第六章數(shù)學(xué)模型電子教案第一頁，共41頁。穩(wěn)定性模型對象仍是動態(tài)過程，而建模目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。第一頁第二頁，共41頁。6.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲問題及分析在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。如果使捕撈量等于自然增長量，漁場魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。第二頁第三頁，共41頁。產(chǎn)量模型假設(shè)無捕撈時魚的自然增長服從Logistic規(guī)律單位時間捕撈量與漁場魚量成正比建模不需要求解x(t),只需知道x(t)穩(wěn)定的條件r~固有增長率,N~最大魚量h(x)=Ex,E~捕撈強度x(t)~漁場魚量第三頁第四頁，共41頁。穩(wěn)定性判斷x0穩(wěn)定,可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1穩(wěn)定,漁場干枯E~捕撈強度r~固有增長率第四頁第五頁，共41頁。y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)f與h交點Phmx0*=N/2P*y=E*x第五頁第六頁，共41頁。效益模型假設(shè)魚銷售價格p單位捕撈強度費用c單位時間利潤在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使效益最大.穩(wěn)定平衡點求E使R(E)最大漁場魚量收入T=ph(x)=pEx支出S=cE第六頁第七頁，共41頁。EsS(E)T(E)0rE捕撈過度

封閉式捕撈追求利潤R(E)最大

開放式捕撈只求利潤R(E)>0R(E)=0時的捕撈強度(臨界強度)Es=2ERERE*第七頁第八頁，共41頁。6.2軍備競賽描述雙方(國家或國家集團)軍備競賽過程解釋(預(yù)測)雙方軍備競賽的結(jié)局假設(shè)1）一方軍備越大，另一方軍備增加越快；2）一方軍備越大，對自己軍備增長的制約越大；3）每一方都存在增加軍備的潛力。目的第八頁第九頁，共41頁。建模x(t)~甲方軍備數(shù)量，y(t)~乙方軍備數(shù)量,~本方經(jīng)濟實力的制約；k,l~對方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競賽的潛力。第九頁第十頁，共41頁。線性常系數(shù)微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點P0(x0,y0)=(0,0)~代數(shù)方程的根第十頁第十一頁，共41頁。平衡點穩(wěn)定性判斷系數(shù)矩陣平衡點(x0,y0)穩(wěn)定的條件模型軍備競賽第十一頁第十二頁，共41頁。模型的定性解釋雙方軍備穩(wěn)定(時間充分長后趨向有限值)的條件雙方經(jīng)濟制約大于雙方軍備刺激時，軍備競賽才會穩(wěn)定，否則軍備將無限擴張。2)若g=h=0,則x0=y0=0,在

>kl下x(t),y(t)

0,即友好鄰國通過裁軍可達(dá)到永久和平。第十二頁第十三頁，共41頁。3）若g,h不為零，即便雙方一時和解，使某時x(t),y(t)很小，但因，也會重整軍備。4）即使某時一方(由于戰(zhàn)敗或協(xié)議)軍備大減,如x(t)=0，也會因使該方重整軍備，即存在互不信任()或固有爭端()的單方面裁軍不會持久。第十三頁第十四頁，共41頁。6.3種群的相互競爭自然環(huán)境中兩個種群之間關(guān)系：相互競爭；相互依存；弱肉強食。當(dāng)兩個種群相互競爭時，常見的結(jié)局是，競爭力弱的滅絕，競爭力強的達(dá)到環(huán)境容許的最大容量。建立數(shù)學(xué)模型描述兩個種群相互競爭的過程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。第十四頁第十五頁，共41頁。模型假設(shè)甲乙兩種群獨自生存時數(shù)量變化均服從Logistic規(guī)律;乙對甲增長的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比;甲對乙有同樣的作用。對甲增長的阻滯作用，乙大于甲乙的競爭力強模型第十五頁第十六頁，共41頁。模型分析(平衡點及其穩(wěn)定性)(二階)非線性(自治)方程的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點P0(x10,x20)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點第十六頁第十七頁，共41頁。僅當(dāng)

1,

2<1或

1,

2>1時，P3才有意義第十七頁第十八頁，共41頁。平衡點穩(wěn)定性分析平衡點Pi穩(wěn)定條件：p>0且q>0第十八頁第十九頁，共41頁。種群競爭模型的平衡點及穩(wěn)定性不穩(wěn)定平衡點

2>1,

1>1,P1,P2是一個種群存活而另一滅絕的平衡點P3是兩種群共存的平衡點

1<1,

2<1P1穩(wěn)定的條件

1<1?

