2021年山西省運城市高中聯合體高考數學模擬試卷（文科）（4月份）一、選擇題（每小題5分）.1．已知集合A＝{（x，y）|x+y＝8，x，y∈N*}，B＝{（x，y）|y＞x+1}，則A∩B中元素的個數為（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知角θ的終邊過點（1，﹣1），＝（）A． B． C．﹣1 D．13．執行如圖的程序框圖，如果輸入的ε為0.001，則輸出S的值等于（）A． B． C． D．4．如圖是某公司10個銷售店某月銷售某產品數量（單位：臺）的莖葉圖，則數據落在區間[22，30）內的概率為（）5．已知函數f（x）＝，則f（2021）＝（）A． B．2e C． D．2e26．已知雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦點到漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．27．若a＞0，b＞0，a+2b＝1，則+的最小值為（）A．8 B．6 C．12 D．98．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．29．已知函數f（x）＝8sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期為π，若f（x）在[﹣，]上單調遞增，在[，]上單調遞減，則實數m的取值范圍是（）A．[π，π] B．[π，π] C．[，] D．[﹣，π]10．大擺錘是一種大型游樂設備（如圖），游客坐在圓形的座艙中，面向外，通常大擺錘以壓肩作為安全束縛，配以安全帶作為二次保險，座艙旋轉的同時，懸掛座艙的主軸在電機的驅動下做單擺運動．假設小明坐在點A處，“大擺錘”啟動后，主軸OB在平面α內繞點O左右擺動，平面α與水平地面垂直，OB擺動的過程中，點A在平面β內繞點B作圓周運動，并且始終保持OB⊥β，B∈β．設OB＝4AB，在“大擺錘”啟動后，下列結論錯誤的是（）A．點A在某個定球面上運動 B．β與水平地面所成銳角記為θ，直線OB與水平地面所成角記為δ，則θ+δ為定值 C．可能在某個時刻，AB∥α D．直線OA與平面α所成角的正弦值的最大值為11．第24屆冬季奧林匹克運動會，將在2022年02月04日在中華人民共和國北京市和張家口市聯合舉行．這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京成為奧運史上第一個舉辦夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市．同時中國也成為第一個實現奧運“全滿貫”（先后舉辦奧運會、殘奧會、青奧會、冬奧會、冬殘奧會）國家．根據規劃，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內層橢圓引切線AC，BD（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．12．已知函數f（x）＝，函數g（x）滿足以下三點條件：①定義域為R；②對任意x∈R，有g（x+π）＝2g（x）；③當x∈[0，π]時，g（x）＝sinx．則函數y＝f（x）﹣g（x）在區間[﹣4π，4π]上零點的個數為（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空題（共4小題）.13．如果復數（a∈R）為實數，則a＝．14．已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*），則數列{an}的通項公式為．15．明朝著名易學家來知德以其太極圖解釋一年、一日之象的圖式，一年氣象圖將二十四節氣配以太極圖，說明一年之氣象，來氏認為“萬古之人事，一年之氣象也，春作夏長秋收冬藏，一年不過如此”．如圖是來氏太極圖，其大圓半徑為4，大圓內部的同心小圓半徑為1，兩圓之間的圖案是對稱的，若在大圓內隨機取一點，則該點落在黑色區域的概率為．16．《九章算術》是古代中國的第一部自成體系的數學專著，與古希臘歐幾里得的《幾何原本》并稱現代數學的兩大源泉．《九章算術》卷五記載：“今有芻甍（音：芻chú甍méng），下廣三丈，表四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”譯文：今有如圖所示的屋脊狀楔體PQ﹣ABCD，下底面ABCD是矩形，假設屋脊沒有歪斜，即PQ中點R在底面ABCD上的投影為矩形ABCD的中心點O，PQ∥AB，AB＝4，AD＝3，PQ＝2，OR＝1（長度單位：丈）．