2024屆物理一輪復(fù)習(xí)講義實(shí)驗(yàn)五探究平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)原理裝置圖實(shí)驗(yàn)操作注意事項(xiàng)使小球做平拋運(yùn)動(dòng)，利用描點(diǎn)法描繪出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡，建立坐標(biāo)系，測(cè)出軌跡曲線上某一點(diǎn)的坐標(biāo)x和y，由公式x＝v0t和y＝eq\f(1,2)gt2，得v0＝xeq\r(\f(g,2y))1.按實(shí)驗(yàn)原理圖甲安裝實(shí)驗(yàn)裝置，使斜槽末端水平。2.以斜槽水平部分端口上小球球心位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)畫出豎直的y軸和水平的x軸。3.使小球從斜槽上同一位置由靜止?jié)L下，把筆尖放在小球可能經(jīng)過(guò)的位置上，如果小球運(yùn)動(dòng)中碰到筆尖，用鉛筆在該位置標(biāo)記為一點(diǎn)。用同樣的方法，在小球運(yùn)動(dòng)軌跡上描下若干點(diǎn)。4.將白紙從木板上取下，從O點(diǎn)開(kāi)始連接畫出的若干點(diǎn)描繪出一條平滑的曲線，如實(shí)驗(yàn)原理圖乙所示。1.水平：斜槽末端的切線要水平。2.豎直：木板必須處在豎直平面內(nèi)。3.原點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)為小球在槽口時(shí)，球心在木板上的投影點(diǎn)。4.同一位置：小球每次都從槽中的同一位置由靜止釋放。數(shù)據(jù)處理1.判斷平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡是不是拋物線若平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡是拋物線，則當(dāng)以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系后，軌跡上各點(diǎn)的坐標(biāo)具有y＝ax2的關(guān)系，且同一軌跡上a是一個(gè)特定的值。用刻度尺測(cè)量幾個(gè)點(diǎn)的x、y坐標(biāo)，分別代入y＝ax2中求出常數(shù)a，看計(jì)算得到的a值在誤差范圍內(nèi)是否為一常數(shù)。2.計(jì)算平拋運(yùn)動(dòng)的初速度(1)平拋軌跡完整(即含有拋出點(diǎn))在軌跡上任取一點(diǎn)，測(cè)出該點(diǎn)離原點(diǎn)的水平位移x及豎直位移y，根據(jù)x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2，就可求出初速度v0＝xeq\r(\f(g,2y))。圖1(2)平拋軌跡殘缺(即無(wú)拋出點(diǎn))如圖1所示，在軌跡上任取三點(diǎn)A、B、C，使A、B間及B、C間的水平距離相等，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知，A、B間與B、C間所用時(shí)間相等，設(shè)為t，則Δh＝hBC－h(huán)AB＝gt2所以t＝eq\r(\f(hBC－h(huán)AB,g))，則初速度v0＝eq\f(x,t)＝xeq\r(\f(g,hBC－h(huán)AB))考點(diǎn)一教材原型實(shí)驗(yàn)例1(2022·浙江1月選考)在“研究平拋運(yùn)動(dòng)”實(shí)驗(yàn)中，以小鋼球離開(kāi)軌道末端時(shí)球心位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立水平與豎直坐標(biāo)軸。讓小球從斜槽上離水平桌面高為h處?kù)o止釋放，使其水平拋出，通過(guò)多次描點(diǎn)可繪出小球做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)球心的軌跡，如圖2所示。在軌跡上取一點(diǎn)A，讀取其坐標(biāo)(x0，y0)。圖2(1)下列說(shuō)法正確的是________(單選)。A.實(shí)驗(yàn)所用斜槽應(yīng)盡量光滑B.畫軌跡時(shí)應(yīng)把所有描出的點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái)C.求平拋運(yùn)動(dòng)初速度時(shí)應(yīng)讀取軌跡上離原點(diǎn)較遠(yuǎn)的點(diǎn)的數(shù)據(jù)(2)根據(jù)題目所給信息，小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度大小v0＝________(單選)。