傅立葉級(jí)數(shù)(FourierSeries)推導(dǎo)終于還是在外國人的教材上看到了原來傅立葉級(jí)數(shù)是大大的有道理的。這本書名字叫做<patialdifferentialequationsanintroduction〉，就是偏微分方程導(dǎo)論。作者是WalterA.Strauss。正是在建立經(jīng)典物理學(xué)的過程之中，傅立葉在研究熱的傳播時(shí)，伯努利在研究波的傳播和擴(kuò)散時(shí)，得到了以下的偏微分方程(這個(gè)推導(dǎo)在物理課本上有，國內(nèi)的諸多教材都有推導(dǎo)，也不是很難，不是這篇文章關(guān)注的焦點(diǎn)，就略提一下，不詳談了)：當(dāng)然，這個(gè)方程的第二個(gè)式子和第三個(gè)式子是偏微分方程的初值和邊值條件，現(xiàn)在這個(gè)被稱做是狄利克萊條件。在不同的場合下，初邊值一般是不同的，比如其他還有紐曼條件，羅賓條件等，但是方程的解法卻是大同小異。傅立葉又是怎么解這個(gè)方程的呢。OK，接下來就來看看傅立葉是怎樣給這個(gè)方程的解加上自己的名字的。在上面這個(gè)方程的推導(dǎo)過程中，傅立葉發(fā)現(xiàn)，這個(gè)解u其實(shí)可以表示為X(x)?T(t)，如果哪位仁兄想問為什么，只好請(qǐng)您再屈駕看一下物理課本了。u=X(x)T(t)代入上述方程就可以得到(其中入是一個(gè)常數(shù)。因?yàn)镋歡=宜幻攜=°)行了，現(xiàn)在得到兩個(gè)二階常微分方程，自己都會(huì)解了。經(jīng)過一番嘗試，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)入>0時(shí)，這兩個(gè)方程的解才會(huì)有一些意義。我們就來看一看吧，現(xiàn)在已經(jīng)假設(shè)入=p*p>0并且p>0那么這個(gè)常微分方程組的解就具有以下形式乂〈力=Ccos^x+￡JsinfixT(f)=j4cos+5sinpct,其中A，B，C，D都是常數(shù)。第二步就是把邊界條件加進(jìn)來=就U)X(0)=X(l)=0O=^(O)=C?O=^p)=￡)sin段對(duì)于C=D=0這樣的平凡解，我們當(dāng)然不感興趣，所以我們還是讓Pl=nnA和B是一些確定的常數(shù)，這些解的和仍然是一個(gè)解，所以任意的有限和是原方程的一個(gè)解以工，◎二】8$二—+BnSin=—）sm二―^)=Z—-呵呵，到此為止，看到傅立葉級(jí)數(shù)了。接下的任務(wù)就是計(jì)算A和B。幸好，我們有以下規(guī)律口sm sm ax=\}[m于是，有以下推導(dǎo)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".mJlTi,r? ,\o"CurrentDocument"飆工)sm ax=|2dAsin sm ax\o"CurrentDocument"' ' M-l ' '=2dA]qsm—sm―-—ax2 ...mm.?A=jJ0^x)smfX'有了這個(gè)公式以后，方程（1）的解才算是完全地得到了。接下來，人們自然會(huì)想，那么什么樣的函數(shù)才可以用傅立葉級(jí)數(shù)來表示呢？經(jīng)過近一個(gè)世紀(jì)的爭論，才驚訝地知道原來所有函數(shù)都可以表示為傅立葉級(jí)數(shù)（這句話大有問題，但是像我這樣的升斗小民也就只能把所有可積函數(shù)理解為黎曼可積的了）。這個(gè)問題的證明思路也不難，那就是用公式（2）把一個(gè)普通函數(shù)強(qiáng)行化為傅立葉級(jí)數(shù)，再證明這個(gè)級(jí)數(shù)收斂甚至是一致收斂就可以了。說到這里，可以總結(jié)一下了。傅立葉研究一個(gè)物理過程，得到了一個(gè)偏微分方程，用特殊的方法去處理這個(gè)方程，發(fā)現(xiàn)解是三角函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。而它就是后來被稱做傅立葉級(jí)數(shù)的東西。進(jìn)一步又發(fā)現(xiàn)，隨便一個(gè)函數(shù)都可以用公式（2）處理成傅立葉級(jí)數(shù)，再一研究又發(fā)現(xiàn)這個(gè)級(jí)數(shù)竟收斂于原來的函數(shù)。于是這個(gè)意義就大了。在通訊的時(shí)候可以說成是任何信號(hào)都可以表示成幾個(gè)三角函數(shù)的疊加（因?yàn)槭諗浚匀∮邢藓捅憧梢院芎玫剡_(dá)到實(shí)際應(yīng)用時(shí)的精度要求），而三角函數(shù)