西藏拉薩北京實驗中學2024屆九年級數學第一學期期末教學質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，在平行四邊形中，，，那么的值等于（）A． B． C． D．2．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，且E為OB的中點，∠CDB=30°，CD=4，則陰影部分的面積為（）A．π B．4π C．π D．π3．近幾年我國國產汽車行業蓬勃發展，下列汽車標識中，是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．4．如圖，點O是五邊形ABCDE和五邊形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝1：3，則五邊形ABCDE和五邊形A1B1C1D1E1的面積比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：95．方程的根是（）A．2 B．0 C．0或2 D．0或36．方程的根為（）A． B． C．或 D．或7．sin45°的值是（）A． B． C． D．8．在平面直角坐標系中，點A(0,2)、B(a,a+2)、C(b,0)（a>0,b>0），若AB=且∠ACB最大時，b的值為（）A． B． C． D．9．某次數學糾錯比賽共有道題目，每道題都答對得分，答錯或不答得分，全班名同學參加了此次競賽，他們的得分情況如下表所示：成績（分）人數則全班名同學的成績的中位數和眾數分別是（）A．， B．， C．，70 D．，10．一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項分別是（）A．3，2，1 B．3，2，-1 C．3，-2，1 D．3，-2，-111．在中，，，則的值是（）A． B． C． D．12．若關于x的一元二次方程x2－2x－k＝0沒有實數根，則k的取值范圍是（）A．k＞－1 B．k≥－1 C．k＜－1 D．k≤－1二、填空題（每題4分，共24分）13．歸納“T”字形，用棋子擺成的“T”字形如圖所示，按照圖①，圖②，圖③的規律擺下去，擺成第n個“T”字形需要的棋子個數為_______．14．二次函數的部分圖像如圖所示，要使函數值，則自變量的取值范圍是_______.15．如圖所示，在中，，垂直平分，交于點，垂足為點，，，則等于___________．16．若反比例函數y＝﹣6x的圖象經過點A(m，3)，則m的值是_____17．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點，BE=1，F為AB上的一點，AF=2，P為AC上的一個動點，則PF＋PE的最小值為______________18．如圖，在中，，，點是邊的中點，點是邊上一個動點，當__________時，相似．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在⊙O中，點C是的中點，弦AB與半徑OC相交于點D，AB=11，CD=1．求⊙O半徑的長．20．（8分）一名大學畢業生利用“互聯網+”自主創業，銷售一種產品，這種產品的成本價為80元/件，經市場調查發現，該產品的日銷售量(單位：件)與銷售單價(單位：元/件)之間滿足一次函數關系，如圖所示．（1）求與之間的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；（2）求每天的銷售利潤(單位：元)與銷售單價之間的函數關系式，并求出每件銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（3）這名大學生計劃開展科技創新，以降低該產品的成本，預計在今后的銷售中，日銷售量與銷售單價仍存在（1）中的關系．若想實現銷售單價為90元時，日銷售利潤不低于3750元的銷售目標，該產品的成本單價應不超過多少元？21．（8分）如圖，已知為⊙的直徑，為⊙的一條弦，點是⊙外一點，且，垂足為點，交⊙于點，的延長線交⊙于點，連接．（1）求證：；（2）若，求證：是⊙的切線；（3）若，，求⊙的半徑．22．（10分）如圖，已知AB為⊙O的直徑，PA與⊙O相切于A點，點C是⊙O上的一點，且PC=PA．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若∠BAC=45°，AB=4，求PC的長．23．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在這個直角三角形內有一個內接正方形，正方形的一邊FG在BC上，另兩個頂點E、H分別在邊AB、AC上．（1）求BC邊上的高；（2）求正方形EFGH的邊長．24．（10分）平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C的坐標分別為，，點D是經過點B，C的拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）點E是（1）中拋物線對稱軸上一動點，求當△EAB的周長最小時點E的坐標；（3）平移拋物線，使拋物線的頂點始終在直線CD上移動，若平移后的拋物線與射線BD只有一個公共點，直接寫出平移后拋物線頂點的橫坐標的值或取值范圍．25．（12分）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(﹣3，0)，點C(0，3)，點D為二次函數的頂點，DE為二次函數的對稱軸，點E在x軸上．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）在拋物線A、C兩點之間有一點F，使△FAC的面積最大，求F點坐標；（3）直線DE上是否存在點P到直線AD的距離與到x軸的距離相等？若存在，請求出點P，若不存在，請說明理由．26．用配方法解一元二次方程

