電子科技大學§3.4

泊松過程(二)三、更新計數過程

定義3.4.1

設{N(t),t≥0}是一個計數過程，如果它的時間間隔序列T1,T2,…,Tn,…相互獨立同分布，稱為更新計數過程.例

同類型設備的更新，如一個元件；一個燈泡；一個系統…電子科技大學假定每個更換對象的壽命具有相同的概率密度，則相繼兩次損壞之間的更新時間T1,T2,…相互獨立同分布.

定理3.4.1

更新計數過程{N(t),t≥0}是泊松過程的充要條件是時間間隔T具有指數分布.

等價于時間間隔序列T1,T2,…,Tn,…相互獨立同服從相同指數分布.注證由定理3.3.2知必要性,僅需證充分性,應有電子科技大學Ti的特征函數為指數分布特征函數電子科技大學

由特征函數的反演公式及唯一性定理知,Wk的密度函數為

分布函數為電子科技大學{N(t),t≥0}的概率分布為泊松分布,即N(t)～P(lt).電子科技大學一般地，設{N(t),t≥0}為更新計數過程,有：3)1)2)電子科技大學思考題

如何模擬一個參數為λ的Poisson過程{N(t),t≥0}？1.結合定理3.4.1，并查找相關資料.2.給出算法步驟，并說明算法原理.提示電子科技大學

EX.5

調查城市人員流動情況,可在關鍵路口觀察公交車的載客情況，設[0,t)內通過的公交車數N(t)是一個poisson過程，而每輛車的載客人數為ξn，則經公交車通過此路口的人數為：

四、復合泊松過程電子科技大學

EX.6

若將股票交易次數N(t)看作一個Poisson過程,ξn表示第n次與第n－1次易手前后股票價格差,則X(t)就代表直到t時刻股票的價格變化.

定義3.4.2設{N(t),t≥0}是強度為λ的齊次Poisson過程,{ξn,n≥1}是相互獨立同分布的隨機變量序列，并與N(t)相互獨立,稱為復合Poisson過程..電子科技大學

定理3.4.2

設{X(t),t≥0}是復合泊松過程其中{N(t),t≥0}是強度為λ的泊松過程，ξn,n=1,2,

…相互獨立與ξ同分布，有2）ξ的特征函數為證明見P531）{X(t),t≥0}是獨立增量過程。電子科技大學4）方差函數為3）均值函數為EX.7保險公司賠償金儲備問題設壽險投保人的死亡數N(t)是強度為λ的poisson過程,ξn表示第n個死亡者的賠償金額,ξn,n=1,2,…相互獨立同分布,ξn服從參數為α的指數分布。Y(t)是保險公司在[0,t)時間段內的總賠付金額,試求平均賠付金額和D[Y(t)].電子科技大學解是一個復合泊松過程,有保險公司在[0,t)時間內平均支付的賠償金為電子科技大學

EX.8

設某儀器受到震動而引起損傷，若震動次數N(t)按強度為λ的Possion過程發生,第k次震動時引起的損傷為Dk,且D1,D2,…相互獨立同分布,與{N(t),t≥0}相互獨立.

又假設儀器受到震動而引起損傷將隨時間按指數衰減。需考慮總損傷的平均程度.

分析

1）設初始損傷為Dk，經時間t

后衰減為Dke－αt，t≥0(α>0);電子科技大學

2）假設各次震動而引起損傷是可疊加的，

則在t

時刻的總損傷可表示為其中Wk是第k

次受震動的時刻，需求E[D(t)].

解由全期望公式電子科技大學對任意正整數n,

有Dk

與N(t)相互獨立Dk與Wk相互獨立。電子科技大學根據定理3.3.4可得電子科技大學1)令Y(t)=N1(t)

－N2(t)，t>0,求Y(t)的均值函數和相關函數.2)證明X(t)=N1(t)+N2(t),t>0,是強度為λ1+λ2的泊松過程.3)證明Y(t)=N1(t)

－N2(t)，t>0,不是泊松過程.

EX.9

設N1(t)和N2(t)分別是強度為λ1和λ2的相互獨立的泊松過程,

五、泊松過程的疊加與分解電子科技大學電子科技大學2)根據泊松分布的可加性知X(t)=N1(t)+N2(t),t>0,3)Y(t)=N1(t)－N2(t)的特征函數為獨立和的特征函數

由分布函數與特征函數的一一對應的惟一性定理知Y(t)不是泊松過程.服從參數為(λ1+λ2)t的泊松分布.問題:如何證明?電子科技大學

定理3.4.3

設{N1(t),t≥0}和{N2(t),t≥0}是相互獨立的強度分別為λ1和λ2的泊松過程,則{N(t)=N1(t)+N2(t),t>0}是強度為λ1+λ2的泊松過程.

證是計數過程,而且滿足1）零初值性1.泊松過程的疊加電子科技大學2）獨立增量性對任意相互獨立.

需證對一切0≤t1<t2,N(t2)－N(t1)～P[(l1+l2)

(t2－t1)].3)增量平穩性兩個過程的獨立性電子科技大學即對一切0≤t1<t2,增量

根據定義3.4.2′知{N(t)=N1(t)+N2(t),t>0}是強度為λ1+λ2的泊松過程.

兩個均為泊松過程注定理可以推廣到任意有限個過程的情形.電子科技大學2.泊松過程的分解分解模型—隨機并聯系統子系統A{N(t),t>0}{N1(t),t>0}{N2(t),t>0}p1－p子系統B

若輸入{N(t),t>0}是強度為λ的泊松過程，子系統A與B的輸入過程{N1(t),t>0}、{N2(t),t>0}有什么關系？電子科技大學

設進入系統的質點數{N(t),t≥0}是強度為λ的泊松過程,每個質點進入子系統A或B與{N(t),t≥0}相互獨立.N1(t)

是以概率p進入子系統A的質點數，N2(t)是以概率1－

p進入子系統B的質點數.1）對任意t∈T，N(t)=N1(t)+N2(t)；2）N1(t)與N2(t)分別是強度為λp

和λ(1－

p)的泊松過程；3）對任意固定t∈T，N1(t)

與N2(t)相互獨立.有電子科技大學電子科技大學電子科技大學電子科技大學電子科技大學

六、非齊次泊松過程

齊次泊松過程中有“增量平穩”的假定條件,假定到達率λ是常數.

當過程的到達率隨時間緩慢變化,此假設合理.

若過程的增量平穩條件不滿足，到達率隨時間改變，設到達率為時間函數λ(t),則引入非齊次泊松過程概念：電子科技大學

定義3.3.5

如果計數過程滿足下列條件1）N(0)=0；2）{N