A.eq\r(2gh) B.eq\r(2gy0)C.x0eq\r(\f(g,2h)) D.x0eq\r(\f(g,2y0))(3)在本實(shí)驗(yàn)中要求小球多次從斜槽上同一位置由靜止釋放的理由是____________________________________________________________________。答案(1)C(2)D(3)確保多次運(yùn)動(dòng)的軌跡相同解析(1)斜槽軌道不需要光滑，只需要從同一位置靜止釋放小球，使其到達(dá)斜槽末端的速度相同即可，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由于描點(diǎn)可能出現(xiàn)誤差，因此不是把所有的點(diǎn)都用平滑的曲線連接起來(lái)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；求平拋運(yùn)動(dòng)初速度時(shí)應(yīng)讀取軌跡上離原點(diǎn)較遠(yuǎn)的點(diǎn)的數(shù)據(jù)，這樣誤差較小，選項(xiàng)C正確。(2)根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有x0＝v0t、y0＝eq\f(1,2)gt2，聯(lián)立可得v0＝x0eq\r(\f(g,2y0))，選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，D正確。(3)為了保證能畫出同一個(gè)平拋運(yùn)動(dòng)軌跡上的多個(gè)點(diǎn)，必須要在同一位置由靜止釋放小球，以確保多次運(yùn)動(dòng)的軌跡相同(或“保證小球離開(kāi)斜槽末端的速度v0相同，從而保證其運(yùn)動(dòng)軌跡相同”)。跟蹤訓(xùn)練1.(2022·山東臨沂模擬)在“研究小球做平拋運(yùn)動(dòng)”的實(shí)驗(yàn)中：(1)如圖3甲所示的實(shí)驗(yàn)中，觀察到兩球同時(shí)落地，說(shuō)明____________________；如圖乙所示的實(shí)驗(yàn)：將兩個(gè)光滑斜軌道固定在同一豎直面內(nèi)，滑道末端水平，把兩個(gè)質(zhì)量相等的小鋼球，從斜面的相同高度由靜止同時(shí)釋放，觀察到球1落到水平板上并擊中球2，這說(shuō)明______________________________________________________________________________________________________________。圖3(2)該同學(xué)用頻閃照相機(jī)拍攝到如圖4所示的小球平拋運(yùn)動(dòng)的照片，小方格的邊長(zhǎng)L＝125cm，看小球在平拋運(yùn)動(dòng)中的幾個(gè)位置如圖4中的a、b、c、d所示，則照相機(jī)每隔________s曝光一次，小球平拋初速度為v0＝______m/s，到達(dá)b點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度大小為vb＝________m/s(g＝10m/s2，最后一空的計(jì)算結(jié)果保留2位有效數(shù)字)。圖4答案(1)平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向上是自由落體運(yùn)動(dòng)平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上是勻速直線運(yùn)動(dòng)(2)eq\f(\r(2),4)5eq\r(2)8.8解析(1)用小錘打擊彈性金屬片，B球就水平飛出，同時(shí)A球被松開(kāi)，做自由落體運(yùn)動(dòng)，兩球同時(shí)落到地面，則說(shuō)明平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向是自由落體運(yùn)動(dòng)；因?yàn)橛^察到的現(xiàn)象是球1落到水平木板上擊中球2，可知球1在水平方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與球2相同，即平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上是勻速直線運(yùn)動(dòng)。(2)在豎直方向上，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得Δy＝L＝gT2得T＝eq\r(\f(L,g))＝eq\f(\r(2),4)s由公式，可得小球初速度為v0＝eq\f(2L,T)＝eq\f(2.5,\f(\r(2),4))m/s＝5eq\r(2)m/sb點(diǎn)豎直方向的速度vby＝eq\f(yac,2T)＝eq\f(3L,2T)＝eq\f(15\r(2),4)m/s所以b點(diǎn)的速度vb＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,by))＝8.8m/s?？