第6章集合的基數1無窮集與Galileo悖論Galileo悖論N+={1,2,…,n,…}N(2)={1,4,…,n2,…}哪一個集合的元素更“多”一些呢？部分=全體？伽利略(1564～1642)2康托(Cantor,Georg)(1845-1918)比較兩個集合的“大小”有兩種方法:1.

數集合中元素的個數,這只使用于有限集合.2.看兩個集合的元素間是否有一一對應的關系(雙射).這種方法既適用于有限集合,也適用無限集合.3集合的等勢關系比較集合的大小并不容易等勢關系的定義:如果存在從集合A到集合B的雙射,則稱集合A與B等勢.集合A與B等勢記為:A

B,否則A?BA

B意味著:A,B中的元素可以“一一對應”.要證明A

B,找出任意一個從A到B的雙射即可.例如下面集合間是等勢的。N={0,1,2,3,4,…...},A={0,2,4,6,8,…...},f:N

A,f(x)=2xB={1,3,5,7,9,…...},g:N

B,g(x)=2x+1

4可列集(無窮可數集)與自然數集等勢的集合稱為可列集定理1

集合A是可數集,充分且必要條件是可將A的元素寫成序列形式,即A={a0,a1,a2,a3,...}直觀上說:集合的元素可以線性排列,對派定序列中任一元素,可以說出:它“前”、“后”元素是什么可列集的例子整數集是可列集自然數集的笛卡兒乘積是可列集有理數集是可列集:f:N

Q,f(n)=“第n個分數”(按照某種排列)5整數集合Z

N因為Z可以寫成:Z={0,-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,...}即可將Z中元素從0開始按照箭頭指定次序排列：0123-1-2-3所以Z是可數集。601234……43210點(x,y)表示有序對<x,y>N×N

N01324567897表示<x,y>Z×Z

N8表示x/y3201有理數集合QN9Cantor’s1877lettertoDedekind:

“Iseeit,butIdon'tbelieveit!”10定義集合A的元素個數稱為集合的基數或勢,可記為|A|在有限集中集合的基數是一個自然數A={1,2,3,4,5},|A|=5A={a,b,c,…,x,y,z},|A|=26無限集合中集合的有專門的符號表示自然數集合N的基數:

0(讀:阿列夫零)與自然數集等勢的集合,其基數也是

0集合的勢11Cantor對角線法與不可數集實數軸上的(0,1)區間中的實數是不可數的.證明:反證法.假設(0,1)是可數的,則可以將它的元素寫成序列形式:{r1,r2,r3,...},其中

ri=0.ai1ai2ai3……i=1,2,3,…..即0＜ri＜1

aik∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}k=1,2,3,4,…構造一個數revil=0.b1b2b3……,其中bi≠aii于是

revil≠r1,revil≠

r2,revil≠

r3...…∴

revil(0,1)產生矛盾,所以(0,1)是不可數的.12

r10.a11a12a13a14a15…

r20.a21a22a23a24a25…

r30.a31a32a33a34a35…

r40.a41a42a43a44a45…

r50.a51a52a53a54a55…:

revil0.b1b2b3b4b5…

Decimalexpansionsofri

bi≠aii,i=1,2,3,…..

13Cantor對角線法

r10.

r20.

r30.

r40.

r50.

r60.

r70.:

revil0.

Decimalexpansionsofri

14

r10.1234567

r20.

r30.

r40.

r50.

r60.

r70.:

revil0.

Decimalexpansionsofri

Cantor對角線法15Cantor對角線法

r10.1234567

r20.1111111

r30.

r40.

r50.

r60.

r70.:

revil0.

Decimalexpansionsofri

16Cantor對角線法

r10.1234567

r20.1111111

r30.2542090

r40.

r50.

r60.

r70.:

revil0.

Decimalexpansionsofri

17Cantor對角線法

r10.1234567

r20.1111111

r30.2542090

r40.7890623

r50.

r60.

r70.:

revil0.

Decimalexpansionsofri

18Cantor對角線法

r10.1234567

r20.1511111

r30.2542090

r40.7890623

r50.0110101

r60.

r70.:

revil0.

Decimalexpansionsofri

19Cantor對角線法

r10.1234567

r20.1511111

r30.2542090

r40.7890623

r50.0110101

r60.5555555

r70.:

revil0.

Decimalexpansionsofri

20Cantor對角線法

r10.1234567

r20.1511111

r30.2542090

r40.7890623

r50.0110101

r60.5555555

r70.7679544:

revil0.

Decimalexpansionsofri

21Cantor對角線法

r10.1234567

r20.1511111

r30.2542090

r40.7890623

r50.0110101

r60.5555555

r70.7679544:

revil0.5455545

Decimalexpansionsofri

22(0,1)區間的基數是一個比N的基數

0更大的無限大的數,用(讀:阿列夫)表示.即>0.整個實數集合R

(0,1)證明:構造函數f:(0,1)Rf(x)=tg(πx-π/2)顯然f是雙射,所以R

(0,1).實數軸上的任何一段連續區間(a,b)的基數都是

,所以稱之為連續統基數.0123康托爾定理任何集合與其冪集不等勢.即:S?P(S)康托爾悖論:不存在“一切集合的集合”.ABCS{B}

{A}{C}P(S){A,B}{B,C}{A,C}{A,B,C}f滿射,故存在

y

S

使得f(y)=CONFUSEf.設

f:S→P(S)是雙射.CONFUSEf={x|x

S,x

f(x)}y屬于集合CONFUSEf么?由CONFUSEf的定義，y

CONFUSEfiff.

y

CONFUSEf24康托爾(GeorgCantor1845-1918)“無限！再沒有其它問題如此深刻地打動過人類的心靈。”

-戴維。希爾伯特“由康托爾在1874-1895年創造地集合論的引起爭論的題目，象征著19世紀有先見之明的預言家們認為是從物理科學到民主政府的一切事物中，極其合理的原則的總崩潰，這些預言家們預見到了一切，只是沒有預見到這場大崩潰。”“悖論和自相矛盾開始同時出現，這些可能最終是康托爾的理論注定要對數學做出的最大貢獻，因為它們就在圍繞無窮的邏輯和數學推理的基礎中意想不到地存在，是現在整個演繹推論中批判運動地直接啟迪。我們希望從這里能得出一個…更豐富、更“真實”—擺脫了不一致—的數學。

上述兩段摘自E.T.貝爾：《數學精英》25數學史上的“三次危機”第一次危機芝諾悖論(關于運動的四個悖論，如“飛箭不動”)，導致數學真正嚴謹性的開始(公理化)第二次危機微積分悖論(無窮小量等于零嗎？“那逝去的量的鬼魂”)，導致極限論的誕生第三次危機有關一切集合的集合的悖論，導致集合論公理化。26基數的比較定理2

設A是有限集合,則|A|<0<.定理3

設A是無限集合,則

0≤|A|(可數集合是“最小的”無限集合