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】由題意首先過點A作AF⊥DB于F，過點D作DE⊥AB于E，設DF=x，然后利用勾股定理與含30°角的直角三角形的性質，表示出個線段的長，再由三角形的面積，求得x的值，繼而求得答案．【題目詳解】解：過點A作AF⊥DB于F，過點D作DE⊥AB于E．設DF=x，∵∠ADB=60°，∠AFD=90°，∴∠DAF=30°，則AD=2x，∴AF=x，又∵AB：AD=3：2，∴AB=3x，∴，∴，解得：，∴.故選：D.【題目點撥】本題考查平行四邊形的性質和三角函數以及勾股定理．解題時注意掌握輔助線的作法以及注意數形結合思想與方程思想的應用．2、D【分析】根據圓周角定理求出∠COB，進而求出∠AOC，再利用垂徑定理以及銳角三角函數關系得出OC的長，再結合扇形面積求出答案．【題目詳解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴陰影部分的面積為，

故選：D．【題目點撥】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，扇形面積公式等知識點，能求出線段OC的長和∠AOC的度數是解此題的關鍵．3、D【解題分析】把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．根據中心對稱圖形的概念求解．【題目詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項符合題意．故選：D．【題目點撥】此題主要考查中心對稱圖形與軸對稱圖形的識別,解題的關鍵是熟知其定義.4、D【分析】由點O是五邊形ABCDE和五邊形A1B1C1D1E1的位似中心，OA：OA1=1：3，可得位似比為1：3，根據相似圖形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案．【題目詳解】∵點O是五邊形ABCDE和五邊形A1B1C1D1E1的位似中心，OA：OA1＝1：3，∴五邊形ABCDE和五邊形A1B1C1D1E1的位似比為1：3，∴五邊形ABCDE和五邊形A1B1C1D1E1的面積比是1：1．故選：D．【題目點撥】此題考查了位似圖形的性質．此題比較簡單，注意相似圖形的周長的比等于相似比，相似圖形的面積比等于相似比的平方．5、D【分析】先把右邊的x移到左邊，然后再利用因式分解法解出x即可.【題目詳解】解：故選D.【題目點撥】本題是對一元二次方程的考查，熟練掌握一元二次方程的解法是解決本題的關鍵.6、D【分析】用直接開平方法解方程即可.【題目詳解】x-1=±1x1=2，x2=0故選：D【題目點撥】本題考查的是用直接開平方法解一元二次方程，關鍵是要掌握開平方的方法，解題時要注意符號.7、B【解題分析】將特殊角的三角函數值代入求解．【題目詳解】解：sin45°=．故選：B.【題目點撥】本題考查了特殊角的三角函數值，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數值．8、B【分析】根據圓周角大于對應的圓外角可得當的外接圓與軸相切時，有最大值，此時圓心F的橫坐標與C點的橫坐標相同，并且在經過AB中點且與直線AB垂直的直線上，根據FB=FC列出關于b的方程求解即可.【題目詳解】解：∵AB=，A(0,2)、B(a,a+2)∴，解得a=4或a=-4（因為a>0，舍去）∴B(4,6)，設直線AB的解析式為y=kx+2，將B(4,6)代入可得k=1，所以y=x+2，利用圓周角大于對應的圓外角得當的外接圓與軸相切時，有最大值.如下圖，G為AB中點，，設過點G且垂直于AB的直線，將代入可得，所以.設圓心，由，可知，解得（已舍去負值）.故選：B.【題目點撥】本題考查圓的綜合題，一次函數的應用和已知兩點坐標，用勾股定理求兩點距離.能結合圓的切線和圓周角定理構建圖形找到C點的位置是解決此題的關鍵.9、A【分析】根據中位數的定義把這組數據從小到大排列，求出最中間2個數的平均數；根據眾數的定義找出出現次數最多的數即可．【題目詳解】把這組數據從小到大排列，最中間2個數的平均數是(70+80)÷2=75；

