堤壩高BC=50m，則迎水坡面AB的長度是()A．100m B．2400m C．400m D．1200m【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題．【分析】根據題意可得=，把BC=50m，代入即可算出AC的長，再利用勾股定理算出AB的長即可．【解答】解：∵堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，∴=，∵BC=50m，∴AC=50m，∴AB==100m，故選：A．【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用﹣坡度問題、勾股定理；關鍵是掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比．8．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AD切⊙O于點A，點C是的中點，則下列結論不成立的是()A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE【考點】切線的性質；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理．【專題】計算題．【分析】由C為弧EB的中點，利用垂徑定理的逆定理得出OC垂直于BE，由AB為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到AE垂直于BE，即可確定出OC與AE平行，選項A正確；由C為弧BE中點，即弧BC=弧CE，利用等弧對等弦，得到BC=EC，選項B正確；由AD為圓的切線，得到AD垂直于OA，進而確定出一對角互余，再由直角三角形ABE中兩銳角互余，利用同角的余角相等得到∠DAE=∠ABE，選項C正確；AC不一定垂直于OE，選項D錯誤．【解答】解：A、∵點C是的中點，∴OC⊥BE，∵AB為圓O的直徑，∴AE⊥BE，∴OC∥AE，本選項正確；B、∵=，∴BC=CE，本選項正確；C、∵AD為圓O的切線，∴AD⊥OA，∴∠DAE+∠EAB=90°，∵∠EBA+∠EAB=90°，∴∠DAE=∠EBA，本選項正確；D、AC不一定垂直于OE，本選項錯誤，故選D【點評】此題考查了切線的性質，圓周角定理，以及圓心角，弧及弦之間的關系，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．9．如圖，菱形ABCD中，點M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF=NM=2，ME=3，則AN=()A．3 B．4 C．5 D．6【考點】菱形的性質；相似三角形的判定與性質．【分析】根據菱形的對角線平分一組對角可得∠1=∠2，然后求出△AFN和△AEM相似，再利用相似三角形對應邊成比例列出求解即可．【解答】解：在菱形ABCD中，∠1=∠2，又∵ME⊥AD，NF⊥AB，∴∠AEM=∠AFN=90°，∴△AFN∽△AEM，∴=，即=，解得AN=4．故選B．【點評】本題考查了菱形的對角線平分一組對角的性質，相似三角形的判定與性質，關鍵在于得到△AFN和△AEM相似．10．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊上的一個動點，AE⊥EF，EF交DC于F，設BE=x，FC=y，則當點E從點B運動到點C時，y關于x的函數圖象是()A． B． C． D．【考點】動點問題的函數圖象．【專題】壓軸題．【分析】通過設出BE=x，FC=y，且△AEF為直角三角形，運用勾股定理得出y與x的關系，再判斷出函數圖象．【解答】解：設BE=x，FC=y，則AE2=x2+42，EF2=（4﹣x）2+y2，AF2=（4﹣y）2+42．又∵△AEF為直角三角形，∴AE2+EF2=AF2．即x2+42+（4﹣x）2+y2=（4﹣y）2+42，化簡得：，再化為，很明顯，函數對應A選項．故選：A．【點評】此題為動點函數問題，關鍵列出動點的函數關系，再判斷選項．二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）11．寫出一個有最大值的二次函數，且它的圖象過（1，3）點，這個二次函數的解析式為y=﹣（x﹣1）2+3．【考點】二次函數的性質．【專題】開放型．【分析】因為二次函數有最大值，所以開口向下，即a＜0；因為函數圖象過（1，3）點，根據頂點式寫出解析式即可．【解答】解：∵二次函數有最大值，∴取a=﹣1，∵它的圖象過（1，3）點，∴設頂點為（1，3），∴二次函數的解析式為y=﹣（x﹣1）2+3．故答案為y=﹣（x﹣1）2+3．【點評】本題考查了二次函數的性質，是開放性試題，考查函數圖形及性質的綜合運用，對考查學生所學函數的深入理解、掌握程度具有積極的意義，但此題若想答對需要滿足所有條件，如果學生沒有注意某一個條件就容易錯．本題的結論是不唯一的，其解答思路滲透了數形結合的數學思想．12．如圖，為了測量某建筑物AB的高度，在地面上的C處測得建筑物頂端A的仰角為30°，沿CB方向前進30m到達D處，在D處測得建筑物頂端A的仰角為45°，則建筑物AB的高度等于15（）m．【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題．【專題】推理填空題．