第第頁人教B版（2023）必修第一冊《3.1.3函數的奇偶性》同步練習（word含解析）人教B版（2023）必修第一冊《3.1.3函數的奇偶性》同步練習

一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）已知函數是偶函數，且，則

A.B.C.D.

2.（5分）設的定義域為，圖象關于軸對稱，且在上為增函數，則，，的大小順序是

A.B.

C.D.

3.（5分）下列函數中既是奇函數，又在區間上是增函數的是

A.B.C.D.

4.（5分）設函數的定義域為，如果，，使得成立，則稱函數為“函數”給出下列四個函數：

①；

②；

③；

④，

則其中“函數”共有．

A.個B.個C.個D.個

5.（5分）下列函數中既是奇函數，又在區間上單調遞增的為

A.B.C.D.

6.（5分）函數在上的圖象大致為

A.B.

C.D.

7.（5分）設函數，則是

A.奇函數，且在上是增函數B.奇函數，且在上是減函數

C.偶函數，且在上是增函數D.偶函數，且在上是減函數

8.（5分）已知函數是定義在上的偶函數，對任意，都有，當時，，則

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）已知函數是偶函數，且，若，，則下列說法正確的是

A.函數是偶函數

B.是函數的一個周期

C.對任意的，都有

D.函數的圖象關于直線對稱

10.（5分）下列函數中，在其定義域內是偶函數有

A.B.C.D.

11.（5分）關于函數，下列結論正確的是

A.其圖象關于軸對稱

B.的最小值是

C.在上是單調減函數

D.的增區間是，

12.（5分）下列函數，是偶函數的是

A.B.

C.D.

13.（5分）下列函數中，既是偶函數又是區間上增函數的有

A.B.C.D.

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）函數是定義在上的奇函數，當時，，則在上的解析式為______.

15.（5分）函數為上的奇函數，若對任意的，且，都有已知，則不等式的解集為______．

16.（5分）已知奇函數在定義域上遞減，且，則實數的取值范圍是______．

17.（5分）定義在上的偶函數在上是增函數，且，則使得不等式成立的取值范圍是______．

18.（5分）已知函數，則滿足不等式的實數的取值范圍為______.

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）函數是定義在上的奇函數，且．

求，的值；

判斷并用定義證明在的單調性．

20.（12分）已知和分別是定義在上的奇函數和偶函數，且滿足

求和的解析式；

若函數的最小值為，求的值．

21.（12分）已知是定義在上的奇函數，且，若，，時，有．

求證：在上為增函數；

求不等式的解集；

若對所有恒成立，求實數的取值范圍．

22.（12分）已知函數為奇函數，函數．

Ⅰ求函數的定義域；

Ⅱ當時，關于的不等式有解，求的取值范圍．

23.（12分）已知函數且函數是奇函數．

求的值；

是否存在這樣的實數，使對所有的均成立？若存在，求出適合條件的實數的值或范圍；若不存在，說明理由．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：根據題意，函數是偶函數，且，

則，

故；

故選：

根據題意，利用函數的奇偶性可得的值，進而計算可得答案．

此題主要考查函數奇偶性的性質以及應用，涉及函數值的計算，屬于基礎題．

2.【答案】B;

【解析】解：圖象關于軸對稱，故為偶函數，

，，

在上是增函數，，

，

，

故選：．

先根據函數的性質，得到，，再利用在上是增函數，得到結論．

該題考查函數的奇偶性、單調性的應用，體現轉化的數學思想．

3.【答案】D;

【解析】解：函數為偶函數，不滿足題意；

函數為偶函數，不滿足題意；

函數為非奇非偶函數，不滿足題意；

函數奇函數，又在區間上是增函數，滿足題意；

故選：．

分析給定四個函數的單調性及奇偶性，可得答案．

此題主要考查的知識點是函數單調性與奇偶性的綜合應用，難度不大，屬于基礎題．

4.【答案】C;

【解析】

這道題主要考查函數與方程之間的關系，將條件轉化為是解決本題的關鍵．

解：若，，使得成立，

即等價為，，使得成立．

①函數的定義域為，是奇函數，

，即，當時，等式成立，①為“函數”．

②，，則等式不成立，②不是“函數”．

③函數的定義域為，由得，即，

，即，當時，，當時，等式成立，③為“函數”．

④函數的定義域為，由得，即，即當時，等式成立，④為“函數”．

綜上滿足條件的函數是①，③，④，共個．

故選C．

5.【答案】B;

【解析】

此題主要考查的知識點是函數的單調性和函數的奇偶性，屬于基礎題．

逐一分析給定四個函數的奇偶性，及函數在上的單調性，可得答案．

解：函數為偶函數，不滿足題意；

B.函數為奇函數，且在上單調遞增，滿足題意；

C.函數為偶函數，不滿足題意；

D.函數為非奇非偶函數，不滿足題意.

