第一章 矩陣理論(管理數學基礎)_第1頁
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文檔簡介

第一節線性變換及其矩陣表示一、線性空間與線性變換1、線性空間及其基組空間：賦予了某種數學結構的非空集合，記為X。其中的“數學結構”可為定義了元素間的運算、距離。集合X＝{x|x滿足的條件}。封閉：X中任元素經某運算后的結果仍屬于X，則稱X對該運算封閉。（如：實數集R，任x1、x2∈R，x1+x2∈R，稱R對加法封閉。實際上R對乘法也封閉。）1

線性空間：即賦予了線性運算的非空集合。具體定義為：設X是一個非空集合，K是數域（K為實數域R或復數域C），若定義X中二元素之間的加法運算以及數域K中的數與X中元素之間的數乘運算，并滿足下列條件：加法運算“+”滿足：對任意x、y∈X，x+y∈X，且(1)交換律：x+y=y+x；(2)結合律：對任意z∈X，(x+y)+z=x+(y+z)；(3)有零元：存在0∈X，使得對一切x∈X，有x+0=x（0稱X的零元素）；(4)有負元：對任意x∈X，存在y∈X，使x+y=0（y稱為x的負元素）。2數乘運算“”滿足：對任意α∈K，x∈X，αx∈X，且(1)對任意的β∈K，α(βx)=(αβ)x；(2)1x=x；(3)對任意的y∈X，α(x+y)=αx+αy；(4)對任意的β∈K，(α+β)x＝αx+βx。則稱X為數域K上的線性空間。當K是實數域R時，X稱實線性空間；當K是復數域C時，X稱復線性空間。X上的加法運算和數乘運算統稱為線性運算。34567891011二、方陣的特征值與特征向量121314151617三、相似矩陣及其性質1819201.2方陣在相似變換下的標準形1.2.1方陣的行列式因子、不變因子、初等因子1.2.2方陣相似的條件1.2.3方陣在相似變換下的若當標準形1.2.4方陣在相似變換下的有理標準形211.2.1方陣行列式因子、不變因子、初等因子1.行列式因子定義1.7?E-A中所有非零k級子行列式的首項(即最高次項)系數為1的最大公因式稱為?E-A的k級行列式因子，記為22解：考慮其3級子式

考慮其所有的3級子式(只有一個)：1.7求A的各級行列式因子

23所以考慮其所有的2級子式，因為有一個2級子式所以考慮其所有的1級子式，因為?E-A中的有元素-1,所以242.不變因子定理1.4?E-A總可以經初等變換化為25可以證明，?E-A在初等變換下秩與行列式因子不變，由此得出不變因子與行列式因子間的關系：

26計算方法273.初等因子28計算方法29301.2.2方陣相似的條件定理1.6方陣A與B相似的充要條件是：A與B有全同的不變因子。而且還可以得出以下推論：方陣A與E相似的充要條件是A與B有全同的初等因子31321.2.3方陣在相似變換下的若當標準形定理1.7設n階方陣A的全部初等因子為：

由此稱J在相似變換下的若當標準形，或稱若當法式。J中的對角塊稱為相應于的一個階若當塊。333435361.2.4方陣在相似變換下的有理標準形定義給定多項式f(?)=由f(?)構成的n階方陣稱為f(?)的伴侶方陣

373839401.3方陣特征值的估

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