學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2016-2017學年云南省大理州南澗縣民族中學高二（下）期中數學試卷(理科）一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共60分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的．）1．若集合A=｛x∈Z|﹣2＜x＜2｝，B=｛x|y=log2x2}，則A∩B=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1，0，1} C．{1｝ D．｛0，1}2．若復數z滿足（i為虛數單位），則z的共軛復數為（)A． B． C． D．3．已知拋物線y=ax2（a＞0）的焦點到準線距離為1，則a=（）A．4 B．2 C． D．4．將函數y=的圖象向左平移m（m＞0）個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱,則m的最小值是（）A． B． C． D．5．已知λ∈R，向量,則“λ=3”是“”的(）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件6．如圖中的程序框圖的算法思路來源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”．執行該程序框圖，若輸入a,b，i的值分別為6,8,0時,則輸出的i=（)A．6 B．5 C．4 D．37．若等比數列｛an}，前n項和Sn，且a2a3=2a1，為a4與2a7的等差中項，則S4=（）A．29 B．30 C．31 D．338．甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區分站的位置,則不同的站法總數是(）A．210 B．84 C．343 D．3369．已知函數f(x）=log3|x﹣t｜是偶函數,記則a，b，c的大小關系為（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a10．如圖為某幾何體的三視圖，則其體積為(）A．π+ B．+4 C．π+ D．π+411．已知數列{an｝為等差數列，滿足，其中A,B，C在一條直線上,O為直線AB外一點，記數列{an｝的前n項和為Sn，則S2018的值為(）A． B．2017 C． D．201812．已知定義在R上的可導函數f（x）的導函數為f′（x），滿足f′（x）＜f（x)，且f(﹣x）=f（2+x),f（2）=1,則不等式f（x）＜ex的解集為（）A．（﹣2，+∞） B．(2,+∞) C．（1,+∞） D．(0，+∞）二、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上）．13．已知x，y滿足約束條件，求z=（x+1）2+（y﹣1）2的最小值是．14．的展開式中,x2項的系數為．（用數字作答）15．已知雙曲線與的一條漸近線被圓（x﹣c）2+y2=4a2截得弦長為2b（雙曲線的焦距2c），則該雙曲線的離心率為．16．三棱錐A﹣BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，其外接球半徑為2,設三棱錐A﹣BCD的側面積為S，則S的最大值為．三．解答題：要求寫出計算或證明步驟（本大題共6小題，共70分,寫出證明過程或演算步驟）17．在公差不為零的等差數列｛an}和等比數列{bn｝中．已知a1=b1=1．a2=b2．a6=b3（1）求等差數列｛an}的通項公式an和等比數列｛bn｝的通項公式bn；(2）求數列{an?bn}的前n項和Sn．18．已知a、b、c分別是△ABC的三個內角A、B、C的對邊，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11)若AB=3,AC邊上的中線BD的長為,求△ABC的面積．19．如圖在直角梯形BB1C1C中,∠CC1B1=90°，BB1∥CC1，CC1=B1C1=2BB1=2，D是CC1的中點．四邊形AA1C1C可以通過直角梯形BB1C1C以CC1為軸旋轉得到,且二面角B1﹣CC1﹣A為120°．（1）若點E是線段A1B1上的動點，求證:DE∥平面ABC；（2)求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．20．現有4名同學去參加校學生會活動，共有甲、乙兩類活動可供參加者選擇，為增加趣味性,約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪類活動，擲出點數為1或2的人去參加甲類活動，擲出點數大于2的人去參加乙類活動．