键c(diǎn)二創(chuàng)新拓展實(shí)驗(yàn)例2(2022·四川成都月考)斜坡是常見(jiàn)的一種道路情況。小張同學(xué)用卷尺和一把彈簧槍(如圖5所示)，結(jié)合自己的身高h(yuǎn)及平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)，測(cè)量出自己家門口的一段長(zhǎng)斜坡的高度，具體實(shí)驗(yàn)過(guò)程如下：圖5(1)小張同學(xué)先找一段水平路面，將小鋼球裝入彈簧槍中。(2)用小鋼球壓縮彈簧并記錄壓縮后彈簧的長(zhǎng)度，將彈簧槍貼在頭頂處沿________(選填“水平”或“豎直”)方向發(fā)射，如圖B所示，然后測(cè)量出小球落地點(diǎn)到發(fā)射點(diǎn)的水平距離x。(3)改變并記錄彈簧槍內(nèi)彈簧的長(zhǎng)度，重復(fù)步驟(2)多測(cè)幾組x。(4)小張同學(xué)走上斜坡，先用卷尺測(cè)量出斜坡的長(zhǎng)度L，然后用小球壓縮彈簧到(2)、(3)步驟中對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度，再將彈簧槍貼在路面上沿(2)、(3)步驟中相同方向發(fā)射，如圖C所示，然后測(cè)量出相應(yīng)的小球落地點(diǎn)到發(fā)射點(diǎn)沿斜坡的距離x0。(5)用測(cè)得的x、x0繪制如圖D所示的圖像，其縱坐標(biāo)應(yīng)選擇________(選填“x”“x2”或“x3”)。(6)找出圖線的斜率為k，求出斜坡傾角θ的正弦值sinθ＝________(用h和k表示)。(7)則斜坡的高度為H＝Lsinθ。答案(2)水平(5)x2(6)eq\f(\r(k2＋4h2)－k,2h)解析(2)用小鋼球壓縮彈簧并記錄壓縮后彈簧的長(zhǎng)度，將彈簧槍貼在頭頂處沿水平方向發(fā)射，從而通過(guò)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律獲得v和x之間的關(guān)系。(5)根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得v＝eq\f(x,t)＝xeq\r(\f(g,2h))tanθ＝eq\f(\f(1,2)gt′2,vt′)＝eq\f(gt′,2v)sinθ＝eq\f(\f(1,2)gt′2,x0)聯(lián)立解得x2＝eq\f(1－sin2θ,sinθ)hx0用測(cè)得的x、x0繪制如題圖D的圖像，其縱坐標(biāo)應(yīng)選擇x2。(6)由題意可知k＝eq\f(1－sin2θ,sinθ)h解得sinθ＝eq\f(\r(k2＋4h2)－k,2h)(另一解小于0，舍去)。跟蹤訓(xùn)練2.在農(nóng)田旁離地一定高度架有一水管，管口水平，小明根據(jù)學(xué)到的平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)，只用一把卷尺，測(cè)量出水口單位時(shí)間內(nèi)流出的最大水量(假設(shè)水從出水口沿水平方向均勻流出，已知重力加速度為g)。步驟如下：圖6(1)如圖6甲，關(guān)閉水閥，用卷尺測(cè)量出水龍頭的內(nèi)直徑D＝________cm。(2)如圖乙，測(cè)量水管上沿離地高度H，打開(kāi)水管閥門且將其調(diào)到出水量最大，記下噴出水最遠(yuǎn)的落地位置，關(guān)上閥門，測(cè)量出最遠(yuǎn)位置到出水口的水平距離L，則水流速度v＝________(用題中物理量的字母表示)。(3)請(qǐng)推導(dǎo)單位時(shí)間出水量表達(dá)式Q＝__________(用題中物理量的字母表示)。答案(1)4.50(2)Leq\r(\f(g,2H))(3)eq\f(1,4)πD2Leq\r(\f(g,2H))解析(1)刻度尺讀數(shù)要估讀到最小分度的下一位，所以D＝4.50cm。(2)由平拋運(yùn)動(dòng)的公式L＝vt，H＝eq\f(1,2)gt2聯(lián)立可解得v＝Leq\r(\f(g,2H))。(3)出水量Q等于流速乘管的橫截面積，可得Q＝vSS＝πr2＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))eq\s\up12(2)聯(lián)立可解得Q＝eq\f(1,4)πD2Leq\r(\f(g,2H))。1.用如圖1所示裝置研究平拋運(yùn)動(dòng)，將白紙和復(fù)寫紙對(duì)齊重疊并固定在豎直的硬板上，鋼球沿斜槽軌道PQ滑下后從Q點(diǎn)水平飛出，落在水平擋板MN上。