【分析】根據題意可以得到，∠ACB=30°，∠ADB=45°，然后根據圖形可以得到AB與CB、BD之間的關系，從而可以求得AB的長度．【解答】解：由題意可得，∠ACB=30°，∠ADB=45°，∵tan30°=，tan45°=，CB=CD+DB，CD=30m，∴，解得AB=BD=15（）．故答案為：15（）．【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解題的關鍵是利用數形結合的思想找出各邊之間的關系，然后找出所求問題需要的條件．13．已知雙曲線y=經過點（﹣1，3），如果A（x1，y1）B（x2，y2）兩點在該雙曲線上，且x1＜x2＜0，那么y1＜y2．【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征．【分析】根據題意畫出函數圖象，再根據其反比例函數增減性解答即可．【解答】解：∵雙曲線y=經過點（﹣1，3），∴k=﹣3，∴函數圖象如下圖，在每個象限內，y隨x的增大而增大，∵A（x1，y1）B（x2，y2）兩點在該雙曲線上，且x1＜x2＜0，∴A，B兩點在第二象限的曲線上，∴y1＜y2．【點評】本題主要考查反比例函數圖象上點的坐標特征．注意：反比例函數的增減性只指在同一象限內．14．圓錐的底面半徑是1，側面積是2π，則這個圓錐的側面展開圖的圓心角為180°．【考點】圓錐的計算．【分析】根據圓錐的側面積公式S=πrl得出圓錐的母線長，再結合扇形面積公式即可求出圓心角的度數．【解答】解：∵側面積為2π，∴圓錐側面積公式為：S=πrl=π×1×l=2π，解得：l=2，∴扇形面積為2π=，解得：n=180，∴側面展開圖的圓心角是180度．故答案為：180°．【點評】此題主要考查了圓錐的側面積公式應用以及與展開圖扇形面積關系，求出圓錐的母線長是解決問題的關鍵．15．如圖所示，把一個直角三角尺ACB繞著30°角的頂點B順時針旋轉，使得點A落在CB的延長線上的點E處，則∠BDC的度數為15度．【考點】旋轉的性質．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據旋轉的性質△ABC≌△EDB，BC=BD，求出∠CBD的度數，再求∠BDC的度數．【解答】解：根據旋轉的性質△ABC≌△EDB，BC=BD，則△CBD是等腰三角形，∠BDC=∠BCD，∠CBD=180°﹣∠DBE=180°﹣30°=150°，∠BDC=（180°﹣∠CBD）=15°．故答案為15°．【點評】根據旋轉的性質，確定各角之間的關系，利用已知條件把一個直角三角尺ACB繞著30°角的頂點B順時針旋轉求出即可．16．如圖，正方形ABCD中，AB=12，點E在邊BC上，BE=EC，將△DCE沿DE所疊得△DFE，延長EF交邊AB于點G，連接DG，BF，給出以下結論：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=．其中所有正確結論的序號是①②④．【考點】相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．【分析】根據正方形的性質和折疊的性質可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根據“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE為直角三角形，可通過勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，進而求出△BEF的面積，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED顯然不是等腰三角形，判斷③是錯誤的，問題得解．【解答】解：由折疊可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，在Rt△ADG和Rt△FDG中，，∴Rt△ADG≌Rt△FDG，故①正確；∵正方形邊長是12，∴BE=EC=EF=6，設AG=FG=x，則EG=x+6，BG=12﹣x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故②正確；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，故③錯誤；S△GBE=×6×8=24，S△BEF=?S△GBE==，故④正確．綜上可知正確的結論的是3個，故答案為：①②④．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質、圖形的翻折變換的性質和正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計算，有一定的難度．三、解答題（共9小題，滿分72分）17．已知關于x的方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣7a﹣4=0的兩根為x1、x2，且滿足x1?x2﹣3x1﹣3x2﹣2=0．求a的值．【考點】根與系數的關系；根的判別式．【分析】先根據根與系數的關系得到x1+x2=﹣2（a﹣1），x1?x2=a2﹣7a﹣4，再把它們代入已知條件后整理得到關于a的方程，求得方程的解，然后分別把a的值代入原方程，根據判別式的意義確定a的值．