(1)求這4個人中恰有2人去參加甲類活動的概率;（2）用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙兩類活動的人數．記ξ=|X﹣Y|，求隨機變量ξ的分布列與數學期望E（ξ）．21．已知橢圓A，B滿足：過橢圓C的右焦點且經過短軸端點的直線的傾斜角為．（1）求橢圓C的方程;（2）設O為坐標原點，若點A在直線y=2上，點B在橢圓C上，且OA⊥OB，求線段AB長度的最小值．22．已知函數f（x）=(x+1）lnx﹣ax+a（a為常數，且為正實數）．（1）若f（x）在(0，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍;(2）若不等式（x﹣1）f（x)≥0恒成立，求a的取值范圍．

2016—2017學年云南省大理州南澗縣民族中學高二（下）期中數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中,只有一項是最符合題目要求的．）1．若集合A=｛x∈Z｜﹣2＜x＜2}，B={x｜y=log2x2}，則A∩B=（）A．｛﹣1,1｝ B．{﹣1，0,1｝ C．｛1} D．{0，1}【考點】1E：交集及其運算．【分析】化簡集合A、B,根據交集的定義寫出A∩B．【解答】解：集合A=｛x∈Z|﹣2＜x＜2}={﹣1，0,1}，B={x｜y=log2x2}={x｜x2＞0}={x|x＜0或x＞0｝，∴A∩B=｛﹣1,1｝．故選：A．2．若復數z滿足（i為虛數單位），則z的共軛復數為（）A． B． C． D．【考點】A5：復數代數形式的乘除運算．【分析】把已知等式變形，利用復數代數形式的乘除運算求出z，再由共軛復數的概念得答案．【解答】解依題意得：，∴的共軛復數．故選：D．3．已知拋物線y=ax2（a＞0）的焦點到準線距離為1，則a=（）A．4 B．2 C． D．【考點】K8：拋物線的簡單性質．【分析】拋物線y=ax2（a＞0）化為，可得．再利用拋物線y=ax2(a＞0）的焦點到準線的距離為1，即可得出結論．【解答】解：拋物線方程化為，∴，∴焦點到準線距離為，∴，故選D．4．將函數y=的圖象向左平移m（m＞0)個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是()A． B． C． D．【考點】HJ：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】函數解析式提取2變形后,利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，利用平移規律得到平移后的解析式，根據所得的圖象關于y軸對稱，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴圖象向左平移m(m＞0)個單位長度得到y=2sin［（x+m）+］=2sin（x+m+），∵所得的圖象關于y軸對稱，∴m+=kπ+（k∈Z)，由于m＞0,則m的最小值為．故選：A．5．已知λ∈R,向量,則“λ=3”是“"的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件【考點】2L:必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】利用向量共線定理即可得出．【解答】解：由?λ（λ﹣1）﹣6=0,解得λ=3或﹣2．∴“λ=3"是“”的充分不必要條件．故選；B．6．如圖中的程序框圖的算法思路來源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”．執行該程序框圖，若輸入a，b，i的值分別為6，8，0時，則輸出的i=（)A．6 B．5 C．4 D．3【考點】EF：程序框圖．【分析】由循環結構的特點,先判斷，再執行，分別計算出當前的a，b，i的值，即可得到結論．【解答】解：模擬執行程序框圖，可得:a=6，b=8，i=0，i=1，不滿足a＞b，不滿足a=b，b=8﹣6=2，i=2滿足a＞b，a=6﹣2=4,i=3滿足a＞b，a=4﹣2=2，i=4不滿足a＞b，滿足a=b,輸出a的值為2，i的值為4．故選：C．7．若等比數列{an｝，前n項和Sn，且a2a3=2a1，為a4與2a7的等差中項，則S4=（)A．29 B．30 C．31 D．33【考點】8M：等差數列與等比數列的綜合．【分析】設等比數列｛an｝的公比為q，運用等比數列的通項公式和等差數列中項的性質,解方程可得首項和公比,運用等比數列的求和公式，即可得到所求和．