則中位數是75；

70出現了13次，出現的次數最多，則眾數是70；

故選：A．【題目點撥】本題考查了眾數和中位數，中位數是將一組數據從小到大(或從大到小)重新排列后，最中間的那個數(或最中間兩個數的平均數)，叫做這組數據的中位數；眾數是一組數據中出現次數最多的數，注意眾數不止一個．10、D【解題分析】根據一元二次方程一般式的系數概念，即可得到答案．【題目詳解】一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項分別是：3，-2，-1，故選D．【題目點撥】本題主要考查一元二次方程一般式的系數概念，掌握一元二次方程一般式的系數，是解題的關鍵．11、C【分析】作出圖形，設BC=2k，AB=5k，利用勾股定理列式求出AC，再根據銳角的正弦等于對邊比斜邊，列式即可得解．【題目詳解】解：如圖，∴設BC=2k，AB=5k，∴由勾股定理得∴故選C.【題目點撥】本題考查了銳角三角函數的定義，利用“設k法”表示出三角形的三邊求解更加簡便．12、C【解題分析】試題分析：由題意可得根的判別式，即可得到關于k的不等式，解出即可.由題意得，解得故選C.考點：一元二次方程的根的判別式點評：解答本題的關鍵是熟練掌握一元二次方程，當時，方程有兩個不相等實數根；當時，方程的兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．二、填空題（每題4分，共24分）13、3n+1.【分析】根據題意和圖形，可以發現圖形中棋子的變化規律，從而可以求得第n個“T”字形需要的棋子個數．【題目詳解】解：由圖可得，

圖①中棋子的個數為：3+1=5，

圖②中棋子的個數為：5+3=8，

圖③中棋子的個數為：7+4=11，

……

則第n個“T”字形需要的棋子個數為：（1n+1）+（n+1）=3n+1，

故答案為3n+1．【題目點撥】本題考查圖形的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發現題目中棋子的變化規律，利用數形結合的思想解答．14、【分析】根據，則函數圖象在直線的上方，所以找出函數圖象在直線的上方的取值范圍即可.【題目詳解】根據二次函數的圖象可知：對稱軸為，已知一個點為，

根據拋物線的對稱性，則點關于對稱性對稱的另一個點為，

所以時，的取值范圍是．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查了二次函數的性質，主要利用了二次函數的對稱性，讀懂圖象信息，利用對稱軸求出點的對稱點是解題的關鍵．15、3cm【分析】根據三角形內角和定理求出∠BAC，根據線段垂直平分線性質求出，求出，求出∠EAC，根據含30°角的直角三角形的性質求解即可．【題目詳解】∵在△ABC中，∵垂直平分，故答案為：3cm．【題目點撥】本題考查了三角形的邊長問題，掌握三角形內角和定理、線段垂直平分線的性質、含30°角的直角三角形的性質是解題的關鍵．16、﹣2【解題分析】∵反比例函數y=-6x∴3=-6m，解得17、【題目詳解】試題分析：∵正方形ABCD是軸對稱圖形，AC是一條對稱軸∴點F關于AC的對稱點在線段AD上，設為點G，連結EG與AC交于點P，則PF+PE的最小值為EG的長∵AB=4，AF=2，∴AG=AF=2∴EG=考點：軸對稱圖形18、【分析】直接利用，找到對應邊的關系，即可得出答案．【題目詳解】解：當時，

