第十四講：解三角形【考點(diǎn)梳理】正弦定理在中，(為外接圓半徑).變形形式：（1）余弦定理①；②；③。推論：①；②；③三角形面積公式重要結(jié)論在中，分別為角的對(duì)邊，.（2）內(nèi)角和定理：=1\*GB3①同理有：，.=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；=5\*GB3⑤在中，內(nèi)角成等差數(shù)列.【典型題型講解】考點(diǎn)一：正、余弦定理【典例例題】例1．（2022·廣東揭陽·高三期末）在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求角；(2)若，且的面積為，且，求和的值.【答案】(1)解：在中，因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻茫郑裕矗?2)解：由余弦定理及三角形面積公式得，即，因?yàn)椋越獾?例2．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周長(zhǎng)的最小值，并求出此時(shí)的面積.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）選①，由正弦定理得，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴.選②，∵，，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴.選③，∵，由已知結(jié)合正弦定理可得，∴，∴，∵，∴.（2）∵，即，∴，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，周長(zhǎng)的最小值為6，此時(shí)的面積.【方法技巧與總結(jié)】在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到.【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東東莞·高三期末）的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)；(2).（1）解：因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫矗桑茫驗(yàn)椋?（2）解：由，，得，解得，由，即，即.由，得，故，所以的周長(zhǎng)為.2．（2022·廣東汕尾·高三期末）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且(1)求角B(2)當(dāng)b=3時(shí)，求的面積的最大值．【答案】(1)(2)(1)由正弦定理得：，整理得，所以，因?yàn)椋?2)因?yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以面積的最大值.3．（2022·廣東惠州·一模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，且.(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求.【答案】（1）證明：因?yàn)樗裕运裕Y(jié)合正弦定理，可得，命題得證.（2）解：由題意知，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則兩邊平方整理得，即根據(jù)余弦定理兩式相加得，再由余弦定理4．（2022·廣東·一模）在中，角的對(duì)邊分別為，下面給出有關(guān)的三個(gè)論斷：①；②；③.化簡(jiǎn)上述三個(gè)論斷，求出角的值或角的關(guān)系，并以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出所有可能的真命題.（不必證明）論斷①：；論斷②：或；論斷③：；所有可能的真命題有：①③②和①②③.【詳解】論斷①中，由余弦定理得：，，.論斷②中，，由正弦定理得：，，，或，論斷③中，由正弦定理得：，即，，即，，，，即，，即，又，，，解得：以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，所有可能的真命題有：①③②和①②③.5．（2022·廣東湛江·一模）已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.(1)求角A的大小；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】．(1)(2)(1)由正弦定理，得,即，由余弦定理得，，又，所以.(2)由和（1）可知，則，得，即，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)），所以周長(zhǎng)的最大值為.6．（2022·廣東廣州·一模）△的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△的面積為.(1)證明：；(2)若，求.【答案】(1)證明見解析；(2).（1）由題設(shè)，，又，所以，由正弦定理可得，所以，又，所以，即.（2）由（1）及題設(shè)，，且，所以，則，故，又，可得，若，則，而，故不合題設(shè)；所以，所以.7．（2022·廣東汕頭·一模）在①；②的面積為；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，，，______？.【詳解】若選①，則，且,因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫瑒t，即,所以，，得，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋越菫殇J角，所以，所以,所以由正弦定理得,若選②，則由的面積為，，，得，所以，當(dāng)為銳角時(shí)，，此時(shí)由余弦定理得，所以，當(dāng)為鈍角時(shí)，，此時(shí)由余弦定理得，所以，綜上，或，若選③，由，得，由正弦定理得，則，所以三角形不存在考點(diǎn)二：正弦、余弦定理在幾何中的應(yīng)用【典例例題】例1．（2022·廣東佛山·高三期末）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若邊上的中線，求的面積.【答案】(1)(2)（1）解；因?yàn)椋裕裕矗驗(yàn)椋裕裕唬?）在中，由余弦定理得，即①，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因?yàn)椋瑑墒较嗉拥芒冢散佗诘茫?例2．（2022·廣東汕頭·高三期末）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別a，b，c．已知2bcosB=ccosA+acosC．(1)求B；(2)若a=2，，設(shè)D為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求線段BD的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(1)，由正弦定理得，因?yàn)椋裕?(2)由（1）知，，由正弦定理：得，，或（舍去），，，所以由得，，．例3．（2022·廣東珠海·高三期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)已知，D為邊上的一點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(1)∵，∴，即，所以，因?yàn)椋裕裕驗(yàn)椋裕?2)因?yàn)椋鶕?jù)余弦定理得，∴．