2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)(1)2學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.通過具體情景，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在大量的數(shù)量關(guān)系.重點(diǎn)：1.用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系，并用不等式(組)研究含有不等關(guān)系的問題.難點(diǎn)：用不等式(組)正確表示出不等關(guān)系.2.理解不等式(組)對(duì)于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值.2.了解不等式(組)的實(shí)際背景.3.了解不等式的一些基本的性質(zhì).3

我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”,“>”,“<”,“≥”,“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些不等號(hào)的式子叫做不等式.什么是不等式？用符號(hào)“>”,“<”表示的不等式叫做嚴(yán)格不等式.用符號(hào)“≥”,“≤”表示的不等式叫做非嚴(yán)格不等式.注意：①a≥b表示a>b或a=b中有一個(gè)成立即是成立的；②a≤b表示a<b或a=b中有一個(gè)成立即是成立的；③將幾個(gè)不等式寫在大括號(hào)內(nèi)即是不等式組,幾個(gè)不等式之間是“且”的關(guān)系.一、不等關(guān)系及其表示4(3)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.(1)某路段限速40km/h；0<v≤4040(2)某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.問題1

你能用不等式或不等式(組)表示下列問題中的不等關(guān)系嗎？則a+b>c,a-b<c①.設(shè)△的三邊分別為a,b,c,(4)連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短．設(shè)C是線段AB外的任意一點(diǎn)，CD⊥AB于D,E是線段AB上不同于D的任意一點(diǎn),則CD＜CE．

①你能寫出其他的可能情況嗎？

AEDCB5問題2雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售,可以售出８萬本.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,雜志的單價(jià)每提高0.1元,銷售量就可能減少2000本.如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬元?(1)銷售量減少了多少?(2)現(xiàn)在銷售量是多少?(3)銷售總收入為多少?設(shè)提價(jià)后每本雜志的定價(jià)為x元，則×0.2萬本×0.2萬本萬元①如何解不等式①呢？6(2)a與b的和是非負(fù)數(shù);(1)某高速公路規(guī)定通過車輛的車貨總高度h從地面算起不能超過4m;(3)如圖,在一個(gè)面積小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一個(gè)倉庫,倉庫的四周是綠地.倉庫的長L大于寬W的4倍．a(chǎn)+b≥00<h≤41.用不等式或不等式組表示下面的不等關(guān)系：解：依題意得(L+10)(W+10)<350,L>4W,L>0,W>0.倉庫5m5m5m5m綠地(3)7觀察不等式“a<b”,“c<d”,“e>f”有什么不同？對(duì)于兩個(gè)不等式，如果每一個(gè)不等式的左邊都大于(或都小于)右邊，則這樣的不等式叫做同向不等式.如不等式a<b

與不等式c<d

是同向不等式.如果兩個(gè)不等式的不等號(hào)的開口方向不同，則這樣的不等式叫做異向不等式.如不等式a<b

與不等式e>f

是異向不等式.8比較實(shí)數(shù)大小的基本原理

思考1：實(shí)數(shù)可以比較大小,對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,其大小關(guān)系有哪幾種可能？a＞b，a＝b，a＜b.思考2：任何一個(gè)實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn),那么較大數(shù)與較小數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系如何？較大數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于較小數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的右邊如圖2.1-2，設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),它們?cè)跀?shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A,B.那么,當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊時(shí),a＜b;當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊時(shí),a＞b．二、實(shí)數(shù)的大小比較9思考3：如果a與b的差是正數(shù)，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系如何？反之成立嗎？如何用數(shù)學(xué)語言描述這個(gè)原理？a-b>0思考5：如果a與b的差等于零，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系如何？反之成立嗎？如何用數(shù)學(xué)語言描述這個(gè)原理？思考4：如果a與b的差是負(fù)數(shù)，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系如何？反之成立嗎？如何用數(shù)學(xué)語言描述這個(gè)原理？

a>ba-b<0

a<ba-b=0

a=b判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的依據(jù)是：a>b

a-b>0a<b

a-b<0a=b

a-b=0要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與０的大小．10例1.比較(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.分析：通過考察這兩個(gè)多項(xiàng)式的差與0的大小關(guān)系，可以得出它們的大小關(guān)系.解：因?yàn)?x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)=2>0

.所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).←作差←變形←判號(hào)←結(jié)論0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，它為實(shí)數(shù)比較大小提供了“標(biāo)桿”.這是作差比較法，其一般步驟是：作差→變形→判號(hào)→結(jié)論.變形的方法有：配方法；因式分解法；分子有理化等.112.比較下面兩式的大小：(1)比較x2+3與3x的大小;(2)若a>0,b>0,且a≠b,比較a3+b3與a2b+ab2的大小;解：(1)∵

x2+3-3x=

>0.∴

x2+3>3x.作差→變形→判號(hào)→結(jié)論.變形使用了配方法(3)比較與

的大小.12解：(2)∵

a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)作差→變形→判號(hào)→結(jié)論.變形使用了因式分解法=a2(a-b)+b2(b-a)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b)2.∵a>0,b>0,且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a3+b3-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2>0.∴a3+b3>a2b+ab2.2.比較下面兩式的大小：(1)比較x2+3與3x的大小;(2)若a>0,b>0,且a≠b,比較a3+b3與a2b+ab2的大小;(3)比較與

的大小.13解：(3)∵作差→變形→判號(hào)→結(jié)論.變形使用了分子有理化>0.∴2.比較下面兩式的大小：(1)比較x2+3與3x的大小;(2)若a>0,b>0,且a≠b,比較a3+b3與a2b+ab2的大小;(3)比較與

的大小.14三、一個(gè)重要不等式

圖２.1-3是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客．你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形,設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b(a≠b).則正方形ABCD的邊長是？則正方形ABCD的面積是？S正方形ABCD=4S△AEB+S正方形GHEF.a2+b2=2ab+S正方形GHEF

>2ab.a2+b2>2aba2+b2=4×ab+S正方形GHEF15當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼＝b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有ABCDEabS正方形GHEF=0.a2+b2=2ab于是有a2+b2

≥2ab.一般地，

a,b∈R,有a2+b2

≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)上式取等號(hào).利用完全平方差公式也可求得∵(a-b)2=a2-2ab+b2≥0,∴a2+b2

≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)上式取等號(hào).16解：∵x≠0,由a2+b2

≥2ab得所以所求的最小值是2.

當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=±1時(shí),