【解答】解：設等比數列{an｝的公比為q，a2a3=2a1，為a4與2a7的等差中項，可得a1q?a1q2=2a1，2×=a4+2a7=a1q3+2a1q6,解得q=，a1=16，則S4===30．故選：B．8．甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上,若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區分站的位置,則不同的站法總數是()A．210 B．84 C．343 D．336【考點】D9：排列、組合及簡單計數問題．【分析】由題意知本題需要分組解決，共有兩種情況，對于7個臺階上每一個只站一人,若有一個臺階有2人另一個是1人,根據分類計數原理得到結果．【解答】解：由題意知本題需要分組解決，因為對于7個臺階上每一個只站一人有種；若有一個臺階有2人另一個是1人共有種,所以根據分類計數原理知共有不同的站法種數是種．故選：D．9．已知函數f（x）=log3｜x﹣t|是偶函數,記則a，b，c的大小關系為（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考點】3L：函數奇偶性的性質．【分析】由f（x)為偶函數，可得t=0，討論x＞0時，f（x）遞增,化a=f(log0。30。25）,運用指數函數和對數函數的單調性，比較π1。5、2、log0.30.25的大小,即可得到a，b，c的大小關系．【解答】解:函數f（x）=log3|x﹣t|是偶函數，可得f(﹣x）=f（x），即log3｜﹣x﹣t|=log3｜x﹣t|,即有｜﹣x﹣t｜=｜x﹣t|恒成立，可得t=0，則f（x）=log3|x|,當x＞0時，f（x）=log3x為增函數，a=f（log0。34）=f(log0.30。25），c=f（2﹣t）=f（2），由1＜log0。30.25＜2，π1.5＞π＞3，即有π1。5＞2＞log0.30.25，則f（π1.5）＞f(2）＞f(log0.30。25）,即為b＞c＞a．故選：A．10．如圖為某幾何體的三視圖，則其體積為(）A．π+ B．+4 C．π+ D．π+4【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知:該幾何體為一個圓柱的一半與一個四棱錐．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為一個圓柱的一半與一個四棱錐．則體積V=+=．故選：A．11．已知數列{an}為等差數列，滿足，其中A，B,C在一條直線上，O為直線AB外一點，記數列{an}的前n項和為Sn,則S2018的值為(）A． B．2017 C． D．2018【考點】85：等差數列的前n項和．【分析】推導出a3+a2016=1由數列{an｝是等差數列，能求出｛an｝的前2018項和．【解答】解：∵數列｛an}為等差數列，滿足，其中A，B，C在一條直線上,O為直線AB外一點，∴a3+a2016=1∵數列｛an｝是等差數列，∴｛an}的前2018項和：S2018=（a1+a2018)=(a3+a2018)=．故選：C．12．已知定義在R上的可導函數f(x)的導函數為f′（x）,滿足f′（x）＜f（x），且f（﹣x）=f（2+x），f（2）=1，則不等式f（x）＜ex的解集為（)A．（﹣2,+∞） B．(2,+∞） C．（1，+∞） D．（0，+∞）【考點】6B:利用導數研究函數的單調性．【分析】令g（x）=,利用導數和已知即可得出其單調性．再利用函數的奇偶性和已知可得g(0）=1,即可得出．【解答】解：令g（x）=,則g′（x）=，∵f′（x）＜f(x），∴g′（x）＜0．∴g（x)在R上單調遞減．∵f（﹣x）=f（2+x），∴f（x+1）=f（﹣x+1），∴函數關于x=1對稱,∴f(0）=f(2）=1，原不等式等價為g（x）＜1，∵g（0)==1．∴g（x）＜1?g（x）＜g(0），∵g（x）在R上單調遞減，∴x＞0．∴不等式f（x）＜ex的解集為（0，+∞），故選:D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上）．13．已知x，y滿足約束條件，求z=（x+1）2+（y﹣1)2的最小值是．【考點】7C：簡單線性規劃．【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用z的幾何意義以及距離公式進行求解即可．【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：z的幾何意義為區域內的點到定點D(﹣1，1）的距離的平方,由圖象知，D到直線AB:x﹣y+1=0的距離最小,此時d==，則z=d2=（）2=，故答案為:．