故選

6.【答案】C;

【解析】

此題主要考查函數圖象的識別和判斷，利用函數的奇偶性，對稱性以及零點個數，特殊值的符號進行排除是解決本題的關鍵．

判斷函數的奇偶性，函數零點個數以及函數值的符號是否對應進行排除即可．

解：，

則函數是奇函數，圖象關于原點對稱，排除，

由得，即，即，此時，，即函數在有三個零點，排除，

，排除，

故選：．

7.【答案】D;

【解析】解：由題意，，函數是偶函數，

在上，，函數單調遞減，

故選D．

確定函數的奇偶性、單調性，即可得出結論．

此題主要考查函數的奇偶性、單調性，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎．

8.【答案】C;

【解析】解：對任意，都有，且為偶函數，

，

故選：．

根據偶函數性質以及周期函數性質可將的函數值化為的函數值，再代入已知解析式．

該題考查了函數奇偶性的性質與判斷．屬中檔題．

9.【答案】BCD;

【解析】解：根據題意，依次分析選項：

對于，，，又由函數是偶函數，則，

即函數為奇函數，錯誤

對于，由于是偶函數，且，得，即，

則是周期為的周期函數，故正確；

對于，，

，

而是周期為的周期函數，則，

則，故正確；

對于，，

所以函數的圖象關于直線對稱，正確；

故選：

根據題意，依次分析選項，綜合即可得答案．

此題主要考查函數的奇偶性與周期性的判斷以及應用，注意函數奇偶性、周期性的定義，屬于基礎題．

10.【答案】CD;

【解析】

此題主要考查函數的奇偶性，屬于基礎題.

根據函數奇偶性的定義分別進行判斷即可.

解：，，則是奇函數，故錯誤；

，，所以不是偶函數，故錯誤；

，由得，此時，則

是偶函數，故正確；

，，則是偶函數，故正確.

故選

11.【答案】ABD;

【解析】

此題主要考查函數的奇偶性單調性，屬于基礎題.

根據函數的奇偶性可以判斷，當時，，在單調遞減，在單調遞增，再結合函數的奇偶性可以判斷

解：函數定義域為，

，故為偶函數，圖象關于軸對稱，對；

當時，，在單調遞減，在單調遞增，

因為是偶函數，故在單調遞增，在單調遞減，

可得，當且僅當時等號成立，對；

故錯，對.

故選

12.【答案】AB;

【解析】

此題主要考查了函數的奇偶性，屬于基礎題，難度不大.

利用奇函數和偶函數定義判斷即可．

解：四個答案中函數的定義域均關于原點對稱，

A.因為，所以為偶函數，

B.因為，所以為偶函數，

C.令，，，，所以不是偶函數，

D.令，則，，，所以不是偶函數，

故選

13.【答案】BC;

【解析】解：根據題意，依次分析選項：

對于，，是偶函數，但在上是減函數，不符合題意；

對于，為偶函數，且在上是增函數，符合題意；

對于，為偶函數，且在上是增函數，符合題意；

對于，，是奇函數，不符合題意；

故選：

根據題意，依次分析選項中函數的奇偶性與單調性，綜合即可得答案．

此題主要考查函數的單調性與奇偶性的判斷，關鍵是掌握函數的奇偶性與單調性，屬于基礎題．

14.【答案】;

【解析】解：當時，，

當時，，則，

又為奇函數，

，

由奇函數的定義可得，由已知區間上的解析式，計算時，的解析式，可得所求的解析式；

此題主要考查了奇函數的性質，屬于基礎題．

15.【答案】（2，4）;

【解析】解：根據題意，若對任意的，且，都有，

則在上為增函數，

又由，則在上，，則上，，

又由為奇函數，則在上，，則上，，

或，

分析可得：，

即不等式的解集為；

故答案為：

根據題意，分析可得上為增函數，結合可得在上，，則上，，結合函數的奇偶性可得在上，，則上，，又由或，分析可得答案．

該題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，涉及不等式的解法，屬于基礎題．

16.【答案】（1，）;

【解析】解：因為奇函數在定義域上遞減，

所以，

由可得，

所以，

即

解可得，

故答案為：

根據函數奇偶性和單調性之間的關系，即可得到結論．

這道題主要考查不等式的解法，利用函數的奇偶性和單調性之間的關系是解決本題的關鍵，綜合考查函數性質的應用．

17.【答案】;

