*三、二重積分的換元法第二節一、利用直角坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分二重積分的計算

第八章

按定義:二重積分是一個特定乘積和式極限然而，用定義來計算二重積分，一般情況下是非常麻煩的.那么，有沒有簡便的計算方法呢?這就是我們今天所要研究的課題。下面介紹:一、利用直角坐標計算二重積分二重積分僅與被積函數及積分域有關,為此,先介紹：1、積分域D:（1）X-型域D:［X－型］其中函數、在區間上連續.（2）Y-型域D：

Y型區域的特點:

1)穿過區域且平行于x軸的直線與區域邊界的交點不多于兩個;2)［Y－型］

X型區域的特點：1)平行于y軸且穿過區域的直線與區域邊界的交點不多于兩個；2)

2、X-型域下二重積分的計算:

應用“定積分”中求“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法計算這個曲頂柱體的體積。在區間[a,b]上任取一點x0，作平行于yOz面的平面x=x0。先計算截面面積。oax0

bxyzoax0

bxyz

這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區間[

1(x0),

2(x0)]為底、曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形，其面積為：一般地，過區間[a,b]上任一點x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面面積為：

于是，應用計算平行截面面積為已知的立體體積的方法，得曲頂柱體體積為這個體積也就是所求二重積分的值，從而有等式oax

bxyz---先對y積分，后對x

積分的二次積分【累次積分】就是說，先把x看作常數，把f(x,y)只看作y的函數，并對y計算從

1(x)到

2(x)的定積分；再把計算所得的結果（是x的函數）對x計算在區間[a,b]上的定積分。這樣的二次積分也常記作1）積分次序:X-型域先Y后X;2）積分限確定法:域中一線插,內限定上下，域邊兩線夾，外限依靠它。類似可得體積計算公式3、Y-型域下二重積分的計算：一般地必須是X－型必須是Y－型當被積函數均非負在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則說明:

(1)若積分區域既是X–型區域又是Y–型區域,（1）畫出積分區域的圖形,求出邊界曲線交點坐標；（3）確定積分限，化為二次定積分；（2）根據積分域類型,確定積分次序；（4）計算兩次定積分，即可得出結果.要依被積函數及積分域兩方面的情況選定積分順序。確定積分順序之后，積分的上下限是依D的特點而定的，一定要做到熟練、準確。要使兩次積分都能“積得出”，“易積出”。4、二重積分計算的一般方法【化為兩次單積分】其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區域.解法1.將D看作X–型區域,則解法2.將D看作Y–型區域,

則例1.計算其中D是拋物線所圍成的閉區域.解:

為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則例2.

計算其中D是直線所圍成的閉區域.解:

由被積函數可知,因此取D為X–型域:先對x積分不行,說明:有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.例3.計算例4.

求兩個底圓半徑為R

的直交圓柱面所圍的體積.解:設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為【P58例4】①由所給的積分順序及積分限寫出D的不等式表示并畫出積分區域的草圖②由積分區域按新的積分順序確定積分限。4、交換積分順序解積分區域如圖y1y＝2

xO12x2D1D2例6

交換次序解練習：

改變以下二次積分的積分次序1o2xy1yxy解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區域,則例7.交換下列積分順序D位于x軸上方的部分為D1,當D關于y

軸對稱,f關于變量x有奇偶性時,有類似結果.在D上在閉區域上連續,域D關于x軸對稱,則則在第一象限部分,則有5、對稱區域上的積分設函數其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,例8.計算當一些二重積分的積分區域D用極坐標表示比較簡單，或者一些函數它們的二重積分在直角坐標系下根本無法計算時，我們可以在極坐標系下考慮其計算問題。二、利用極坐標系計算二重積分1直系與極系下的二重積分關系（如圖）（1）面積元素變換為極系下：（2）二重積分轉換公式：面積元素或一般地有換元積分公式：（3）注意：將直角坐標系的二重積分化為極坐標系下的二重積分需要進行“三換”：（4）極坐標系下區域的面積相當于二重積分的換元法2極系下的二重積分化為二次積分用兩條過極點的射線夾平面區域，由兩射線的傾角得到其上下限任意作過極點的半射線與平面區域相交，由穿進點，穿出點的極徑得到其上下限。將直系下的二重積分化為極系后，極系下的二重積分仍然需要化為二次積分來計算。D：（1）區域如圖1具體地（如圖）圖1D：（2）區域如圖2圖2D：（3）區域如圖3圖3（4）區域如圖4D：若f≡1則可求得D的面積圖4例9將化為在極坐標系下的二次積分。（1)（2）（3）（4）（1）解在極坐標系中，閉區域D:（2）在極坐標系中，閉區域D:（2）在極坐標系中，閉區域D:（3）在極坐標系中，閉區域D:（4）在極坐標系中，閉區域D:思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點,試答:問

的變化范圍是什么?(1)(2)解例11.計算其中D為由圓所圍成的及直線解：平面閉區域.其中解:在極坐標系下原式的原函數不是初等函數,故本題無法用直角由于故坐標計算.例12.計算解:設利用上例可得到一個在概率論與數理統計及工程上非常有用的反常積分公式①【P61例7】注:【另一證明】上式不等式兩邊極限均為由夾逼準則知被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積.解:設由對稱性可知Dyxo

【P61例8】例13.求球體定積分換元法*三、二重積分換元法滿足一階導數連續;雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應的,從而得二重積分的換元公式:例如,直角坐標轉化為極坐標時,【公式證明】即面積元素關系為其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.解:令則例14.

計算解:

由對稱性令則D的原象為的體積V.廣義極坐標變換類似可得橢圓面積

例15.試計算橢球體內容小結(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形:

若積分區域為則

若積分區域為則則(2)一般換元公式且則在變換下極坐標系情形:

若積分區域為?畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對稱性應用換元公式補充例題(3)計算步驟及注意事項練習題一練習題一答案練習題二練習題二答案思考與練習1.設且求提示:xyDD

或通過下列方法計算也可借用原函數證明：設F(x)是f(x)的一個原函數，則提示:積分域如圖2.交換積分順序事實上,當D為R2時,利用上例的結果,得故①式成立.在極坐標系下,用同心圓r=常數則除包含邊界點的