則，

∵，點是邊的中點，

∴∵，∴則綜上所述：當BQ=時，．

故答案為：．【題目點撥】此題主要考查了相似三角形的性質，得到對應邊成比例是解答此題的關鍵．三、解答題（共78分）19、2【解題分析】試題分析：連接OA，根據垂徑定理求出AD=6，∠ADO=90°，根據勾股定理得出方程，求出方程的解即可．試題解析：連接AO，∵點C是弧AB的中點，半徑OC與AB相交于點D，∴OC⊥AB，∵AB=11，∴AD=BD=6，設⊙O的半徑為r，∵CD=1，∴在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD1=OD1+AD1，即：r1=（r﹣1）1+61，∴r=2，答：⊙O的半徑長為2．20、（1）()；（2），每件銷售單價為100元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤為2000元；（3）該產品的成本單價應不超過65元．【分析】（1）設y與x之間的函數解析式為：y＝kx＋b，根據題意列方程組即可得到結論；（2）根據題意得到合適解析式，然后根據二次函數的性質即可得到結論；（3）設產品的成本單價為b元，根據題意列不等式即可得到結論．【題目詳解】（1）設關于的函數解析式為．由圖象，得解得即關于的函數解析式是()．（2）根據題意，得，∴當時，取得最大值，此時．即每件銷售單價為100元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤為2000元．（3）設科技創新后成本為元．當時，．解得．答：該產品的成本單價應不超過65元．【題目點撥】此題主要考查了二次函數和一次函數的應用以及一元二次方程的應用，正確得出函數解析式是解題關鍵．21、（1）見解析；（2）見解析；（3）5【分析】（1）根據圓周角定理可得出，再結合，即可證明結論；（2）連接，利用三角形內角和定理以及圓周角定理可得出，，得出即可證明；（3）由已知條件得出，設，則，利用勾股定理求解即可．【題目詳解】（1）證明：∵是直徑，∴，∵，∴，∴；（2）證明：如圖，連接，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵是半徑，∴是⊙的切線；（3）解：∵∴又∵∴設∵∴在中，解得，，（舍去）∴⊙的半徑為5.【題目點撥】本題是一道關于圓的綜合題目，涉及到的知識點有平行線的判定、切線的判定、三角形內角和定理、勾股定理、圓周角定理等，掌握以上知識點是解此題的關鍵．22、（1）見解析；（2）2【分析】（1）根據切線的性質得到∠PAB=90°，根據等腰三角形的性質得到∠OAC=∠OCA，求得PC⊥CO，根據切線的判定定理即可得到結論；（2）連接BC，先根據△ACB是等腰直角三角形，得到AC和，從而推出△PAC是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質即可得到PC的值．【題目詳解】（1）連接CO，∵PA是⊙O的切線，∴∠PAB=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵PC=PA，∴∠PAC=∠PCA，∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠PAC+∠OAC=∠PAB=90°，∴PC⊥CO，∵OC是半徑∴PC是⊙O的切線；（2）連接BC，為⊙O直徑，，，，，【題目點撥】本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質．23、（1）12cm；（2）【分析】（1）由勾股定理求出BC＝25cm，再由三角形面積即可得出答案；（2）設正方形邊長為x，證出△AEH∽△ABC，得出比例式，進而得出答案．【題目詳解】解：（1）作AD⊥BC于D，交EH于O，如圖所示：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，∴BC＝＝25（cm），∵BC×AD＝AB×AC，∴AD＝＝＝12（cm）；即BC邊上的高為12cm；（2）設正方形EFGH的邊長為xcm，∵四邊形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC．∴＝，即＝，解得：x＝，即正方形EFGH的邊長為cm．【題目點撥】本題考查正方形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是利用相似三角形的相似比對于高的比，學會用方程的思想解決問題，屬于中考常考題型．24、（1）；（2）；（3）或【分析】（1）根據題意可得出點B的坐標，將點B、C的坐標分別代入二次函數解析式，求出b、c的值即可．（2）在對稱軸上取一點E，連接EC、EB、EA，要使得EAB的周長最小，即要使EB+EA的值最小，即要使EA+EC的值最小，當點C、E、A三點共線時，EA+EC最小，求出直線AC的解析式，最后求出直線AC與對稱軸的交點坐標即可．（3）求出直線CD以及射線BD的解析式，即可得出平移后頂點的坐標，寫出二次函數頂點式解析式，分類討論，如圖：①當拋物線經過點B時，將點B的坐標代入二次函數解析式，求出m的值，寫出m的范圍即可；②當拋物線與射線恰好只有一個公共點H時，將拋物線解析式與射線解析式聯立可得關于x的一元二次方程，要使平移后的拋物線與射線BD只有一個公共點，即要使一元二次方程有兩個相等的實數根，即，列式求出m的值即可．【題目詳解】（1）矩形OABC，OC=AB，A(2，0)，C(0，3)，OA=2，OC=3，B(2，3)，將點B，C的坐標分別代入二次函數解析式，，，拋物線解析式為：．（2）如圖，在對稱軸上取一點E，連接EC、EB、EA，當點C、E、A三點共線時，EA+EC最小，即EAB的周長最小，設直線解析式為：y=kx+b，將點A、C的坐標代入可得：，解得：，一次函數解析式為：．=，D(1，4)，令x=1，y==．E(1，)．（3）設直線CD解析式為：y=kx+b，C(0，3)，D(1，4)，,解得，直線CD解析式為：y=x+3，同理求出射線BD的解析式為：y=－x+5(x≤2)，設平移后的頂點坐標為(m，m+3)，則拋物線解析式為：y=－(x－m)2+m+3，①如圖，當拋物線經過點B時，－(2－m)2+m+3=3，解得m=1或4，當1<m≤4時，平移后的拋物線與射線只有一個公共點；②如圖，當拋物線與射線恰好只有一個公共點H時，將拋物線解析式與射線解析式聯立可得：－(x－m)2+m+3=－x+5，即x2－(2m+1)x+m2－m+2=0，要使平移后的拋物線與射線BD只有一個公共點，即要使一元二次方程有兩個相等的實數根，，解得．綜上所述，或時，平移后的