第十六章一元函數積分學(一)

本章內容小結(二)

常見問題分類及解法(三)

思考題(四)

課堂練習(一)

本章內容小結一、主要內容1、原函數和不定積分的概念；基本積分公式，基本積分法則，換元法，分部積分法.2、定積分的定義；微積分基本定理；牛頓-萊布尼茲公式及其應用.二、重點和難點

本章重點是不定積分的計算和利用牛頓-萊布尼茲公式計算定積分.難點是不定積分的計算和定積分的定義.四、對學習的建議1、不定積分的計算掌握得熟練與否不僅影響著定積分的計算和應用，而且將影響到今后學習多元函數積分的計算以及微分方程的求解等，因此務必給予重視.

不定積分的計算中湊微分法的使用是個難點，它的基本思路是通過恒等變化積分表達式中的微分形式，使積分表達式在形式上符合基本積分公式，從而解決積分問題.要熟練掌握湊微分法，一是要熟記基本積分公式，二是熟悉常用的微分公式，三是多做多看，積累經驗，熟悉技巧.

分部積分法主要是針對被積函數為乘積形式的積分，其方法是將所給積分化為形如,然后利用公式

總之，不定積分的解法很靈活，求解途徑不止一種，以下所說都是一些基本情況和常規思路，而實際上面對的情況是千變萬化的，有時解法需要技巧性很強，例如，即使被積函數中無根式，也可考慮使用第二換元法等.這就要求多看多練，多總結歸納.2、對于定積分的定義應通過引入例題深刻理解，它的精要之處是“分割求近似，求和取極限”，這種數學思想在利用定積分解決實際問題中尤為重要.五、本章關鍵詞不定積分積分法定積分公式定理(二)

常見問題分類及解法一、直接積分法求不定積分解

許多不定積分先要對被積函數適當變形，根據不定積分的性質，結合代數和三角公式的恒等變形，直接利用基本積分公式求不定積分.二、利用第一換元積分法(湊微分法)

求不定積分

在不定積分的計算中，湊微分法就是根據被積函數，利用微分形式不變性，“湊”成一個在基本積分公式中的函數，求出不定積分.湊微分法比較靈活，應該通過較多的訓練，將湊微分法掌握好.可以看到，許多不定積分的計算用湊微分法顯得比較簡單.該方法的一般計算步驟如下：應用湊微分法時，需注意運用以下幾個湊微分思路：解解三、利用第二換元積分法求不定積分先換元后積分的具體計算步驟如下：由以上三步組成的方法稱為第二換元積分法.解解解據題意作圖如圖16-1

所示.圖16-1例

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示意解據題意作圖如圖16-2

所示.圖16-2例

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示意四、利用分部積分法求不定積分

如果被積函數是冪函數與指數函數的乘積、冪函數與正(余)弦函數的乘積、冪函數與對數函數或三角函數的乘積以及指數函數與正(余)弦函數的乘積，就可以考慮用分部積分法.表16-1

分部積分表解解法一據題意作圖(見圖16-3).圖16-3例

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示意解法二解法三

由此可見，不定積分計算要根據被積函數的特征靈活運用積分方法.在具體的問題中，常常是各種方法綜合使用，針對不同的問題就采用不同的積分方法.五、可變上限的定積分對上限的求導解解解六、利用換元積分法計算定積分

應用定積分的換元法時，要考慮被積函數的特點，與不定積分換元法類似，定積分的換元法也包括湊微分、簡單根式代換、三角代換等.必須指出換元法中定積分與不定積分不同的是：解解七、利用分步積分法計算定積分

定積分的被積函數的特點與不定積分的分部積分法類似，但不必先由不定積分的分部積分法求出原函數再用牛頓-萊布尼茲公式求出原函數在積分上限和下限值的差，而直接應用定積分的分部積分法，可能會使積分簡化.解解八、利用函數的奇偶性計算定積分解證(三)思考題答案答案答案答案1、湊微分法求不定積分的步驟是什么？2、試寫出不定積分與定積分在應用換元法時的區別是什么？4、熟記微積分基本公式即牛頓-萊布尼茲公式.(四)課堂練習題答案答案答案答案返回1、先湊微分，再進行變量代換后積分，最后回代.返回2、第一：定積分在換元時，一定