上海華東師范大學附屬東昌中學2021-2022學年高三數學文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，為兩條直線，，為兩個平面，給定下列四個命題：①，；②，；③，；④，．其中不正確的是（

）．A．個 B．個 C．個 D．個參考答案：D①，，則或，故①錯誤；②，，則或，故②錯誤；③，，則或，故③錯誤；④，，則或，故④錯誤．綜上，不正確的有個．故選．2.函數的定義域為，，對任意，，則的解集為(

) A.（，1） B.（，+） C.（，） D.（，+）參考答案：B3.已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，則下列結論中錯誤的是（）A．?a＞0，?x＞0，f（x）≥0 B．?a＞0，?x＞0，f（x）≤0C．?a＞0，?x＞0，f（x）≥0 D．?a＞0，?x＞0，f（x）≤0參考答案：C【考點】全稱命題．【專題】導數的綜合應用；簡易邏輯．【分析】先利用導數求出函數f（x）的最小值，再轉化為函數f（x）≥0恒成立，構造函數設g（a）=e2a﹣1+a，再利用導數求出a的值，問題的得以解決【解答】解：∵f（x）=x2（1nx﹣a）+a，x＞0，∴f′（x）=x（21nx﹣2a+1），令f′（x）=0，解得x=，當x∈（0，）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，當x∈（，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，當x=，函數有最小值，最小值為f（）=e2a﹣1+a∴f（x）≥f（）=e2a﹣1+a，若f（x）≥0恒成立，只要e2a﹣1+a≥0，設g（a）=e2a﹣1+a，∴g′（a）=1﹣e2a﹣1，令g′（a）=0，解得a=當a∈（，+∞）時，g′（a）＜0，g（a）單調遞減，當x∈（0，）時，g′（a）＞0，g（a）單調遞增∴g（a）＜g（）=0，∴e2a﹣1+a≤0，當且僅當a=時取等號，存在唯一的實數a=，使得對任意x∈（0，+∞），f（x）≥0，故A，B，D正確，當a≠時，f（x）＜0，故C錯誤故選：C【點評】本題考查了利用導數函數恒成立的問題，關鍵構造函數g（a），屬于中檔題4.某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本．若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為

（

）

A．7

B．15

C．25

D．35參考答案：B略5.已知數列{an}是等比數列，若，，則（

）A. B. C. D.參考答案：B數列是等比數列，且，所以由通項公式可得，解得所以代入可得所以選B

6.如圖，等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則三棱錐P—DCE的外接球的體積為A．

B．

C．

D．參考答案：C易知：三棱錐P—DCE為正三棱錐，棱長為1，把此正三棱錐放到正方體內，正方體的棱長為，正方體的外接球就是正三棱錐的外接球，又正方體的對角線就是外接球的直徑，所以三棱錐P—DCE的外接球的半徑為，所以外接球的體積為。7.設函數，則f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），則（）A．y=f（x）在（0，）單調遞增，其圖象關于直線x=對稱B．y=f（x）在（0，）單調遞增，其圖象關于直線x=對稱C．y=f（x）在（0，）單調遞減，其圖象關于直線x=對稱D．y=f（x）在（0，）單調遞減，其圖象關于直線x=對稱參考答案：D【分析】利用輔助角公式（兩角和的正弦函數）化簡函數f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出對稱軸方程，判斷y=f（x）在（0，）單調性，即可得到答案．【解答】解：因為f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x．由于y=cos2x的對稱軸為x=kπ（k∈Z），所以y=cos2x的對稱軸方程是：x=（k∈Z），所以A，C錯誤；y=cos2x的單調遞減區間為2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即（k∈Z），函數y=f（x）在（0，）單調遞減，所以B錯誤，D正確．故選D．8.已知命題命題,則下列命題中為真命題的是:（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B9.設向量，，定義一種運算“”。向量.已知，，點的圖象上運動，點Q在的圖象上運動且滿足（其中O為坐標原點），則的最小值為（

）A.

B.

C.2

D.參考答案：B.試題分析：由題意知，點P的坐標為，則，又因為點Q在的圖象上運動，所以點Q的坐標滿足的解析式，即.所以函數的最小值為-2.故應選B.考點：平面向量的坐標運算.10.設α為△ABC的內角，且tanα=﹣，則cos2α的值為（）A． B．﹣ C．﹣ D．參考答案：A【考點】二倍角的余弦．【分析】利用同角三角函數的基本關系，二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．【解答】解：∵α為△ABC的內角，且tanα=﹣，則cos2α====，故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知正四棱柱的底面邊長為3cm，側面的對角線長是，則這個正四棱柱的體積是_________cm3.參考答案：54Aa設正四棱柱的高為h得到故得到正四棱柱的體積為故答案為：54.

