大學數學實驗MathematicalExperiments實驗6非線性方程求解大學數學實驗MathematicalExperiments什么叫方程（組）?方程：包含未知數（或/和未知函數）的等式方程組：包含未知數（或/和未知函數）的一組等式不包含未知函數的方程組的一般形式：F(x)=0x=(x1,x2,…,xn)T,F(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))T(一般m=n)滿足方程（組）的未知數的取值稱為方程（組）的解，或稱為F(x)的零點。單變量方程（一元方程）：f(x)=0,“解”也稱為“根”什么叫方程（組）?方程：包含未知數（或/和未知函數）非線性方程的特點方程根的特點：

n次代數方程有且只有n個根(包括復根、重根)；5次以上的代數方程無求根公式；超越方程有無根，有幾個根通常難以判斷。方程分類：

代數方程:a0xn+a1xn-1+…+an=0；

超越方程：包含超越函數(如sinx,lnx)的方程；

非線性方程：n(

2)次代數方程和超越方程。非線性方程的特點方程根的特點：方程分類：AJoke:“Findx”Ican’tbelievetheteachermarkedhimwrong,hefoundit.http://haha.nu/funny/funny-math/AJoke:“Findx”Ican’tbelievAnotherJoke:“Findx”Smartenough!http://haha.nu/funny/funny-math/AnotherJoke:“Findx”Smarten實驗6的基本內容3.實際問題中非線性方程的數值解1.非線性方程f(x)=0的數值解法:迭代方法的基本原理;牛頓法;擬牛頓法.2.推廣到解非線性方程組4.分岔和混沌現象實驗6的基本內容3.實際問題中非線性方程的數值解1.非線性方實例1路燈照明

道路兩側分別安裝路燈，在漆黑的夜晚，當兩只路燈開啟時，兩只路燈連線的路面上最暗的點和最亮的點在哪里？h2P2P1sh1如果P2的高度可以在3米到9米之間變化，如何使路面上最暗點的亮度最大？如果兩只路燈的高度均可以在3米到9米之間變化呢？s=20(米)P1=2,P2=3(千瓦)h1=5,h2=6(米)實例1路燈照明道路兩側分別安裝路燈，在漆黑的夜晚，當兩實例1路燈照明

建立坐標系如圖，兩個光源在點Q(x,0)的照度分別為(k是由量綱單位決定的比例系數，不妨記k=1)

點Q的照度

x

x

2

1

Oh2P2r1P1s

r2h1yQ實例1路燈照明建立坐標系如圖，兩個光源在點Q(x,0)實例1路燈照明

為求最暗點和最亮點，先求C(x)的駐點

x

x

2

1

Oh2P2r1P1s

r2h1y令C’(x)=0：解析解難以求出，需數值求解Q實例1路燈照明為求最暗點和最亮點，先求C(x)的駐點實例2均相共沸混合物的組分

均相共沸混合物（homogeneousazeotrope）

是由兩種或兩種以上物質組成的液體混合物，當在某種壓力下被蒸餾或局部汽化時，在氣體狀態下和在液體狀態下保持相同的組分（比例）給定幾種物質，如何確定它們構成均相共沸混合物時的比例？設該混合物由n個可能的物質組成，物質i所占的比例為xi模型建立實例2均相共沸混合物的組分均相共沸混合物（homoge實例2均相共沸混合物的組分

均相共沸混合物應該滿足穩定條件，即共沸混合物的每個組分在氣體和液體狀態下具有相同的化學勢能。在壓強P不大的情況下，這個條件可以表示為：Pi是物質i的飽和汽相壓強，與溫度T有關，可以如下確定：

是組分i的液相活度系數，可以根據如下表達式確定:(qij表示組分i與組分j的交互作用參數

，可以通過實驗近似得到)(ai,bi，ci是常數)實例2均相共沸混合物的組分均相共沸混合物應該滿足穩定條實例2均相共沸混合物的組分

只有當物質i參與到該共沸混合物中時才需要滿足上式，故得到解析解難以求出，需數值求解實例2均相共沸混合物的組分只有當物質i參與到該共沸混合根的隔離:二分法解方程f(x)=0第一步——確定根的大致范圍圖形法：作f(x)圖形,觀察f(x)與x軸的交點非線性方程的基本解法圖形法有4個根分別位于x=-1.75,-0.75,1.00，2.40附近

根的隔離:二分法解方程f(x)=0第一步——確定根的大致二分法的原理二分法的實現不足收斂速度較慢區間每次縮小一半，n足夠大時，可確定根的范圍中點非線性方程的基本解法二分法的原理二分法的實現不足收斂速度較慢區間每次縮小一半，n例1存在根非線性方程迭代法的基本思想例1存在根非線性方程迭代法的基本思想非線性方程的迭代法（例）