由于擋板靠近硬板一側(cè)較低，鋼球落在擋板上時(shí)，鋼球側(cè)面會(huì)在白紙上擠壓出一個(gè)痕跡點(diǎn)。移動(dòng)擋板，重新釋放鋼球，如此重復(fù)，白紙上將留下一系列痕跡點(diǎn)。圖1(1)下列實(shí)驗(yàn)條件必須滿足的有________。A.斜槽軌道光滑B.斜槽軌道末端水平C.擋板高度等間距變化D.每次從斜槽上相同的位置無(wú)初速度釋放鋼球(2)為定量研究，建立以水平方向?yàn)閤軸、豎直方向?yàn)閥軸的坐標(biāo)系。①取平拋運(yùn)動(dòng)的起始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，將鋼球靜置于Q點(diǎn)，鋼球的________(選填“最上端”“最下端”或“球心”)對(duì)應(yīng)白紙上的位置即為原點(diǎn)。②若遺漏記錄平拋軌跡的起始點(diǎn)，也可按下述方法處理數(shù)據(jù)：如圖2所示，在軌跡上取A、B、C三點(diǎn)，AB和BC的水平間距相等且均為x，測(cè)得AB和BC的豎直間距分別是y1和y2，則eq\f(y1,y2)________eq\f(1,3)(選填“>”“＝”或者“<”)?？汕蟮娩撉蚱綊伒某跛俣却笮0＝________________(已知當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間，結(jié)果用上述字母表示)。圖2答案(1)BD(2)①球心②>xeq\r(\f(g,y2－y1))解析(1)本實(shí)驗(yàn)確保平拋的初速度大小一定、方向水平，只要無(wú)初速度從等高點(diǎn)釋放，由動(dòng)能定理知，到斜槽末端速度大小一定，和斜槽是否光滑無(wú)關(guān)；為了描出運(yùn)動(dòng)軌跡，多次移動(dòng)擋板，與擋板是否等間距移動(dòng)無(wú)關(guān)，故選B、D。(2)①為了凸顯研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，應(yīng)該體現(xiàn)球心，所以選球心為原點(diǎn)；②由水平間距相等，知道時(shí)間等時(shí)，在豎直方向做勻變速運(yùn)動(dòng)，若初速度為零，豎直間距的比值應(yīng)該是1∶3∶5，而A點(diǎn)不是拋出點(diǎn)，比值應(yīng)該更大，即eq\f(y1,y2)＞eq\f(1,3)；由x＝v0t，y2－y1＝gt2，可得v0＝xeq\r(\f(g,y2－y1))。2.(2023·河北唐山月考)某實(shí)驗(yàn)小組通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)：做平拋運(yùn)動(dòng)的小球在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律跟自由落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同。于是又設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)研究水平方向上的運(yùn)動(dòng)。如圖3所示，在靠近豎直墻壁的水平桌面上固定一斜面體，小球從斜面上某點(diǎn)釋放，滑到桌面上，然后從桌面邊緣飛出做平拋運(yùn)動(dòng)。實(shí)驗(yàn)的操作步驟如下：圖3A.調(diào)節(jié)桌面水平，豎直墻面上與桌面平齊的點(diǎn)標(biāo)記為OB.把裁成長(zhǎng)條的白紙和復(fù)寫紙，平貼在O點(diǎn)以下的豎直墻面上C.把小球從斜面上某點(diǎn)由靜止釋放，小球從水平桌面邊緣飛出，撞擊在豎直墻面上，通過(guò)復(fù)寫紙?jiān)诎准埳狭粝伦埠郏瑯?biāo)記為AD.垂直豎直墻面向右移動(dòng)桌子，移動(dòng)的距離為xE.再次把小球從斜面上由靜止釋放，小球從水平桌面邊緣飛出，在白紙上留下第二個(gè)撞痕，標(biāo)記為BF.重復(fù)步驟D、E，得到更多的撞痕，標(biāo)記為C、D……G.用米尺測(cè)量O點(diǎn)到每個(gè)撞痕的距離，OA＝H1，OB＝H2，OC＝H3，OD＝H4……(1)本實(shí)驗(yàn)斜面和桌面的粗糙程度對(duì)實(shí)驗(yàn)的精確度________影響(選填“有”或“沒(méi)有”)。(2)在同一組實(shí)驗(yàn)中，小球從斜面上由靜止釋放時(shí)需滿足的條件是_________________________________________________________________。(3)判斷水平方向小球做勻速運(yùn)動(dòng)的條件是______________(用題設(shè)條件中的物理量表示)。