14．的展開式中，x2項的系數為﹣20．(用數字作答）【考點】DC：二項式定理的應用．【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數等于2,求得r的值，即可求得展開式中的x2項的系數．【解答】解:在的展開式中，它的通項公式為Tr+1=?x5﹣r?（﹣1）r，令5﹣r=2，求得r=3,可得x2項的系數為﹣=﹣20，故答案為:﹣20．15．已知雙曲線與的一條漸近線被圓（x﹣c）2+y2=4a2截得弦長為2b（雙曲線的焦距2c），則該雙曲線的離心率為．【考點】KC：雙曲線的簡單性質．【分析】求得雙曲線的漸近線方程,利用點到直線的距離公式，求得a與b的關系，利用雙曲線的離心率公式即可求得雙曲線的離心率．【解答】解：雙曲線的一條漸近線方程為bx+ay=0,圓(x﹣c）2+y2=4a2的圓心（c,0）到雙曲線的漸近線的距離為：=b，∵漸近線被圓(x﹣c）2+y2=4a2截得的弦長為2b,∴b2+b2=4a2，∴b2=2a2，即c2=3a2，∴e==．故答案為:．16．三棱錐A﹣BCD中,AB，AC,AD兩兩垂直，其外接球半徑為2，設三棱錐A﹣BCD的側面積為S,則S的最大值為8．【考點】LE:棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積．【分析】三棱錐A﹣BCD的三條側棱兩兩互相垂直，所以把它擴展為長方體，它也外接于球，對角線的長為球的直徑，然后利用基本不等式解答即可．【解答】解:設AB,AC，AD分別為a，b，c，則三棱錐A﹣BCD的三條側棱兩兩互相垂直，所以把它擴展為長方體，它也外接于球,對角線的長為球的直徑，∴a2+b2+c2=16，S=(ab+bc+ac)≤(a2+b2+c2）=8，故答案為：8．三．解答題：要求寫出計算或證明步驟（本大題共6小題，共70分,寫出證明過程或演算步驟）17．在公差不為零的等差數列｛an｝和等比數列｛bn｝中．已知a1=b1=1．a2=b2．a6=b3(1）求等差數列{an｝的通項公式an和等比數列｛bn｝的通項公式bn；（2）求數列｛an?bn｝的前n項和Sn．【考點】8E：數列的求和；84:等差數列的通項公式；88：等比數列的通項公式．【分析】（1）由已知條件結合等差數列和等比數列的性質，列出方程組,求出等差數列｛an｝的公差和等比數列{bn｝的公比，由此能求出等差數列｛an}和等比數列｛bn}的通項公式．（2）由an?bn=（3n﹣2）?4n﹣1，利用錯位相減法能求出數列{an?bn｝的前n項和Sn．【解答】解:（1）∵公差不為零的等差數列{an}和等比數列{bn｝中．a1=b1=1，a2=b2,a6=b3，∴，且d≠0，解得d=3，q=4，∴an=1+（n﹣1）×3=3n﹣2，bn=qn﹣1=4n﹣1．（2）由(1）得an?bn=（3n﹣2)?4n﹣1，∴Sn=1?40+4×4+7×42+…+（3n﹣2）?4n﹣1，①4Sn=4+4×42+7×43+…+（3n﹣2)?4n，②①﹣②,得：﹣3Sn=1+3（4+42+43+…+4n﹣1)﹣(3n﹣2）?4n=1+3×﹣（3n﹣2）?4n=﹣3﹣（3n﹣3)?4n．∴Sn=1+（n﹣1）?4n．18．已知a、b、c分別是△ABC的三個內角A、B、C的對邊，且2asin(C+）=b．（1）求角A的值：（11)若AB=3，AC邊上的中線BD的長為，求△ABC的面積．【考點】HX：解三角形．【分析】（1）利用正弦定理，結合和角的正弦公式,即可求角A的值:（2）若AB=3，AC邊上的中線BD的長為，求出AC，再求△ABC的面積．【解答】解:（1）∵2asin（C+）=b，∴2sinAsin(C+）=sin（A+C),∴sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAsinC=cosAsinC,∴tanA=，∴A=60°;(2）設AC=2x，∵AB=3，AC邊上的中線BD的長為，∴13=9+x2﹣2×3×x×cos60°,∴x=4，∴AC=8，∴△ABC的面積S==6．19．如圖在直角梯形BB1C1C中，∠CC1B1=90°，BB1∥CC1，CC1=B1C1=2BB1=2，D是CC1的中點．四邊形AA1C1C可以通過直角梯形BB1C1C以CC1為軸旋轉得到，且二面角B1﹣CC1﹣A為120°．（1）若點E是線段A1B1上的動點，求證:DE∥平面ABC；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．【考點】MT：二面角的平面角及求法;LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）如圖所示，連接B1D，DA1．