第6章集合的基數(shù)1無窮集與Galileo悖論Galileo悖論N+={1,2,…,n,…}N(2)={1,4,…,n2,…}哪一個(gè)集合的元素更“多”一些呢？部分=全體？伽利略(1564～1642)2康托(Cantor,Georg)(1845-1918)比較兩個(gè)集合的“大小”有兩種方法:1.

數(shù)集合中元素的個(gè)數(shù),這只使用于有限集合.2.看兩個(gè)集合的元素間是否有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系(雙射).這種方法既適用于有限集合,也適用無限集合.3集合的等勢(shì)關(guān)系比較集合的大小并不容易等勢(shì)關(guān)系的定義:如果存在從集合A到集合B的雙射,則稱集合A與B等勢(shì).集合A與B等勢(shì)記為:A

B,否則A?BA

B意味著:A,B中的元素可以“一一對(duì)應(yīng)”.要證明A

B,找出任意一個(gè)從A到B的雙射即可.例如下面集合間是等勢(shì)的。N={0,1,2,3,4,…...},A={0,2,4,6,8,…...},f:N

A,f(x)=2xB={1,3,5,7,9,…...},g:N

B,g(x)=2x+1

4可列集(無窮可數(shù)集)與自然數(shù)集等勢(shì)的集合稱為可列集定理1

集合A是可數(shù)集,充分且必要條件是可將A的元素寫成序列形式,即A={a0,a1,a2,a3,...}直觀上說:集合的元素可以線性排列,對(duì)派定序列中任一元素,可以說出:它“前”、“后”元素是什么可列集的例子整數(shù)集是可列集自然數(shù)集的笛卡兒乘積是可列集有理數(shù)集是可列集:f:N

Q,f(n)=“第n個(gè)分?jǐn)?shù)”(按照某種排列)5整數(shù)集合Z

N因?yàn)閆可以寫成:Z={0,-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,...}即可將Z中元素從0開始按照箭頭指定次序排列：0123-1-2-3所以Z是可數(shù)集。601234……43210點(diǎn)(x,y)表示有序?qū)?lt;x,y>N×N

N01324567897表示<x,y>Z×Z

N8表示x/y3201有理數(shù)集合QN9Cantor’s1877lettertoDedekind:

“Iseeit,butIdon'tbelieveit!”10定義集合A的元素個(gè)數(shù)稱為集合的基數(shù)或勢(shì),可記為|A|在有限集中集合的基數(shù)是一個(gè)自然數(shù)A={1,2,3,4,5},|A|=5A={a,b,c,…,x,y,z},|A|=26無限集合中集合的有專門的符號(hào)表示自然數(shù)集合N的基數(shù):

0(讀:阿列夫零)與自然數(shù)集等勢(shì)的集合,其基數(shù)也是

0集合的勢(shì)11Cantor對(duì)角線法與不可數(shù)集實(shí)數(shù)軸上的(0,1)區(qū)間中的實(shí)數(shù)是不可數(shù)的.證明:反證法.假設(shè)(0,1)是可數(shù)的,則可以將它的元素寫成序列形式:{r1,r2,r3,...},其中

ri=0.ai1ai2ai3……i=1,2,3,…..即0＜ri＜1

aik∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}k=1,2,3,4,…構(gòu)造一個(gè)數(shù)revil=0.b1b2b3……,其中bi≠aii于是

revil≠r1,revil≠

r2,revil≠

r3...…∴

revil(0,1)產(chǎn)生矛盾,所以(0,1)是不可數(shù)的.12

r10.a11a12a13a14a15…

r20.a21a22a23a24a25…

r30.a31a32a33a34a35…

r40.a41a42a43a44a45…

r50.a51a52a53a54a55…:

revil0.b1b2b3b4b5…

Decimalexpansionsofri

bi≠aii,i=1,2,3,…..

13Cantor對(duì)角線法

r10.

r20.

r30.

r40.

r50.

r60.

r70.:

revil0.

Decimalexpansionsofri

14

r10.1234567

r20.

r30.

r40.

r50.

r60.

r70.:

revil0.

Decimalexpansionsofri

Cantor對(duì)角線法15Cantor對(duì)角線法

r10.1234567

r20.1111111

r30.

r40.

r50.

r60.

r70.:

revil0.