【解析】

根據題意，由偶函數的性質分析可得在上為減函數，結合可得在區間上，，在區間和上，，又由或，分析可得答案．

該題考查關于抽象函數的不等式問題，涉及函數的奇偶性與單調性的應用，屬于基礎題．

解：根據題意，定義在上的偶函數在上是增函數，

則在上為減函數，

又由，則有，

在區間上，，在區間和上，，

則或

解可得：或，

即的取值范圍為；

故答案為：．

18.【答案】（）;

【解析】解：因為，

所以，即為偶函數，

當時，單調遞減且函數在處連續，根據偶函數對稱性可知，當時，函數單調遞增，

由得，

所以，

解得，

故答案為：

先判斷函數的單調性及奇偶性，然后結合單調性及奇偶性及對數函數的性質可求．

此題主要考查不等式的解法，利用函數的奇偶性和單調性之間的關系是解決本題的關鍵，綜合考查函數性質的應用．

19.【答案】解：（1）根據題意，f（x）=是定義在R上的奇函數，且f（1）=1，

則f（-1）=-f（1）=-1，

則有，解可得a=5，b=0；

（2）由（1）的結論，f（x）=，

設＜＜，

f（）-f（）=-=，

又由＜＜，則（1-4）＜0，（-）＜0，

則f（）-f（）＞0，

則函數f（x）在（，+∞）上單調遞減．;

【解析】

根據題意，由函數的奇偶性分析可得，則可得，解可得、的值；

由的結論，，利用作差法分析可得答案．

該題考查函數的奇偶性與單調性的性質以及應用，關鍵是求出、的值，屬于基礎題．

20.【答案】解：（1）根據題意，f（x）+g（x）=+x，①，則f（-x）+g（-x）=-x，

又由f（x）和g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，則-f（x）+g（x）=-x，②

聯立①②得；

（2）根據題意，由（1）的結論，，

令+=t，則+=-2，且t≥2，

則，t≥2．

當即a≥-4時，，解可得：a=-3．

當即a＜-4時，，解可得：，不符合題意，舍去．

故a=-3．;

【解析】

由函數奇偶性可得，與，聯立解可得答案；

由的結論可得，利用換元法，令，分析可得，結合二次函數的性質分析可得答案．

此題主要考查函數的最值以及函數奇偶性的性質以及應用，關鍵是求出函數的解析式，屬于基礎題．

21.【答案】解：（1）證明：任取，∈[-1，1]且＜，則，

∴f（）＞f（），∴f（x）為增函數．

（2），等價于，求得0≤x＜，

即不等式的解集為．

（3）由于f（x）為增函數，

∴f（x）的最大值為對恒成立對的恒成立，

設，則．

又==1+taα+2tanα+2=（tanα+1）2+2，

∵α∈[-，]，∴tanα∈[-，1]，故當tanα=1時，

．

∴+t≥6，求得t≤-3t≥2，即為所求的實數t的取值范圍．;

【解析】

由條件利用增函數的定義證得結論．

根據函數的奇偶性和單調性，把要解的不等式等價轉化為一個不等式組，求得此不等式的解集即可．

根據函數的單調性求得的最大值，可得對的恒成立，再求得的最大值，從而求得的范圍．

這道題主要考查函數的單調性的證明以及應用，函數的恒成立問題，求函數的最值，屬于中檔題．

22.【答案】解：Ⅰ由為奇函數得，

即，

所以，解得，

經檢驗符合題意，故，

所以的定義域是；

Ⅱ不等式等價于，

即在有解，

故只需，

函數在單調遞增，

所以，

所以的取值范圍是．;

【解析】Ⅰ根據函數成立的條件即可求函數的定義域；

Ⅱ根據對數的運算法則和對數函數的性質解不等式即可．

這道題主要考查對數函數的圖象和性質，利用對數函數的單調性是解決本題的關鍵．

23.【答案】解：（1）函數（a∈R）的定義域是R，

因為函數f（x）是奇函數，所以f（0）=0．

即a+1=0，解得a=-1，f（x）=（-），

f（-x）+f（x）=（-）+（-）=0，即f（-x）=-f（x），

可得f（x）為奇函數，故a=-1；

（2）因為f（x）是定義在R上的奇函數，

因為f（3m-mcosθ）+f（cosθ-6）＞f（0）=0，

所以f（3m-mcosθ）＞-f（cosθ-6），

得f（3m-mcosθ）＞f（6-cosθ），

因為f（x）在[0，+∞）上是增函數，且f（x）為奇函