由已知可得四邊形B1BDC是平行四邊形，B1D∥BC，可得B1D∥平面ABC．同理可得:DA1∥平面ABC．可得平面B1DA1∥平面ABC;即可證明DE∥平面ABC．（2）作C1M⊥C1B1交A1B1于點M，分別以C1M，C1B1，C1C為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．設平面ABC的法向量為=（x1，y1，z1），則，可得．設平面A1ACC1ABC的法向量為=（x2，y2，z2），則，可得．利用=即可得出．【解答】(1)證明：如圖所示，連接B1D，DA1．由已知可得：，∴四邊形B1BDC是平行四邊形,∴B1D∥BC，而BC?平面ABC，B1D?平面ABC;∴B1D∥平面ABC．同理可得：DA1∥平面ABC．又A1D∩DB1=D,∴平面B1DA1∥平面ABC；DE?平面B1DA1；∴DE∥平面ABC．（2）解：作C1M⊥C1B1交A1B1于點M，分別以C1M，C1B1,C1C為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．則C1（0,0，0），A1(，﹣1，0），B（0，2,1),C（0，0，2）,A(，﹣1，1），=（，﹣1，﹣1）,=（0，2,﹣1），=(0，0,2）．設平面ABC的法向量為=（x1,y1，z1),則，即，取=(，1，2）．設平面A1ACC1ABC的法向量為=（x2，y2,z2）,則，即，取=（1，，0）．∴===．∴二面角B﹣AC﹣A1的余弦值是．20．現有4名同學去參加校學生會活動，共有甲、乙兩類活動可供參加者選擇，為增加趣味性,約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪類活動，擲出點數為1或2的人去參加甲類活動，擲出點數大于2的人去參加乙類活動．（1）求這4個人中恰有2人去參加甲類活動的概率;(2)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙兩類活動的人數．記ξ=|X﹣Y|，求隨機變量ξ的分布列與數學期望E（ξ）．【考點】CH:離散型隨機變量的期望與方差;CG:離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）依題意，這4個人中,每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的人數的概率為．設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai（i=0,1,2，3,4）,故P（Ai）=（)i（)4﹣i．由此能求出這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率．(2）ξ的所有可能取值為0，2,4，由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，求出相應的概率，可得ξ的分布列與數學期望．【解答】解：（1）依題意,這4個人中,每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的人數的概率為．設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai（i=0，1,2，3，4),故P（Ai）=（）i（）4﹣i．∴這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率為P（A2）=．(2）ξ的所有可能取值為0,2,4,由于A1與A3互斥，A0與A4互斥,故P（ξ=0）=P（A2）=，P(ξ=2)=P(A1）+P(A3）=，P（ξ=4）=P(A0)+P（A4)=，∴ξ的分布列是：ξ024P數學期望Eξ=0×+2×+4×=．21．已知橢圓A，B滿足：過橢圓C的右焦點且經過短軸端點的直線的傾斜角為．(1）求橢圓C的方程；(2)設O為坐標原點，若點A在直線y=2上,點B在橢圓C上，且OA⊥OB,求線段AB長度的最小值．【考點】KL：直線與橢圓的位置關系．【分析】（1）由過橢圓C的右焦點且經過短軸端點的直線的傾斜角為，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．(2）設點A，B的坐標分別為（t，2）,（x0，y0），由OA⊥OB知tx0+2y0=0，再由=4，利用基本不等式能求出線段AB長度的最小值．【解答】解：（1）設橢圓的短軸端點為（0，﹣b)（若為上端點則傾斜角為鈍角），則過右焦點與短軸端點的直線的斜率k==tan=1，∴，又,∴a=2