則楔體PQ﹣ABCD的體積為（體積單位：立方丈）．三、解答題：本大題共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（一）必考題：共60分.17．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求A；（2）若b﹣c＝4，△ABC的外接圓半徑為2，△ABC的邊BC上的高h．18．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝1，CD＝3，M為PC上一點，MC＝2PM．（Ⅰ）證明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）若AD＝2，PD＝3，求點D到平面PBC的距離．19．為研制新冠肺炎的疫苗，某生物制品研究所將所研制的某型號疫苗用在小白鼠身上進行科研和臨床試驗，得到如表統計數據：未感染病毒感染病毒總計未注射疫苗40px注射疫苗60qy總計100100200現從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為．（1）能否有99.5%的把握認為注射此疫苗有效？（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只進行病理分析，然后從這5只小白鼠中隨機抽取3只對注射疫苗的情況進行核實，求恰有1只為注射過疫苗的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）k020．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的焦距為2，點M（）在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）設直線l：y＝kx+m（k＞0，m＞0）與橢圓C交于P，Q兩點，且直線OP，PQ，OQ的斜率之和為0（其中O為坐標原點）．①求證：直線l經過定點，并求出定點坐標；②求△OPQ面積的最大值．21．已知函數f（x）＝ex﹣x﹣axln（x+1）﹣1．（Ⅰ）若a＝0，求f（x）的最小值；（Ⅱ）函數f（x）在x＝0處有極大值，求a的取值范圍．（二）選考題：共10分請考生在第22，23題中任選一題作答。若多做，則按所做的第一題計分。[選修44：坐標系與參數方程]22．已知在平面直角坐標系中，圓C的參數方程為（α為參數），以原點為極點，以x軸為非負半軸為極軸建立極坐標系．（1）求圓C的普通方程與極坐標方程；（2）若直線l的極坐標方程為，求圓C上的點到直線l的最大距離．[選修45：不等式選講]23．設函數f（x）＝|x﹣a|+|2x+2|﹣5（a∈R）．（Ⅰ）試比較f（﹣1）與f（a）的大小；（Ⅱ）當a＝﹣5時，求函數f（x）的圖象與x軸圍成的圖形面積．參考答案一、選擇題（共12小題）.1．已知集合A＝{（x，y）|x+y＝8，x，y∈N*}，B＝{（x，y）|y＞x+1}，則A∩B中元素的個數為（）A．2 B．3 C．4 D．5解：A∩B中的元素滿足且x，y∈N*，由x+y＝8＞2x+1，可得且x∈N*，故A∩B中的元素為（1，7），（2，6），（3，5），共有3個．故選：B．2．已知角θ的終邊過點（1，﹣1），＝（）A． B． C．﹣1 D．1解：因為角θ的終邊過點（1，﹣1），所以x＝1，y＝﹣1，r＝，所以＝sinθ＝＝＝﹣．故選：A．3．執行如圖的程序框圖，如果輸入的ε為0.001，則輸出S的值等于（）A． B． C． D．解：輸入的ε為0.001，x＝1，S＝0，執行如圖的程序框圖，如果輸入的ε為0.05，x＝1，S＝0，第一次執行循環體后，S＝1，x＝，不滿足退出循環的條件；第二次執行循環體后，S＝1+，x＝，不滿足退出循環的條件；第三次執行循環體后，S＝1++，x＝，不滿足退出循環的條件；第四次執行循環體后，S＝1+++，x＝，不滿足退出循環的條件；第五次執行循環體后，S＝1++++，x＝，不滿足退出循環的條件；第六次執行循環體后，S＝1+++++，x＝，不滿足退出循環的條件；第七次執行循環體后，S＝1++++++，x＝，不滿足退出循環的條件；第八次執行循環體后，S＝1+++++++，x＝，不滿足退出循環的條件；第九次執行循環體后，S＝1++++++++，x＝，不滿足退出循環的條件；第十次執行循環體后，S＝1+++++++++＝2﹣，x＝＜?，滿足退出循環的條件；則輸出S＝2﹣，故選：C．4．