【解答】解：根據題意得x1+x2=﹣2（a﹣1），x1?x2=a2﹣7a﹣4，∵x1x2﹣3x1﹣3x2﹣2=0，即x1x2﹣3（x1+x2）﹣2=0，∴a2﹣7a﹣4+6（a﹣1）﹣2=0，整理得a2﹣a﹣12=0，解得a1=4，a2=﹣3，∵△=4（a﹣1）2﹣4（a2﹣7a﹣4）=20a+20≥0，∴a≥﹣1，∴a=﹣3舍去，因此a=4．【點評】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=﹣，x1x2=．18．一個不透明的布袋里裝有2個白球，1個黑球和若干個紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出1個球，是白球的概率為．（1）布袋里紅球有多少個？（2）先從布袋中摸出1個球后不放回，再摸出1個球，請用列表法或畫樹狀圖等方法求出兩次摸到的球都是白球的概率．【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【分析】（1）設紅球的個數為x，根據白球的概率可得關于x的方程，解方程即可；（2）畫出樹形圖，即可求出兩次摸到的球都是白球的概率．【解答】解：（1）設紅球的個數為x，由題意可得：，解得：x=1，即紅球的個數為1個；（2）畫樹狀圖如下：∴P（摸得兩白）==．【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．19．已知一次函數y1=x+m的圖象與反比例函數y2=的圖象交于A、B兩點．已知當x＞1時，y1＞y2；當0＜x＜1時，y1＜y2．（1）求一次函數的解析式；（2）已知雙曲線在第一象限上有一點C到y軸的距離為3，求△ABC的面積．【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．【專題】壓軸題．【分析】（1）首先根據x＞1時，y1＞y2，0＜x＜1時，y1＜y2確定點A的橫坐標，然后代入反比例函數解析式求出點A的縱坐標，從而得到點A的坐標，再利用待定系數法求直線解析式解答；（2）根據點C到y軸的距離判斷出點C的橫坐標，代入反比例函數解析式求出縱坐標，從而得到點C的坐標，過點C作CD∥x軸交直線AB于D，求出點D的坐標，然后得到CD的長度，再聯立一次函數與雙曲線解析式求出點B的坐標，然后△ABC的面積=△ACD的面積+△BCD的面積，列式進行計算即可得解．【解答】解：（1）∵當x＞1時，y1＞y2；當0＜x＜1時，y1＜y2，∴點A的橫坐標為1，代入反比例函數解析式，=y，解得y=6，∴點A的坐標為（1，6），又∵點A在一次函數圖象上，∴1+m=6，解得m=5，∴一次函數的解析式為y1=x+5；（2）∵第一象限內點C到y軸的距離為3，∴點C的橫坐標為3，∴y==2，∴點C的坐標為（3，2），過點C作CD∥x軸交直線AB于D，則點D的縱坐標為2，∴x+5=2，解得x=﹣3，∴點D的坐標為（﹣3，2），∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6，點A到CD的距離為6﹣2=4，聯立，解得（舍去），，∴點B的坐標為（﹣6，﹣1），∴點B到CD的距離為2﹣（﹣1）=2+1=3，S△ABC=S△ACD+S△BCD=×6×4+×6×3=12+9=21．【點評】本題考查了反比例函數圖象與一次函數圖象的交點問題，根據已知條件先判斷出點A的橫坐標是解題的關鍵．20．已知AB是⊙O的直徑，P為AB延長線上的任意一點，過點P作⊙O的切線，切點為C，∠APC的平分線PD與AC交于點D．（1）如圖①，若∠CPA恰好等于30°，求∠CDP的度數；（2）如圖②，若∠CPA不等于30°時，①中的結論是否仍然成立？請說明理由．【考點】切線的性質．【分析】（1）利用切線的性質得出∠OCP=90°，進而利用∠CPA=30°，得出∠COP的度數，進而結合角平分線的性質得出∠APD，再利用∠CDP=∠A+∠APD求出答案；（2）利用切線的性質得出∠OCP=90°，結合角平分線的性質得出∠APC=2∠APD，結合∠COP=2∠A，得出2（∠A+∠APD）=90°，進而求出答案．【解答】解：（1）如圖①，連接OC，∵直線PC是⊙O的切線，∴OC⊥PC，則∠OCP=90°，∵∠CPA=30°，∴∠COP=90°﹣30°=60°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∵PD平分∠APC，∴∠APD=×30°=15°，∴∠CDP=∠A+∠APD=30°+15°=45°，即∠CDP的度數為：45°；（2）∠CDP的大小不發生變化，理由：如圖②，連接CO，∵PC是⊙O的切線，∴∠OCP=90°，∵PD是∠CPA的平分線，∴∠APC=2∠APD，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COP=2∠A，∴∠COP+∠APC=90°，即2（∠A+∠APD）=90°，∴∠CDP=∠A+∠APD=45°，故∠CDP的大小不發生變化．【點評】此題主要考查了切線的性質以及角平分線的性質，正確得出2（∠A+∠APD）=90°是解題關鍵．21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉n度后，得到△DEC，點D剛好落在AB邊上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中點，判斷四邊形ACFD的形狀，并說明理由．【考點】旋轉的性質；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定．