答案(1)沒(méi)有(2)從同一位置釋放(3)H1＋3H3＝3H2＋H4解析(1)只要小球每次從斜面同一位置由靜止釋放，克服摩擦阻力做功相同，從桌面邊緣飛出時(shí)的速度相等即可，故本實(shí)驗(yàn)斜面和桌面的粗糙程度對(duì)實(shí)驗(yàn)的精確度沒(méi)有影響。(2)在同一組實(shí)驗(yàn)中，小球從斜面上由靜止釋放時(shí)需滿足從同一位置釋放。(3)若小球水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則移動(dòng)每一個(gè)x小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差恒定，豎直方向由勻變速直線運(yùn)動(dòng)推論可知，相同時(shí)間位移差恒定，故豎直方向相鄰兩個(gè)撞痕間長(zhǎng)度差恒定，即(H1－H2)－(H2－H3)＝(H2－H3)－(H3－H4)，整理得H1＋3H3＝3H2＋H4。3.(2021·全國(guó)乙卷，22)某同學(xué)利用圖4(a)所示裝置研究平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。實(shí)驗(yàn)時(shí)該同學(xué)使用頻閃儀和照相機(jī)對(duì)做平拋運(yùn)動(dòng)的小球進(jìn)行拍攝，頻閃儀每隔0.05s發(fā)出一次閃光，某次拍攝后得到的照片如圖(b)所示(圖中未包括小球剛離開(kāi)軌道的影像)。圖中的背景是放在豎直平面內(nèi)的帶有方格的紙板，紙板與小球軌跡所在平面平行，其上每個(gè)方格的邊長(zhǎng)為5cm。該同學(xué)在實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的小球影像的高度差已經(jīng)在圖(b)中標(biāo)出。圖4完成下列填空：(結(jié)果均保留2位有效數(shù)字)(1)小球運(yùn)動(dòng)到圖(b)中位置A時(shí)，其速度的水平分量大小為_(kāi)_______m/s，豎直分量大小為_(kāi)_______m/s；(2)根據(jù)圖(b)中數(shù)據(jù)可得，當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊拇笮開(kāi)_______m/s2。答案(1)1.02.0(2)9.7解析(1)小球在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，由題圖(b)可知，其速度的水平分量vx＝eq\f(5×10－2,0.05)m/s＝1.0m/s，小球在豎直方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度等于這段時(shí)間的平均速度可知，小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，其速度的豎直分量vy＝eq\f(（8.6＋11.0）×10－2,2×0.05)m/s＝2.0m/s。(2)在豎直方向上，根據(jù)Δy＝gT2，解得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭＝eq\f(（13.4＋11.0－8.6－6.1）×10－2,0.12)m/s2＝9.7m/s2。一、科學(xué)應(yīng)用：體育中的曲線運(yùn)動(dòng)例1(2023·北京西城區(qū)高三期末)2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將在北京和張家口舉行，跳臺(tái)滑雪是其中最具觀賞性的項(xiàng)目之一。如圖1所示為簡(jiǎn)化的跳臺(tái)滑雪的雪道示意圖，AO為助滑道，OB為著陸坡。運(yùn)動(dòng)員從助滑道上的A點(diǎn)由靜止滑下，然后從O點(diǎn)沿水平方向飛出，最后在著陸坡上著陸。已知著陸坡OB的傾角為37°，O點(diǎn)與著陸點(diǎn)間的距離為75m，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。將運(yùn)動(dòng)員和滑雪板整體看作質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)一切摩擦和空氣阻力，求：圖1(1)運(yùn)動(dòng)員從O點(diǎn)飛出到著陸的時(shí)間t；(2)運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)的速度大小v；(3)A點(diǎn)與O點(diǎn)的高度差h。答案(1)3s(2)20m/s(3)20m解析(1)運(yùn)動(dòng)員在OB上O′點(diǎn)著陸，則OO′＝75m，運(yùn)動(dòng)員從O點(diǎn)沿水平方向飛出，最后在著陸坡上著陸，有OO′sin37°＝eq\f(1,2)gt2，解得t＝3s。