如圖是某公司10個銷售店某月銷售某產品數量（單位：臺）的莖葉圖，則數據落在區間[22，30）內的概率為（）解：由莖葉圖10個原始數據，數據落在區間[22，30）內的共有4個，包括2個22，1個27，1個29，則數據落在區間[22，30）內的概率為＝0.4．故選：B．5．已知函數f（x）＝，則f（2021）＝（）A． B．2e C． D．2e2解：∵函數f（x）＝，∴f（2021）＝f（673×3+2）＝f（2）＝f（﹣1）＝e﹣1+ln2＝e﹣1×2＝．故選：A．6．已知雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦點到漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．2解：取雙曲線的右焦點F（c，0），取雙曲線的漸近線y＝，即bx﹣ay＝0，依題意得，即4b2＝a2，∴該雙曲線的離心率e＝，故選：B．7．若a＞0，b＞0，a+2b＝1，則+的最小值為（）A．8 B．6 C．12 D．9解：+＝+＝4++≥4+2＝12．（當且僅當a＝b時取“＝”）．故選：C．8．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．2解：根據三視圖知，該幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐P﹣ABCD，把該棱錐放入長為2、寬為1、高為1的長方體中，如圖所示；則該四棱錐的體積為V＝S梯形ABCD?h＝××（1+2）×1×1＝．故選：B．9．已知函數f（x）＝8sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期為π，若f（x）在[﹣，]上單調遞增，在[，]上單調遞減，則實數m的取值范圍是（）A．[π，π] B．[π，π] C．[，] D．[﹣，π]解：∵T＝π，∴ω＝＝2，∴f（x）＝8sin（2x﹣），當x∈[﹣，]時，2x﹣∈[﹣，]，∴＜，解得﹣＜m≤；當x∈[，]時，2x﹣∈[m﹣，π]，∴≤m﹣＜π，解得≤m＜，綜上所述：≤m≤，故選：B．10．大擺錘是一種大型游樂設備（如圖），游客坐在圓形的座艙中，面向外，通常大擺錘以壓肩作為安全束縛，配以安全帶作為二次保險，座艙旋轉的同時，懸掛座艙的主軸在電機的驅動下做單擺運動．假設小明坐在點A處，“大擺錘”啟動后，主軸OB在平面α內繞點O左右擺動，平面α與水平地面垂直，OB擺動的過程中，點A在平面β內繞點B作圓周運動，并且始終保持OB⊥β，B∈β．設OB＝4AB，在“大擺錘”啟動后，下列結論錯誤的是（）A．點A在某個定球面上運動 B．β與水平地面所成銳角記為θ，直線OB與水平地面所成角記為δ，則θ+δ為定值 C．可能在某個時刻，AB∥α D．直線OA與平面α所成角的正弦值的最大值為解：因為點A在平面β內繞點B作圓周運動，并且始終保持OB⊥β，B∈β，所以OA＝，又因為OB，AB為定值，所以OA也是定值，所以點A在某個定球面上運動，故A正確；作出簡圖如下，OB⊥l，所以θ+δ＝，故B正確；因為B∈α，所以不可能有AB∥α，故C不正確；設OB＝4a，則OB＝4a，，當AB⊥α時，直線OA與平面α所成角最大，此時直線OA與平面α所成角的正弦值為，故D正確．故選：C．11．第24屆冬季奧林匹克運動會，將在2022年02月04日在中華人民共和國北京市和張家口市聯合舉行．這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京成為奧運史上第一個舉辦夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市．同時中國也成為第一個實現奧運“全滿貫”（先后舉辦奧運會、殘奧會、青奧會、冬奧會、冬殘奧會）國家．根據規劃，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內層橢圓引切線AC，BD（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．解：設內層橢圓方程為（a＞b＞0），因為內外橢圓離心率相同，所以外層橢圓，可設成，（m＞1），設切線的方程為y＝k1（x+a），與聯立得，，由△＝0，則，同理，所以，因此．故選：B．12．已知函數f（x）＝，函數g（x）滿足以下三點條件：①定義域為R；②對任意x∈R，有g（x+π）＝2g（x）；③當x∈[0，π]時，g（x）＝sinx．則函數y＝f（x）﹣g（x）在區間[﹣4π，4π]上零點的個數為（）A．6 B．