【專題】幾何圖形問題．【分析】（1）利用旋轉的性質得出AC=CD，進而得出△ADC是等邊三角形，即可得出∠ACD的度數；（2）利用直角三角形的性質得出FC=DF，進而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉n度后，得到△DEC，∴AC=DC，∠A=60°，∴△ADC是等邊三角形，∴∠ACD=60°，∴n的值是60；（2）四邊形ACFD是菱形；理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中點，∴FC=DF=FE，∵∠CDF=∠A=60°，∴△DFC是等邊三角形，∴DF=DC=FC，∵△ADC是等邊三角形，∴AD=AC=DC，∴AD=AC=FC=DF，∴四邊形ACFD是菱形．【點評】此題主要考查了菱形的判定以及旋轉的性質和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，得出△DFC是等邊三角形是解題關鍵．22．如圖，自來水廠A和村莊B在小河l的兩側，現要在A，B間鋪設一條輸水管道．為了搞好工程預算，需測算出A，B間的距離．一小船在點P處測得A在正北方向，B位于南偏東24.5°方向，前行1200m，到達點Q處，測得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．（1）線段BQ與PQ是否相等？請說明理由；（2）求A，B間的距離．（參考數據cos41°≈0.75）【考點】解直角三角形的應用-方向角問題．【分析】（1）首先由已知求出∠PBQ和∠BPQ的度數進行比較得出線段BQ與PQ是否相等；（2）先由已知求出∠PQA，再由直角三角形PQA求出AQ，由（1）得出BQ=PQ=1200，又由已知得∠AQB=90°，所以根據勾股定理求出A，B間的距離．【解答】解：（1）線段BQ與PQ相等．證明：∵∠PQB=90°﹣41°=49°，∠BPQ=90°﹣24.5°=65.5°，∴∠PBQ=180°﹣49°﹣65.5°=65.5°，∴∠BPQ=∠PBQ，∴BQ=PQ；（2）∠AQB=180°﹣49°﹣41°=90°，∠PQA=90°﹣49°=41°，∴AQ===1600，BQ=PQ=1200，∴AB2=AQ2+BQ2=16002+12002，∴AB=2000，答：A、B的距離為2000m．【點評】此題考查的知識點是解直角三角形的應用，解題的關鍵是通過角的計算得出BQ=PQ，再由直角三角形先求出AQ，根據勾股定理求出AB．23．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D為AC延長線上一點，AC=3CD，過點D作DH∥AB，交BC的延長線于點H．（1）求BD?cos∠HBD的值；（2）若∠CBD=∠A，求AB的長．【考點】相似三角形的判定與性質；解直角三角形．【分析】（1）首先根據DH∥AB，判斷出△ABC∽△DHC，即可判斷出=3；然后求出BH的值是多少，再根據在Rt△BHD中，cos∠HBD=，求出BD?cos∠HBD的值是多少即可．（2）首先判斷出△ABC∽△BHD，推得；然后根據△ABC∽△DHC，推得，所以AB=3DH；最后根據，求出DH的值是多少，進而求出AB的值是多少即可．【解答】解：（1）∵DH∥AB，∴∠BHD=∠ABC=90°，∴△ABC∽△DHC，∴=3，∴CH=1，BH=BC+CH，在Rt△BHD中，cos∠HBD=，∴BD?cos∠HBD=BH=4．（2）∵∠CBD=∠A，∠ABC=∠BHD，∴△ABC∽△BHD，∴，∵△ABC∽△DHC，∴，∴AB=3DH，∴，解得DH=2，∴AB=3DH=3×2=6，即AB的長是6．【點評】（1）此題主要考查了相似三角形的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可．（2）此題還考查了直角三角形的性質和應用，要熟練掌握．24．如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=12，高AD=10，矩形EFPQ的一邊QP邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H．（1）求證：；（2）設BF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值；（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動（當點Q與點C重合時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式．【考點】相似形綜合題．【分析】（1）根據矩形的性質得出EF∥QP，再由AD⊥BC可得出AH⊥EF，進而可得出結論；（2）先用x表示出AH的長，再由S矩形EFPQ=EF?EQ可得出二次函數的解析式，進而可得出結論；（3）先求出PC及QC的長，再分0≤t≤5，5≤t＜6及6≤t≤11三種情況進行討論即可．【解答】（1）證明：∵四邊形EFPQ是矩形，∴EF∥QP．∵AD⊥BC，∴AH⊥EF，∴=；（2）解：∵由（1）得，=，∴AH=x，∴EQ=HD=AD﹣AH=10﹣x，∴S矩形EFPQ=EF?EQ=x（10﹣x）=﹣x2+10x=﹣（x﹣6）2+30，∵﹣＜0，∴當x=6時，S矩形EFPQ有最大值，最大值為30．（3）解：如圖1，由（