12.已知點M的坐標是（1，1），F1是橢圓=1的左焦點，P是橢圓上的動點，則|PF1|+|PM|的取值范圍是

．參考答案：[6﹣，6+]【考點】橢圓的簡單性質．【專題】數形結合；數形結合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=6﹣|PF2|，所以，|PF1|+|PM=6﹣|PF2|+|PM|=6+（|PM|﹣|PF2|），由此結合圖象能求出|PF1|+|PM|的最小值和最大值，即可得到所求范圍．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6那么|PF1|=6﹣|PF2|，則|PF1|+|PM|=6﹣|PF2|+|PM|=6+（|PM|﹣|PF2|）根據三角形三邊關系可知，當點P位于P1時，|PM|﹣|PF2|的差最小，此時F2與M點連線交橢圓于P1，易得﹣|MF2|=﹣，此時，|PF1|+|PM|也得到最小值，其值為6﹣．當點P位于P2時，|PM|﹣|PF2|的差最大，此時F2與M點連線交橢圓于P2，易得|MF2|=，此時|PF1|+|PM|也得到最大值，其值為6+．則所求范圍是[6﹣，6+]．故答案為：[6﹣，6+]．【點評】本題考查橢圓的定義、性質和應用，解題時要注意數形結合法的合理運用．13.已知雙曲線：（）的其中一條漸近線經過點(1,1)，則該雙曲線的右頂點的坐標為

，漸近線方程為

．參考答案：的漸近線方程過點，，，右頂點為，漸近線方程為，即，故答案為，.

14.擲均勻硬幣5次，則總共擲出3次正面且在整個投擲過程中擲出反面的次數總是小于正面次數的概率是

．參考答案：略15.已知等差數列中，,將此等差數列的各項排成如下三角形數陣:

則此數陣中第20行從左到右的第10個數是_________參考答案：598由，解得公差，所以通項公式為。則前19行的共有項，所以第20行第10個數為等差數列中的第項，所以。16.如圖,在中,,是邊上一點,,則的長為_______.參考答案：略17.設數列滿足，，則．參考答案：81三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：(a>b>0)的離心率為，連接橢圓四個頂點形成的四邊形面積為4。（I）求橢圓C的標準方程；（II)過點A(1，0)的直線與橢圓C交于點M,N,設P為橢圓上一點，且O為坐標原點，當時，求t的取值范圍。參考答案：解：（Ⅰ），，即．又，．∴橢圓C的標準方程為． …………（4分）（Ⅱ）由題意知，當直線MN斜率存在時，設直線方程為，，聯立方程消去y得，因為直線與橢圓交于兩點，所以恒成立，，又，因為點P在橢圓上，所以，即， ………………（8分）又，即，整理得：，化簡得：，解得或（舍），，即．當直線MN的斜率不存在時，，此時，． ……………………（12分）19.（本小題滿分14分）

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于

，它的一個頂點恰好在拋物線的準線上．

(I)求橢圓C的標準方程5(Ⅱ)點在橢圓上，A、B是橢圓上位于直線PQ兩側的動點．(1)若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；(2)當A、B運動時，滿足，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．參考答案：20.已知函數f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥2；（2）若存在實數x，使得成立，試求a的取值范圍．參考答案：【考點】函數恒成立問題；絕對值不等式的解法．【分析】（1）若a=﹣1，則f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|，運用函數的零點分區間，討論當x≥3時，當﹣1≤x＜3時，當x＜﹣1時，化簡不等式求解，最后求并集即可；（2）由題意知這是一個存在性的問題，須求出不等式左邊的最大值，可運用絕對值不等式的性質可得最大值，再令其大于等于，即可解出實數a的取值范圍．【解答】解：（1）若a=﹣1，則f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|，若x≥3，由f（x）≥2，得（x+1）﹣（x﹣3）≥2不等式顯然成立，若﹣1≤x＜3，由f（x）≥2，得（x+1）+（x﹣3）≥2，解得x≥2．又﹣1≤x＜3，∴2≤x＜3．若x＜﹣1，由f（x）≥2，得﹣（x+1）+（x﹣3）≥2不等式不成立．∴不等式f（x）≥2的解集為{x|x≥2}．綜上所述，不等式f（x）≥2的解集為{x|x≥2}；（2）不等式即|x﹣a|﹣|x﹣3|．|x﹣a|﹣|x﹣3|≥﹣|（x﹣a）﹣（x﹣3）|=﹣|a﹣3|，若a＞3，等號成立當且僅當x≥3，若a=3，等號成立當且僅當x∈R，若a＜3，等號成立當且僅當x≤3．∴﹣|a﹣3|，即|a﹣3|，若a≥3，則（a﹣3），解得a≥6．若a＜3，則﹣（a﹣3），解得a≤2．∴a的取值范圍是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．綜上所述，a的取值范圍是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．21.已知函數，,(1)當時求方程的解；(2)若方程有兩個不同的解,求的值；(3)若當時,不等式恒成立,求實數的取值范圍.參考答案：(1)當時,方程可化為,即

……2分由得,由得,所以方程的解為.

……4分(2)原方程有兩個不同的解,即有兩個不同的解,

……5分因為時是方程的解,所以只能有一個不是1的解,所以,時,由得,所以成立,

……7分時,由得,若(舍去)若,此時,所以滿足題意的實數a的值為0或2.

……9分(3)原不等式在R上恒成立,即不等式在R上恒成立,

①當時,有恒成立,此時,所以

……11分②當時,有恒成立,此時,所以

……13分綜合①②得.

……14分22.設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，在軸負半軸上有一點，滿足，且.（1）求橢圓的離心率；（2）若過三點的圓與直線相切，求橢圓的方程；（3）在（2）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，線段的中垂線與軸相交于，求實數的取值范圍.參考答案：(1)連接，因為