7 C．8 D．9解：函數y＝f（x）﹣g（x）在區間[﹣4π，4π]上零點的個數，即為y＝f（x）和y＝g（x）的圖像在區間[﹣4π，4π]上的交點個數．分別作出y＝f（x）和y＝g（x）在[﹣4π，4π]上的圖像，結合圖象可得它們有6個交點，故選：A．二、填空題本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填寫在答題卷中對應題號的橫線上.13．如果復數（a∈R）為實數，則a＝﹣2．解：∵＝為實數，∴2+a＝0，即a＝﹣2．故答案為：﹣2．14．已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*），則數列{an}的通項公式為．解：因為Sn＝n2an（n∈N*），所以當n≥2時，Sn﹣1＝（n﹣1）2an﹣1，故an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2an﹣（n﹣1）2an﹣1，整理可得，故?a1＝，當n＝1時，a1＝1也適合上式，故數列{an}的通項公式為．故答案為：．15．明朝著名易學家來知德以其太極圖解釋一年、一日之象的圖式，一年氣象圖將二十四節氣配以太極圖，說明一年之氣象，來氏認為“萬古之人事，一年之氣象也，春作夏長秋收冬藏，一年不過如此”．如圖是來氏太極圖，其大圓半徑為4，大圓內部的同心小圓半徑為1，兩圓之間的圖案是對稱的，若在大圓內隨機取一點，則該點落在黑色區域的概率為．解：設大圓的面積為S1，小圓的面積為S2，則S1＝16π，S2＝π，∴黑色區域的面積為＝，∴點落在黑色區域的概率為＝．故答案為：．16．《九章算術》是古代中國的第一部自成體系的數學專著，與古希臘歐幾里得的《幾何原本》并稱現代數學的兩大源泉．《九章算術》卷五記載：“今有芻甍（音：芻chú甍méng），下廣三丈，表四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”譯文：今有如圖所示的屋脊狀楔體PQ﹣ABCD，下底面ABCD是矩形，假設屋脊沒有歪斜，即PQ中點R在底面ABCD上的投影為矩形ABCD的中心點O，PQ∥AB，AB＝4，AD＝3，PQ＝2，OR＝1（長度單位：丈）．則楔體PQ﹣ABCD的體積為（體積單位：立方丈）5立方丈．解：將楔體PQ﹣ABCD分成一個三棱柱、兩個四棱錐，則V三棱柱＝＝3立方丈，2V四棱錐＝＝2立方丈，故V楔體PQ﹣ABCD＝V三棱柱+2V四棱錐＝3+2＝5立方丈．故答案為：5立方丈．三、解答題：本大題共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（一）必考題：共60分.17．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求A；（2）若b﹣c＝4，△ABC的外接圓半徑為2，△ABC的邊BC上的高h．解：（1）因為，可得（a+b）（sinA﹣sinB）＝sinC（c﹣b），由正弦定理可得（a+b）（a﹣b）＝c（c﹣b），整理可得a2＝b2+c2﹣bc，所以cosA＝＝＝，又A∈（0，π），可得A＝．（2）因為△ABC的外接圓半徑為2，由正弦定理可得＝2R＝4，即a＝4sin＝6，由余弦定理可得2＝b2+c2﹣bc＝（b﹣c）2+bc＝16+bc＝36，所以bc＝20，所以△ABC的面積S＝bcsinA＝，可得h＝＝＝．18．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝1，CD＝3，M為PC上一點，MC＝2PM．（Ⅰ）證明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）若AD＝2，PD＝3，求點D到平面PBC的距離．【解答】證明：（1）過M作MO⊥CD，交CD于O，連結BO，∵四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝1，CD＝3，M為PC上一點，MC＝2PM，∴MO∥PD，OD＝，∴ODAB，∴AD∥BO，∵AD∩PD＝D，BO∩MO＝O，AD、PD?平面ADP，BO、MO?平面BOM，∴平面ADP∥平面BOM，∵BM?平面BOM，∴BM∥平面PAD．解：（2）∵AD＝2，PD＝3，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝1，CD＝3，∴BD＝＝，∴BD2+AB2＝AD2，以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，B（，1，0），P（0，0，3），C（0，3，0），D（0，0，0），＝（），＝（），＝（0，3，﹣3），設平面PBC的法向量＝（x，y，z），則，取x＝2，得＝（2，3，3），∴點D到平面PBC的距離d＝＝＝．