非線性方程的迭代法（例）迭代法的幾何解釋y=φ(x)x*xyy=x0x1x0P0(x0,x1)x2P1(x1,x2)x3P2P3xyy=xy=φ(x)0x*x0x1x2x3P0P1P3{xk}收斂于x*{xk}不收斂于x*取決于曲線

(x)的斜率迭代法的幾何解釋y=φ(x)x*xyy=x0x1x0P0(x迭代法的收斂性L不易確定放寬定理條件，縮小初值范圍迭代法的收斂性L不易確定放寬定理條件，縮小初值范圍迭代法的收斂速度（收斂階）1階收斂(線性收斂)迭代法的收斂速度（收斂階）1階收斂(線性收斂)

結論：

(x)的構造決定收斂速度迭代法的收斂速度（例）例題結論：(x)的構造決定收斂速度迭代法的收斂速度（例）例題牛頓切線法牛頓切線法2階收斂若x*為單根xkxk+1MNxOy=f(x)yf(xk)牛頓切線法牛頓切線法2階收斂若x*為單根xkxk+1MNxO牛頓割線法yOxk+1xy=f(x)PQxk-1xk若x*為重根牛頓切線法1階收斂收斂速度比牛頓切線法稍慢重數越高，收斂越慢牛頓yOxk+1xy=f(x)PQxk-1xk若x*為重根牛解非線性方程組的牛頓法解方程f(x)=0的牛頓切線法

推廣到解方程組解非線性方程組的牛頓法解方程f(x)=0解方程f(x)=0

解非線性方程組的牛頓法解方程f(x)=0解非解方程f(x)=0的牛頓割線法解方程組的擬牛頓法——用Ak代替F(xk）矩陣Ak(n2個未知數)不能由這樣的n個方程確定擬牛頓法(Quasi-Newton)解方程f(x)=0的牛頓割線法解方程組的擬牛頓法——MATLAB優化工具箱解非線性方程fzero:單變量方程f(x)=0求根(變號點)最簡形式x=fzero(@f,x0)可選輸入:“P1,P2,...”是傳給f.m的參數(如果需要的話)’opt’是一個結構變量，控制參數(如精度TolX)opt可用optimset設定,不指定或指定為’[]’時將采用缺省值如:opt=optimset(‘TolX’,1e-8)

輸出:’fv’是函數值;’ef’是程序停止運行的原因(1,0,-1);’out’是一個結構變量，包含:iterations(迭代次數),funcCount(函數調用次數),algorithm(所用算法)一般形式[x,fv,ef,out]=fzero(@f,x0,opt,P1,P2,...)

必須輸入:’f’為f.m函數名，’x0’是迭代初值(或有根區間)

輸出:’x’是變號點的近似值(函數不連續時不一定是根)演示:examFzero.mMATLAB優化工具箱解非線性方程fzero:單變量方程fsolve:多變量方程組F(x)=0求解輸出----與fzero類似,但:’out’中還輸出’firstorderopt’,即結果（x點）處梯度向量的范數(實際上是1-范數，即分量按絕對值取最大的值);’jac’輸出x點所對應的雅可比矩陣輸入----與fzero類似,但:’x0’是迭代初值，’opt’中控制參數更多(如MaxFunEvals,MaxIter等)x=fsolve(@f,x0)最簡形式[x,fv,ef,out,jac]=fsolve(@f,x0,opt,P1,P2,...)一般形式注:solve函數也可求解(符號工具箱)MATLAB優化工具箱解非線性方程組fsolve:多變量方程組F(x)=0求解輸出----牛頓法多項式求根MATLAB優化工具箱解非線性方程牛頓法多項式求根MATLAB優化工具箱解非線性方程function[y,z]=newton(fv,df,x0,n,tol)x(1)=x0;b=1;k=1;whileor(k==1,abs(b)>tol*abs(x(k)))x(k+1)=x(k)-feval(fv,x(k))/feval(df,x(k));b=x(k+1)-x(k);k=k+1;if(k>n)error('Error:Reachedmaximumiterationtimes');break;endendy=x(k-1);ifnargout>1z=k-1;endfv是f(x)的函數句柄，df是f’(x)的函數句柄求解f(x)=0的newton.m文件[xx,k]=newton(inline('x^3-2*x-5'),inline('3*x^2-2'),0.5,100,1e-6)function[y,z]=newton(fv,df,x0

k

xk0(1.000000,1.000000)1(1.750000,1.250000)2(1.589286,1.225000)3(1.581160,1.224645)4(1.581139,1.224745)5(1.581139,1.224745)演示exam0602Newton.m;exam0602Fsolve.m;exam0602Solve.mkxk演示exam實例1路燈照明

