第05講復數1．復數的有關概念(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數，即形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部(i為虛數單位)．(2)分類：滿足條件(a，b為實數)復數的分類a＋bi為實數?b＝0a＋bi為虛數?b≠0a＋bi為純虛數?a＝0且b≠0(3)復數相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．復數的幾何意義復數z＝a＋bi與復平面內的點Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系．3．復數的運算(1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)幾何意義：復數加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行．如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).4．如圖的復平面中，r＝eq\r(a2＋b2)，cosθ＝eq\f(a,r)，sinθ＝eq\f(b,r)，tanθ＝eq\f(b,a)(a≠0)．任何一個復數z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cosθ＋isinθ)的形式．我們把r(cosθ＋isinθ)叫做復數的三角形式．對應于復數的三角形式，把z＝a＋bi叫做復數的代數形式．復數乘、除運算的三角表示：已知復數z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，則z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．一．復數的四則運算例1．（1）復數＝（

）A． B． C． D．（2）設為虛數單位，復數（

）A． B． C． D．（3）i是虛數單位，則復數___________.二．共軛復數例2．（1）已知，則復數的共軛復數是（

）A． B． C． D．（2）復數，則（

）A． B． C． D．（3）的共軛復數為（

）A．B．C．D．三．求復數的模例3．（1）設復數z滿足，則（

）A．6 B．6 C． D．5（2）若，為虛數單位，則（

）A．1 B．2 C．3 D．（3）計算：___________.四．求復數的實部與虛部例4．（1）復數滿足，則復數的實部是（

）A． B． C． D．（2）已知復數滿足，則的虛部為（

）A．2 B．－2 C．1 D．－1（3）復數滿足（為虛數單位），則的共軛復數的虛部為（

）A． B． C． D．1五．復數的相等例5．（1）已知，若（i為虛數單位），則的值為（

）A．3 B． C．1 D．（2）復數，，若，則（

）A． B． C． D．（3）復數z滿足（i為虛數單位），則實數m＝（

）A．2 B．1 C．－1 D．－2六．已知復數類型求參數例6．（1）若復數為純虛數，則實數x的值為（

）A． B．10 C．100 D．或10（2）已知復數是純虛數，則___________.（3）已知復數，其中．(1)若為實數，求的值；(2)若為純虛數，求的虛部．七．判斷復數對應的點所在象限例7．（1）復數（表示虛數單位）在復平面內對應的點為（

）A．（－1，2） B．（1，－2） C．（1，2） D．（2，1）（2）已知是虛數單位，，則復數所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（3）已知復數z滿足，則復數z在復平面內所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限八．根據復數的坐標寫出對應的復數例8．（1）如圖所示，在復平面內，復數對應的點為，則（

）A． B． C． D．（2）已知點，，，復數，在復平面內對應的向量分別是，，則復數（

）A． B． C． D．（3）在復平面內，復數和對應的點分別是和，則_______.九．根據復數對應坐標的特點求參數例9．（1）若復數在復平面內所對應的點位于第四象限，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2）在復平面內，若復數所對應的點落在直線上，其中i為虛數單位，則（

）A． B． C．9 D．12（3）復數，且z在復平面內對應的點在第二象限，則實數m的值可以為（

）A．2 B． C． D．0十．由復數模求參數例10．（1）已知復數z的虛部為1，且，則z在復平面內所對應的點z到虛軸的距離為___________.（2）已知復數z的模為10，虛部為6，則復數z為______．（3）寫出一個同時滿足下列條件的復數__________.①；②復數在復平面內對應的點在第四象限.十一．與復數模相關的軌跡（圖形）問題例11．（1）若z是復數，且，則的最大值是（

）A．12 B．8 C．6 D．3（2）已知復數z滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．（3）設復數z滿足，z在復平面內對應的點為，則（

）A． B． C． D．十二．復數的三角形式例12．（1）法國數學家棣莫弗（16671754）發現的公式推動了復數領域的研究．根據該公式，可得（

）．A．1 B． C． D．（2）在復平面內，復數（，）對應向量（O為坐標原點），設，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉的角為，則，法國數學家棣莫弗發現了棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理可以導出復數乘方公式：，已知，則（