1<1

2<1穩(wěn)定條件第十九頁第二十頁，共41頁。0S1S2S3平衡點穩(wěn)定性的相軌線分析P1(N1,0)是穩(wěn)定平衡點(1)

2>1,

1<1t

x1,x2

t

x1,x2

t

x1,x2

第二十頁第二十一頁，共41頁。P1P2有相軌線趨向P1有相軌線趨向P2P1穩(wěn)定的條件：直接法

2>1P1,P2都不(局部)穩(wěn)定0(3)

1<1,

2<10(2)

1>1,

2<10(4)

1>1,

2>1加上與(4)相區(qū)別的

1<1

P2穩(wěn)定

P3穩(wěn)定P1全局穩(wěn)定第二十一頁第二十二頁，共41頁。結(jié)果解釋對于消耗甲的資源而言，乙(相對于N2)是甲(相對于N1)的

1倍。對甲增長的阻滯作用，乙小于甲乙的競爭力弱

P1穩(wěn)定的條件：

1<1,

2>1

2>1甲的競爭力強甲達(dá)到最大容量，乙滅絕

P2穩(wěn)定的條件：

1>1,

2<1

P3穩(wěn)定的條件：

1<1,

2<1通常

11/

2，P3穩(wěn)定條件不滿足第二十二頁第二十三頁，共41頁。6.4種群的相互依存甲乙兩種群的相互依存有三種形式1)甲可以獨自生存，乙不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。2)甲乙均可以獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。3)甲乙均不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。第二十三頁第二十四頁，共41頁。模型假設(shè)甲可以獨自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律;乙為甲提供食物、促進增長。乙不能獨自生存；甲為乙提供食物；乙受到本身的阻滯作用(服從Logistic規(guī)律)。模型第二十四頁第二十五頁，共41頁。種群依存模型的平衡點及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點第二十五頁第二十六頁，共41頁。0

1<1,

2>1,

1

2<1

P2穩(wěn)定第二十六頁第二十七頁，共41頁。

1

2<1~

2>1前提下P2存在的必要條件結(jié)果解釋

2>1~甲必須為乙提供足夠的食物——甲為乙提供的食物是乙消耗的

2倍

1<1~

2>1,

1

2<1的需要，且

1必須足夠小，才能在

2>1條件下使

1

2<1成立第二十七頁第二十八頁，共41頁。6.5種群的弱肉強食(食餌-捕食者模型)

模型的歷史背景——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降(食用魚和鯊魚同時捕撈)，但是其中鯊魚的比例卻增加，為什么？第二十八頁第二十九頁，共41頁。食餌（甲）數(shù)量x(t),

捕食者（乙）數(shù)量y(t)甲獨立生存的增長率r乙獨立生存的死亡率d方程(1),(2)無解析解食餌-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食餌能力b~食餌供養(yǎng)捕食者能力第二十九頁第三十頁，共41頁。Volterra模型的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點P點穩(wěn)定性不能用近似線性方程分析p=0,q>0P:臨界狀態(tài)q<0P′不穩(wěn)定第三十頁第三十一頁，共41頁。tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解x~y平面上的相軌線第三十一頁第三十二頁，共41頁。計算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t),y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線x(t),y(t)的周期約為9.6xmax

65.5,xmin

6,ymax

20.5,ymin

3.9用數(shù)值積分可算出x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值約為25,y(t)的平均值約為10。食餌-捕食者模型(Volterra)第三十二頁第三十三頁，共41頁。用相軌線分析點穩(wěn)定性第三十三頁第三十四頁，共41頁。x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0用相軌線分析點穩(wěn)定性相軌線時無相軌線以下設(shè)第三十四頁第三十五頁，共41頁。y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相軌線退化為P點

存在x1<x0<x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q相軌線是封閉曲線族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相軌線P~中心第三十五頁第三十六頁，共41頁。相軌線是封閉曲線x(t),y(t)是周期函數(shù)(周期記T)求x(t),y(t)在一周期的平均值軌線中心用相軌線分析點穩(wěn)定性第三十六頁第三十七頁，共41頁。?T2T3T4T1PT1

T2

T3

T4x(t)的“相位”領(lǐng)先y(t)模型解釋初