∵，∴．在中，由正弦定理知，，∴，∴，∴，∴．【方法技巧與總結(jié)】利用平面向量的有關(guān)知識(shí)如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解.【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東中山·高三期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）如圖，已知，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上，且滿足，求的面積．【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）由，可得，又，則．因?yàn)椋裕桑傻茫矗裕烧叶ɡ砜傻茫瑒t，可得，則或（舍去），所以．（2）因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋裕驗(yàn)椋瑑墒较嗉涌傻茫獾茫鐖D，過點(diǎn)P作，則．又因?yàn)椋裕?．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）如圖，在平面四邊形中，，，.(1)若，求的面積；(2)若，，求.【答案】(1)1(2)2(1)（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫祷?jiǎn)得或（舍去），；(2)（2）設(shè)，在中，由正弦定理可得①，由可得，則，，在中，由正弦定理可得②，得，整理得，化簡(jiǎn)得，故.3．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）在平面四邊形中，．(1)求；(2)求的面積．【答案】(1)；(2).(1)因?yàn)闉橹苯侨切危裕谥校捎嘞叶ɡ恚茫裕?2)由（1）知，，，所以，所以為直角三角形，且，所以，故．4.如圖，在中，對(duì)邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)已知，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，且，求四邊形的面積.【答案】．(1).(2).(1)解：由正弦定理及已知，得，，，，，又，所以，即；(2)解：由A?B?C?D四點(diǎn)共圓得，設(shè)，在三角形中，由余弦定理得所以，而，，，因此.5．（2022·廣東梅州·二模）在中，點(diǎn)在上，平分，已知，，(1)求的長(zhǎng)；(2)求的值.【答案】(1)(2)(1)依題意，由余弦定理得：，解得：(2)依題意，由正弦定理得：，所以.因?yàn)椋詾殇J角，所以.因?yàn)椋裕?6．（2022·廣東廣州·二模）在平面四邊形中，．(1)求的面積；(2)若，求的值；【答案】．(1)；(2)8.(1)解：在中，，所以，解得（舍去），所以；(2)解：在中，，所以，即，解得，又，所以，所以，又，所以，所以，在中，，即，所以，所以.【鞏固練習(xí)】一、單選題1．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，,，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)正弦定理得，得，所以.故選：C.2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【詳解】由已知及正弦定理得，所以，所以＝.故選：C.3．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測(cè)（理））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，．則的值為（

）A．B．C． D．【答案】C【詳解】在中，因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫海獾茫?因?yàn)椋?所以.故選：C4．（2022·北京昌平·二模）在△中，只需添加一個(gè)條件，即可使△存在且唯一.條件：①；②；③中，所有可以選擇的條件的序號(hào)為（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③【答案】B【詳解】對(duì)于①，，所以，，得，所以，此時(shí)，△存在且唯一，符合題意；對(duì)于②，，所以，，解得，因?yàn)椋裕詾殇J角，此時(shí)，△存在且唯一，符合題意；對(duì)于③，，所以，，得，進(jìn)而，可得，明顯可見，，與矛盾，故③不符題意.故可以選擇的條件序號(hào)為：①②故選：B二、多選題5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的周長(zhǎng)為 D．的面積為【答案】ABD【詳解】由正弦定理得，整理得，即，A正確；由可得，則，B正確；由余弦定理得，又，可得，整理得，的周長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤；由上知：，，可得，則的面積為，D正確.故選：ABD.6．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）已知中，為外接圓的圓心，為內(nèi)切圓的圓心，則下列敘述正確的是（

）A．外接圓半徑為 B．內(nèi)切圓半徑為C． D．【答案】BCD【詳解】在中，，所以，設(shè)外接圓半徑為，則，則，故A錯(cuò)誤；設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，解得，故B正確；因?yàn)椋裕蔆正確；設(shè)內(nèi)切圓與三角形分別切于，則設(shè)，，解得，所以，則，，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題7．（2022·河北·高三期中）已知中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，則的面積，該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德得出．若的周長(zhǎng)為15，，則的面積為___________________．【答案】【詳解】解：可令將上式相加：由此可解的：由正弦定理：又因?yàn)椋航獾茫篴=3，b=5，c=7.所以代入海倫公式解得：S=故答案為：8．在△中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足，，則___________．【答案】【詳解】∵，∴,由正弦定理得，∵，∴，由余弦定理得：，∴，∴，∴，解得，又∵，∴,將代入得,由正弦定理可得，即，解得，又∵，∴故答案為：.四、解答題9．已知在三角形中，，三角形的面積．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)或(2)，或，【解析】(1)∵而分情況討論，當(dāng)C為銳角時(shí)，，∴當(dāng)C為鈍角時(shí)，，(2),因?yàn)椋裕智闆r討論，當(dāng)C為銳角時(shí)，由余弦定理，由正弦定理，，當(dāng)C為鈍角時(shí)，，由余弦定理，由正弦定理，，10．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，的面積為4，求BC邊上的高．【答案】(1)(2)【解析】(1)，即．，，．又，．(2)，．故由余弦定理可知．而，解得，所以BC邊上的高為．11．在中．．(