C(x)有3個駐點:(9,10)內的是最小點，0或20附近的是最大點實例1路燈照明C(x)有3個駐點:(9,10)內的實例1路燈照明

functiony=zhaoming(x)y=2*5*x/(5^2+x^2)^(5/2)-3*6*(20-x)/(6^2+(20-x)^2)^(5/2);x0=[0,10,20];fork=1:3 x(k)=fzero(@zhaoming,x0(k)); c(k)=2*5/(5^2+x(k)^2)^(3/2)+3*6/(6^2+(20-x(k))^2)^(3/2);end[x;c]x00.028489979.3382991419.9766958120C(x)0.081977160.081981040.018243930.084476550.08447468x=9.3383是C(x)的最小值點，x=19.9767是C(x)的最大值點實例1路燈照明functiony=zhaoming(實例1路燈照明

問題：P2=3千瓦路燈的高度在3~9米變化，如何使路面上最暗點的照度最大?用fzero命令解方程，得到的結果是：x=9.5032，h2=7.4224，C(x,h2)=0.018556(最暗點的最大照度)=0

=0

實例1路燈照明問題：P2=3千瓦路燈的高度在3~9米變實例1路燈照明

問題：討論兩只路燈的高度均可以在3~9米之間變化的情況實際數據計算，得到x=9.3253,最暗點的照度達到最大的路燈高度h1=6.5940,h2=7.5482=0

=0

=0

實例1路燈照明問題：討論兩只路燈的高度均可以在3~9米實例1路燈照明

討論1：若P1=P2,則x=0.5s(中點)，與直覺符合思考：更多路燈的情形（如籃球場四周安裝照明燈）

x

x

2

1

Oh2P2r1P1s

r2h1yQ討論2：（這個角度與路燈的功率和道路寬度均無關）實例1路燈照明討論1：若P1=P2,則x=0.5s實例2均相共沸混合物的組分

a1=16.388,a2=16.268,a3=18.607；b1=2787.50,b2=2665.54,b3=3643.31；c1=229.66,c2=219.73,c3=239.73；P=760（mmHg）Q=[1.00.480.7681.551.00.5440.5660.651.0]給定n=3種物資：丙酮、乙酸甲脂、甲醇(分別記為1、2、3)n個變量：T,xi實例2均相共沸混合物的組分a1=16.388,a2=實例2均相共沸混合物的組分

XT=[0.27400.463654.2560]Y=1.0e-006*[0.4195-0.31120.2083]functionf=azeofun(XT,n,P,a,b,c,Q)x(n)=1;fori=1:n-1x(i)=XT(i);x(n)=x(n)-x(i);endT=XT(n);p=log(P);fori=1:nd(i)=x*Q(i,1:n)';dd(i)=x(i)/d(i);endfori=1:nf(i)=x(i)*(b(i)/(T+c(i))+log(x*Q(i,1:n)')+dd*Q(1:n,i)-a(i)-1+p);endn=3;P=760;a=[16.388,16.268,18.607]';b=[2787.50,2665.54,3643.31]';c=[229.66,219.73,239.73]';Q=[1.00.480.7681.551.00.5440.5660.651.0];XT0=[0.333,0.333,50];[XT,Y]=fsolve(@azeofun,XT0,[],n,P,a,b,c,Q)實例2均相共沸混合物的組分XT=[0.2740實例2均相共沸混合物的組分

初值解XT0x1x2x3T[0.333,0.333,50]0.27400.46360.262454.2560[0,0.5,54]0.00000.67660.323454.3579[0.5,0,54]0.74750.00000.252554.5040[0.5,0.5,54]0.53280.46720.000055.6764實例2均相共沸混合物的組分初值解XT0x1x2x3T[分岔與混沌現象離散形式的阻滯增長模型（見實驗2）問題：種群數量總是趨于穩定嗎？(xk是第k代的種群數量，r是固有增長率，N是種群最大容量)取N=1，r=0.3,1.8,2.2,2.5,2.55,2.7，初值x0=0.1，按照迭代方程用MATLAB計算xk，觀察得到結果

分岔與混沌現象離散形式的阻滯增長模型（見實驗2）問題：種分岔與混沌現象

分岔與混沌現象分岔與混沌現象

即1<b<3,0<r<2平衡點y=y*=1-1/b（相應于x*=N）穩定的條件為|f’(y*)|<1

分岔與混沌現象即1<b<3,0<r<2平衡點y分岔與混沌現象

隔代收斂分析平衡點y1,2*穩定的條件是平衡點(除y=y*=1-1/b外)分岔與混沌現象隔代收斂分析平衡點y1,2*穩定的條件是平分岔與混沌現象

類似地：迭代方程有4個穩定平衡點的條件記有2n個收斂子序列的b的上限為bn：研究表明：當n→∞時bn→3.57，若b>3.57(即r>2.57)，就不再存在任何2n收斂子序列，序列xk

的趨勢似乎呈現一片混亂，這就是所謂混