19．為研制新冠肺炎的疫苗，某生物制品研究所將所研制的某型號疫苗用在小白鼠身上進行科研和臨床試驗，得到如表統計數據：未感染病毒感染病毒總計未注射疫苗40px注射疫苗60qy總計100100200現從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為．（1）能否有99.5%的把握認為注射此疫苗有效？（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只進行病理分析，然后從這5只小白鼠中隨機抽取3只對注射疫苗的情況進行核實，求恰有1只為注射過疫苗的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）k0解：（1）由題意可知，解得p＝60，∴q＝40，x＝y＝100，∴2×2列聯表如下表所示：未感染病毒感染病毒總計未注射疫苗4060100注射疫苗6040100總計100100200∴＝8＞7.879，∴有99.5%的把握認為注射此疫苗有效．（2）設“恰有1只為注射過疫苗”為事件A，由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例＝抽取，∴抽取的5只小白鼠中有3只未注射疫苗，分別用1，2，3來表示，2只已注射疫苗的小白鼠分別用a，b來表示，從這5只小白鼠中隨機抽取3只，可能的情況有：（1，2，3），（1，2，a），（1，2，b），（1，3，a），（1，3，b），（1，a，b），（2，3，a），（2，3，b），（2，a，b），（3，a，b），共10種，其中恰有1只為注射過疫苗有：（1，2，a），（1，2，b），（1，3，a），（1，3，b），（2，3，a），（2，3，b），共6種，∴P（A）＝＝，即恰有1只為注射過疫苗的概率為．20．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的焦距為2，點M（）在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）設直線l：y＝kx+m（k＞0，m＞0）與橢圓C交于P，Q兩點，且直線OP，PQ，OQ的斜率之和為0（其中O為坐標原點）．①求證：直線l經過定點，并求出定點坐標；②求△OPQ面積的最大值．解：（1）由題意可得2c＝2，+＝1，c2＝a2﹣b2，解得：a2＝4，b2＝1，所以橢圓的方程為：+y2＝1；（2）①證明：設P（x1，y1），Q（x2，y2），聯立，整理可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以△＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，可得m2＜1+4k2，x1+x2＝﹣，x1x2＝，設直線OP，PQ，OQ的斜率為k1，k，k2，因為直線OP，PQ，OQ的斜率之和為0，所以k1+k+k2＝0，即++k＝++k＝3k+＝3k+m?＝＝0，所以m2＝3，由m＞0，所以m＝，所以直線l恒過定點（0，）；②由①可得：|PQ|＝?＝，原點到直線的距離d＝＝，所以S△POQ＝|PQ|?d＝＝＝，因為+，當且僅當＝時，即4k2﹣2＝3，即k2＝時取等號，所以S△POQ≤1，即△OPQ面積的最大值為1．21．已知函數f（x）＝ex﹣x﹣axln（x+1）﹣1．（Ⅰ）若a＝0，求f（x）的最小值；（Ⅱ）函數f（x）在x＝0處有極大值，求a的取值范圍．解：（1）∵a＝0，∴f（x）＝ex﹣x2﹣1，則f'（x）＝ex﹣1，當x∈（﹣1，0）時，f'（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0；∴f（x）在（﹣1，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增．∴f（x）min＝f（0）＝0．（Ⅱ）．設g（x）＝f'（x），則．當a≤0時，g'（x）＞0，g（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增，∴x∈（﹣1，0）時，g（x）＜g（0）＝0；x∈（0，+∞）時，g（x）＞g（0）＝0，∴f（x）在（﹣1，0）上遞減，在（0，+∞