Decimalexpansionsofri

16Cantor對(duì)角線法

r10.1234567

r20.1111111

r30.2542090

r40.

r50.

r60.

r70.:

revil0.

Decimalexpansionsofri

17Cantor對(duì)角線法

r10.1234567

r20.1111111

r30.2542090

r40.7890623

r50.

r60.

r70.:

revil0.

Decimalexpansionsofri

18Cantor對(duì)角線法

r10.1234567

r20.1511111

r30.2542090

r40.7890623

r50.0110101

r60.

r70.:

revil0.

Decimalexpansionsofri

19Cantor對(duì)角線法

r10.1234567

r20.1511111

r30.2542090

r40.7890623

r50.0110101

r60.5555555

r70.:

revil0.

Decimalexpansionsofri

20Cantor對(duì)角線法

r10.1234567

r20.1511111

r30.2542090

r40.7890623

r50.0110101

r60.5555555

r70.7679544:

revil0.

Decimalexpansionsofri

21Cantor對(duì)角線法

r10.1234567

r20.1511111

r30.2542090

r40.7890623

r50.0110101

r60.5555555

r70.7679544:

revil0.5455545

Decimalexpansionsofri

22(0,1)區(qū)間的基數(shù)是一個(gè)比N的基數(shù)

0更大的無限大的數(shù),用(讀:阿列夫)表示.即>0.整個(gè)實(shí)數(shù)集合R

(0,1)證明:構(gòu)造函數(shù)f:(0,1)Rf(x)=tg(πx-π/2)顯然f是雙射,所以R

(0,1).實(shí)數(shù)軸上的任何一段連續(xù)區(qū)間(a,b)的基數(shù)都是

,所以稱之為連續(xù)統(tǒng)基數(shù).0123康托爾定理任何集合與其冪集不等勢(shì).即:S?P(S)康托爾悖論:不存在“一切集合的集合”.ABCS{B}

{A}{C}P(S){A,B}{B,C}{A,C}{A,B,C}f滿射,故存在

y

S

使得f(y)=CONFUSEf.設(shè)

f:S→P(S)是雙射.CONFUSEf={x|x

S,x

f(x)}y屬于集合CONFUSEf么?由CONFUSEf的定義，y

CONFUSEfiff.

y

CONFUSEf24康托爾(GeorgCantor1845-1918)“無限！再?zèng)]有其它問題如此深刻地打動(dòng)過人類的心靈。”

-戴維。希爾伯特“由康托爾在1874-1895年創(chuàng)造地集合論的引起爭(zhēng)論的題目，象征著19世紀(jì)有先見之明的預(yù)言家們認(rèn)為是從物理科學(xué)到民主政府的一切事物中，極其合理的原則的總崩潰，這些預(yù)言家們預(yù)見到了一切，只是沒有預(yù)見到這場(chǎng)大崩潰。”“悖論和自相矛盾開始同時(shí)出現(xiàn)，這些可能最終是康托爾的理論注定要對(duì)數(shù)學(xué)做出的最大貢獻(xiàn)，因?yàn)樗鼈兙驮趪@無窮的邏輯和數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)中意想不到地存在，是現(xiàn)在整個(gè)演繹推論中批判運(yùn)動(dòng)地直接啟迪。我們希望從這里能得出一個(gè)…更豐富、更“真實(shí)”—擺脫了不一致—的數(shù)學(xué)。

上述兩段摘自E.T.貝爾：《數(shù)學(xué)精英》25數(shù)學(xué)史上的“三次危機(jī)”第一次危機(jī)芝諾悖論(關(guān)于運(yùn)動(dòng)的四個(gè)悖論，如“飛箭不動(dòng)”)，導(dǎo)致數(shù)學(xué)真正嚴(yán)謹(jǐn)性的開始(公理化)第二次危機(jī)微積分悖論(無窮小量等于零嗎？“那逝去的量的鬼魂”)，導(dǎo)致極限論的誕生第三次危機(jī)有關(guān)一切集合的集合的悖論，導(dǎo)致集合論公理化。26基數(shù)的比較定理2

設(shè)A是有限集合,則|A|<0<.定理3

設(shè)A是無限集合,則

0≤|A|(可數(shù)集合是“最小的”無限集合