）A． B．4 C． D．16（3）復數在復平面內對應點為，為原點，以為始邊，為終邊逆時針旋轉的角為，，則.法國數學家棣莫弗發現棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理導出了復數的乘方公式：.則（

）A． B．C． D．1．已知i為虛數單位，復數，則z的虛部為（

）A．i B．1 C．7 D．72．若復數z滿足（其中i為虛數單位），則z的虛部是（

）A．2i B． C．2 D．3．若復數，則z的虛部為（

）A． B． C． D．4．已知為虛數單位，復數滿足為純虛數，則的虛部為（

）A． B． C． D．5．若復數滿足，則（

）A． B． C． D．6．已知，則（

）A． B． C． D．7．若復數滿足，則復數的實部為（

）A． B． C． D．8．若，其中，i為虛數單位，則復數所對應復平面內的點Z位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．是復數z的共軛復數，若，則（

）A． B． C． D．10．若（i為虛數單位），則實數a的值為（

）A．－3 B．－1 C．1 D．311．已知為復數的共軛復數，且，則（

）A． B． C． D．12．已知復數滿足，則（

）A． B．1 C．2 D．13．若，其中為虛數單位，則實數m的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．314．在復平面內，復數z對應的點為，則（

）A． B． C． D．15．若復數（i為虛數單位），則在復平面內，對應的點的坐標是（

）A．B．C．D．16．若（i為虛數單位），則在復平面內復數z所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17．復數則在復平面內，對應的點的坐標是（

）A． B． C． D．18．復數滿足，則的共軛復數在復平面內對應的點所在的象限為（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限19．非零復數滿足，則復平面上表示復數的點位于（

）A．實軸 B．虛軸 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限20．若復數是純虛數，則（

）A． B． C． D．21．已知復數，則下列結論不正確的是（

）A． B．復數z的共軛復數為C． D．22．已知m，，是虛數單位，若，則（

）A． B．4 C． D．323．若（為虛數單位），則（

）A．5 B．2 C．3 D．124．已知復數z滿足，則（

）A． B．2 C． D．25．設復數z滿足，則|z|=（

）A．1 B． C．2 D．236．i是虛數單位，設復數滿足，則的共軛復數（

）A．1i B．1+i C．1i D．1+i26．已知復數滿足，則（

）A．100 B．10 C．5 D．27．已知復數（其中為虛數單位），則（

）A．2 B． C．4 D．1028．歐拉是世紀最偉大的數學家之一，在很多領域中都有杰出的貢獻．由《物理世界》發起的一項調查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特殊情況．根據歐拉公式，（

）A． B． C． D．29．已知i是虛數單位，若，則（

）A．1 B． C．2 D．430．世紀末，挪威測量學家維塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數，使復數及其運算具有了幾何意義，例如，也即復數的模的幾何意義為對應的點到原點的距離．已知復數滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．31．（多選）若復數，則（

）A． B．z的實部為C．z的虛部為 D．復平面內z對應的點在虛軸上32．（多選）下面是關于復數（為虛數單位）的命題，其中真命題為（

）A． B．C．的共軛復數為 D．的虛部為133．（多選）若，則n可以是（

）A．102 B．104 C．106 D．10834．（多選）已知，，，則（

）A． B． C． D．35．（多選）對于復數(，∈R)，下列說法正確的是（

）A．若，則為純虛數 B．若，則，C．若，則為實數 D．的平方等于136．（多選）已知復數（其中i是虛數單位），則下列命題中正確的為（

）A．z的虛部是6 B．C．是純虛數 D．復數滿足，則復數對應點的集合是個圓37．（多選）若，則z可能為（

）A． B． C． D．38．（多選）設有下面四個命題，其中正確的命題是（

）A．若復數z滿足，則；B．若復數z滿足，則；C．若復數滿足，則；D．若復數，則39．（多選）已知i為虛數單位，復數z滿足，則下列說法正確的是（

）A．復數z的模為B．復數z的共軛復數為C．復數z的虛部為D．復數z在復平面內對應的點在第一象限40．設，其中a，b是實數，則____________．41．設復數滿足，且是純虛數，試寫出一個滿足條件的復數：___________.42．若復數是正實數，則實數的值為________．43．已知復數滿足，則___________.44．已知復數，則____________45．設復數，滿足，，，則________．46．已知，，，為