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拋物線-2-知識梳理雙基自測2311.拋物線的定義平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的___________

的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的

,直線l叫做拋物線的

.

距離相等

焦點

準線

-3-知識梳理雙基自測2312.拋物線的標準方程和幾何性質

-4-知識梳理雙基自測2311-5-知識梳理雙基自測2313.常用結論設AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),AC,BD分別垂直于準線,垂足分別為C,D,如圖所示,則-6-知識梳理雙基自測2312-7-知識梳理雙基自測34151.下列結論正確的打“√”,錯誤的打“×”.(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.(

)(2)若直線與拋物線只有一個公共點,則直線與拋物線一定相切.(

)(3)若一拋物線過點P(-2,3),其標準方程可寫為y2=2px(p>0).(

)(4)拋物線既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.(

)×

×

×

×

√-8-知識梳理雙基自測234152.若點A(2,1)到拋物線y2=ax的準線的距離為1,則a的值為(

)答案解析解析關閉答案解析關閉-9-知識梳理雙基自測234153.已知M是拋物線C:y2=2px(p>0)上一點,F是拋物線C的焦點,O為坐標原點,若|MF|=p,K是拋物線C的準線與x軸的交點,則∠MKO=(

)°°°°答案解析解析關閉答案解析關閉-10-知識梳理雙基自測234154.已知過拋物線y2=4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點,若x1+x2=6,則|PQ|等于(

)A.9

解析:拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1.根據題意,可得|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.B-11-知識梳理雙基自測234155.已知動圓過點(1,0),且與直線x=-1相切,則動圓的圓心的軌跡方程為

.

答案解析解析關閉設動圓的圓心坐標為(x,y),則圓心到點(1,0)的距離與到直線x=-1的距離相等,根據拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2=4x.答案解析關閉y2=4x-12-知識梳理雙基自測23415自測點評1.要熟練掌握拋物線的四種標準方程及其對應的圖象,尤其要弄清標準方程中p的幾何意義.2.焦點弦的長度可以通過拋物線的定義轉化為拋物線上的點到準線的距離問題,這樣焦點弦弦長公式就會有一個簡潔的形式,以焦點在x軸正半軸上的拋物線為例,焦點弦AB的長度d=xA+xB+p.3.拋物線中與焦點有關的最值問題一般考查拋物線上的點到焦點的距離及其到準線的距離之間的互換.-13-考點1考點2考點3例1如圖,設拋物線y2=4x的焦點為F,不經過焦點的直線上有三個不同的點A,B,C,其中點A,B在拋物線上,點C在y軸上,則△BCF與△ACF的面積之比是(

)思考如何靈活運用拋物線的定義解決距離問題?答案解析解析關閉答案解析關閉-14-考點1考點2考點3解題心得1.軌跡問題:用拋物線的定義可以確定動點與定點、定直線距離有關的軌跡是否為拋物線.2.距離問題:涉及點與拋物線焦點的距離和點到準線的距離時,注意在解題過程中兩者之間的相互轉化,即“見到焦點想準線,見到準線想焦點”.-15-考點1考點2考點3C對點訓練1(1)過點F(0,3),且和直線y+3=0相切的動圓圓心軌跡方程是(

)A.y2=12x B.y2=-12xC.x2=-12y D.x2=12yD-16-考點1考點2考點3如圖,延長PM交準線于N,連接PF,由拋物線定義得|PF|=|PN|.∵|PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|≥|AF|=5,解析:(1)過點F(0,3),且和直線y+3=0相切的動圓圓心軌跡是以點F(0,3)為焦點,直線y=-3為準線的拋物線,故其方程為x2=12y.故選D.-17-考點1考點2考點3A.y2=2x B.y2=4x C.y2=6x D.y2=8x(2)(2020江西南昌模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,P(3,m)是拋物線上一點,過點P向拋物線C的準線引垂線,垂足為D,若△PDF為等邊三角形,則p=

.

思考求拋物線標準方程的常用方法和關鍵是什么?C2-18-考點1考點2考點3-19-考點1考點2考點3-20-考點1考點2考點3解題心得1.求拋物線標準方程的常用方法是待定系數法,其關鍵是判斷焦點位置、開口方向,在方程的類型已經確定的前提下,由于標準方程只有一個參數p,只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.2.涉及拋物線幾何性質的問題常結合圖形思考,通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征,體現了數形結合思想解題的直觀性.-21-考點1考點2考點3CC-22-考點1考點2考點3∴|QQ'|=3,根據拋物線定義可知|QF|=|QQ'|=3,故選C.-23-考點1考點2考點3(2)如圖,分別過A,B作AA1⊥l于點A1,BB1⊥l于點B1,由拋物線的定義知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°,連接A1F,則△AA1F為等邊三角形,過點F作FF1⊥AA1于點F1,則F1為AA1的中點,設l交x軸于點K,-24-考點1考點2考點3例3已知點F為拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點,點A(2,m)在拋物線E上,且|AF|=3.(1)求拋物線E的方程;(2)若點G(-1,0),延長AF交拋物線E于點B,證明:以點F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.思考怎樣求解直線與拋物線的綜合問題?

-25-考點1考點2考點3-26-考點1考點2考點3-27-考點1考點2考點3-28-考點1考點2考點3解題心得1.直線與拋物線的綜合問題的求解策略(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似,一般要用到根與系數的關系、判別式等.(2)有關直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點(設焦點在x軸的正半軸上),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不過焦點,則必須用一般弦長公式.(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時,一般利用根與系數的關系采用“設而不求,整體代入”的解法.(4)拋物線y2=2px(p>0)以P(x0,y0)(y0≠0)為中點的弦所在直線的斜率為k=

.-29-考點1考點2考點32.注意事項(1)直線與拋物線只有一個公共點有兩種情況:①切線,②與對稱軸平行或重合的直線;(2)涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解;(3)焦點弦長公式要依據拋物線的方程選擇.-30-考點1考點2考點3對點訓練3(2020廣西南寧二模)已知拋物線C:x2=2y,過點A(0,1)且互相垂直的兩條動直線l1,l2與拋物線C分別交于P,Q和M,N.(1)求四邊形MPNQ面積的取值范圍;(2)記線段PQ和MN的中點分別為E,F,求證:直線EF恒過定點.-31-考點1考點2考點3(1)解:由題意可知兩條直線l1,l2的斜率一定存在,且不等于0.-32-考點1考點2考點3因此當且僅當t=2,即k=±1時,S取得最小值12,且當t→+∞時,S→+∞.故四邊形MPNQ面積的取值范圍是[12,+∞).-33-考點1考點2考點3(2)證明:由(1)有x1+x2=2k,y1+y2=2k2+2,故PQ中點E的坐標為(k,k2+1),-34-考點1考點2考點31.認真區分四種形式的標準方程:(1)區分y=ax2(a≠0)與y2=2px(p>0),前者不是拋物線的標準方程.(2)求標準方程要