(2)運(yùn)動(dòng)員從O點(diǎn)沿水平方向飛出，最后在著陸坡上著陸，水平方向有OO′cos37°＝vt解得v＝20m/s。(3)運(yùn)動(dòng)員從助滑道上的A點(diǎn)由靜止滑下到O點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)能量守恒定律得mgh＝eq\f(1,2)mv2解得h＝eq\f(v2,2g)＝20m。二、思維方法：等效思想在解題中的應(yīng)用例2如圖2所示，在半徑為R的鉛球中挖出一個(gè)球形空穴，空穴直徑為R且與鉛球相切，并通過(guò)鉛球的球心。在未挖出空穴前鉛球質(zhì)量為M。求挖出空穴后的鉛球與距鉛球球心距離為d、質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))間的萬(wàn)有引力大小。圖2思路分析由于題目中沒(méi)有告知距離d與球的半徑R之間的關(guān)系，因此不能把挖出球形空穴后的鉛球看成質(zhì)點(diǎn)，故不能直接利用萬(wàn)有引力定律來(lái)計(jì)算引力的大小。但是，可以用填補(bǔ)法求解，即先把挖去的部分“補(bǔ)”上，使其成為半徑為R的完整球體，再根據(jù)萬(wàn)有引力定律，分別計(jì)算出半徑為R的球體和補(bǔ)上的球體對(duì)小球的萬(wàn)有引力，最后兩引力相減即可得到答案。答案eq\f(GMm（7d2－8dR＋2R2）,2d2（2d－R）2)解析設(shè)挖出空穴前鉛球與小球間的萬(wàn)有引力為F1，挖出的球形實(shí)體(由球體的體積公式易知質(zhì)量為eq\f(M,8)，這里不再具體計(jì)算)與小球間的萬(wàn)有引力為F2，鉛球剩余部分與小球間的萬(wàn)有引力為F，則有F1＝F＋F2根據(jù)萬(wàn)有引力定律可得F1＝Geq\f(Mm,d2)，F(xiàn)2＝Geq\f(Mm,8（d－\f(R,2)）2)故挖出空穴后的鉛球與小球間的萬(wàn)有引力為F＝F1－F2＝Geq\f(Mm,d2)－Geq\f(Mm,8（d－\f(R,2)）2)＝eq\f(GMm（7d2－8dR＋2R2）,2d2（2d－R）2)。三、科學(xué)探究：航天事業(yè)的發(fā)展與宇宙探究例3(多選)2022年5月10日01時(shí)56分，天舟四號(hào)貨運(yùn)飛船成功發(fā)射，隨后與“天和”核心艙成功對(duì)接。發(fā)射過(guò)程簡(jiǎn)化示意圖如圖3所示，先把天舟四號(hào)貨運(yùn)飛船發(fā)射到近地圓軌道Ⅰ，繼而調(diào)整角度和高度，經(jīng)過(guò)多次變軌不斷逼近空間站軌道，當(dāng)兩者軌道很接近的時(shí)候，再?gòu)目臻g站下方、后方緩慢變軌接近。Ⅱ、Ⅲ是飛船繞地球運(yùn)行的橢圓軌道，Ⅳ是飛船繞地球運(yùn)行很接近空間站軌道的圓形軌道。P、Q分別為橢圓軌道Ⅲ的遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)，P、Q之間的距離為2L，地球半徑為R，天舟四號(hào)貨運(yùn)飛船在Ⅰ、Ⅳ軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。下列說(shuō)法正確的是()圖3A.天舟四號(hào)貨運(yùn)飛船在軌道Ⅰ上的角速度比在軌道Ⅳ上的角速度小B.天舟四號(hào)貨運(yùn)飛船在軌道Ⅲ和軌道Ⅰ上運(yùn)行的周期的比值為eq\r(\f(L3,R3))C.天舟四號(hào)貨運(yùn)飛船在軌道Ⅲ上P處與Q處的加速度大小的比值為eq\f(R2,（2L－R）2)D.天舟四號(hào)貨運(yùn)飛船在軌道Ⅰ和軌道Ⅳ上的線速度大小的比值為eq\r(\f(L,R))答案BC解析對(duì)天舟四號(hào)貨運(yùn)飛船，由萬(wàn)有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝mrω2，解得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，因?yàn)轱w船在軌道Ⅰ上的軌道半徑小于在軌道Ⅳ上的軌道半徑，則飛船在軌道Ⅰ上的角速度比在軌道Ⅳ上的角速度大，故A錯(cuò)誤；飛船在軌道Ⅲ和軌道Ⅰ上，由開(kāi)普勒第三定律有eq\f(R3,Teq\o\al(2,1))＝eq\f(L3,Teq\o\al(2,3))，解得eq\f(T3,T1)＝eq\r(\f(L3,R3))，故B正確；飛船運(yùn)行時(shí)只受萬(wàn)有引力，由牛頓第二定律有Geq\f(Mm,（2L－R）2)＝maP，Geq\f(Mm,R2)＝maQ，解得飛船在Ⅲ軌道P處與Q處的加速度大小的比值為eq\f(aP,aQ)＝eq\f(R2,（2L－R）2)，故C正確；飛船在軌道Ⅰ和軌道Ⅳ上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供向心力有Geq\f