/普通高中課程標準實驗教科書—數學[人教版]高三新數學第一輪復習教案（講座4）—根本初等函數一．課標要求1．指數函數（1）通過具體實例（如細胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內殘留量的變化等），了解指數函數模型的實際背景；（2）理解有理指數冪的含義，通過具體實例了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算。（3）理解指數函數的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性與特殊點；（4）在解決簡單實際問題的過程中，體會指數函數是一類重要的函數模型。2．對數函數（1）理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數；通過閱讀材料，了解對數的發現歷史以及對簡化運算的作用；（2）通過具體實例，直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數的概念，體會對數函數是一類重要的函數模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與特殊點；3．知道指數函數與對數函數互為反函數（a＞0，a≠1）。二．命題走向指數函數、對數函數、冪函數是三類常見的重要函數，在歷年的高考題中都占據著重要的地位。從近幾年的高考形勢來看，對指數函數、對數函數、冪函數的考察，大多以根本函數的性質為依托，結合運算推理，能運用它們的性質解決具體問題。為此，我們要熟練掌握指數、對數運算法那么，明確算理，能對常見的指數型函數、對數型函數進展變形處理。預測對本節的考察是：1．題型有兩個選擇題和一個解答題；2．題目形式多以指數函數、對數函數、冪函數為載體的復合函數來考察函數的性質。同時它們與其它知識點交匯命題，那么難度會加大。三．要點精講1．指數與對數運算（1）根式的概念：①定義：假設一個數的次方等于，那么這個數稱的次方根。即假設，那么稱的次方根，1）當為奇數時，次方根記作；2）當為偶數時，負數沒有次方根，而正數有兩個次方根且互為相反數，記作。②性質：1）；2）當為奇數時，；3）當為偶數時，。（2）．冪的有關概念①規定：1）N*；2）；n個3）Q，4）、N*且。②性質：1）、Q）；2）、Q）；3）Q）。（注）上述性質對r、R均適用。（3）．對數的概念①定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數稱以為底N的對數，記作其中稱對數的底，N稱真數。1）以10為底的對數稱常用對數，記作；2）以無理數為底的對數稱自然對數，，記作；②根本性質：1）真數N為正數（負數和零無對數）；2）；3）；4）對數恒等式：。③運算性質：如果那么1）；2）；3）R）。④換底公式：1）；2）。2．指數函數與對數函數（1）指數函數：①定義：函數稱指數函數，1）函數的定義域為R；2）函數的值域為；3）當時函數為減函數，當時函數為增函數。②函數圖像：1）指數函數的圖象都經過點（0，1），且圖象都在第一、二象限；2）指數函數都以軸為漸近線（當時，圖象向左無限接近軸，當時，圖象向右無限接近軸）；3）對于相同的，函數的圖象關于軸對稱。①，②①，②，③①，②，③，（2）對數函數：①定義：函數稱對數函數，1）函數的定義域為；2）函數的值域為R；3）當時函數為減函數，當時函數為增函數；4）對數函數與指數函數互為反函數。②函數圖像：1）對數函數的圖象都經過點（0，1），且圖象都在第一、四象限；2）對數函數都以軸為漸近線（當時，圖象向上無限接近軸；當時，圖象向下無限接近軸）；4）對于相同的，函數的圖象關于軸對稱。③函數值的變化特征：①①，②，③.①，②，③.四．典例解析題型1：指數運算例1．（1）計算：；（2）化簡：。解：（1）原式=；（2）原式=。點評：根式的化簡求值問題就是將根式化成分數指數冪的形式，然后利用分數指數冪的運算性質求解，對化簡求值的結果，一般用分數指數冪的形式保存；一般的進展指數冪運算時，化負指數為正指數，化根式為分數指數冪，化小數為分數運算，同時兼顧運算的順序。例2．已知，求的值。解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴。點評：此題直接代入條件求解繁瑣，故應先化簡變形，創造條件簡化運算。題型2：對數運算例3．計算（1）；（2）；（3）。解：（1）原式；（2）原式；（3）分子=；分母=；原式=。點評：這是一組很根本的對數運算的練習題，雖然在考試中這些運算要求并不高，但是數式運算是學習數學的根本功，通過這樣的運算練習熟練掌握運算公式、法那么，以及學習數式變換的各種技巧。例4．設、、為正數，且滿足（1）求證：；（2）假設，，求、、的值。證明：（1）左邊；解：（2）由得，∴……………①由得………②由①②得……③由①得，代入得，∵，∴………………④由③、④解得，，從而。點評：對于含對數因式的證明和求值問題，還是以對數運算法那么為主，將代數式化簡到最見形式再來處理即可。題型3：指數、對數方程例5．設關于的方程R），（1）假設方程有實數解，求實數b的取值范圍；（2）當方程有實數解時，討論方程實根的個數，并求出方程的解。解：（1）原方程為，，時方程有實數解；（2）①當時，，∴方程有唯一解；②當時，.的解為；令的解為；綜合①、②，得1）當時原方程有兩解：；2）當時，原方程有唯一解；3）當時，原方程無解。點評：具有一些綜合性的指數、對數問題，問題的解答涉及指數、對數函數，二次函數、參數討論、方程討論等各種根本能力，這也是指數、對數問題的特點，題型非常廣泛，應通過解題學習不斷積累經歷。例6．（遼寧文13）方程的解為。解：考察對數運算。原方程變形為，即，得。且有。從而結果為。點評：上面兩例是關于含指數式、對數式等式的形式，解題思路是轉化為不含指數、對數因式的普通等式或方程的形式，再來求解。題型4：指數函數的概念與性質例7．設（）A．0B．1C．2D解：C；，。點評：利用指數函數、對數函數的概念，求解函數的值。例8．已知試求函數f(x)的單調區間。解：令，那么x=，t∈R。所以即，（x∈R）。因為f(－x)=f(x)，所以f(x)為偶函數，故只需討論f(x)在[0，+∞）上的單調性。任取，，且使，那么（1）當a>1時，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上單調遞增。（2）當0<a<1時，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上單調遞增。綜合所述，[0，+∞]是f(x)的單調增區間，（－∞，0）是f(x)的單調區間。點評：求解含指數式的函數的定義域、值域，甚至是證明函數的性質都需要借助指數函數的性質來處理。特別是分兩種情況來處理。題型5：指數函數的圖像與應用例9．假設函數的圖象與x軸有公共點，那么m的取值范圍是（）A．m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．0<m≤解：，畫圖象可知－1≤m<0。答案為B。點評：此題考察了復雜形式的指數函數的圖像特征，解題的出發點仍然是兩種情況下函數的圖像特征。例10．設函數的取值范圍。解：由于是增函數，等價于①1)當時，，①式恒成立；2)當時，，①式化為，即；3)當時，，①式無解；綜上的取值范圍是。點評：處理含有指數式的不等式問題，借助指數函數的性質將含有指數式的不等式轉化為普通不等式問題（一元一次、一元二次不等式）來處理。題型6：對數函數的概念與性質例11．（1）函數的定義域是（）A．B．C．D．（2）（湖北）設f(x)＝，那么的定義域為（）A．B．(－4,－1)(1，4)C．(－2,－1)(1，2)D．(－4,－2)(2，4)解：（1）D（2）B。點評：求函數定義域就是使得解析是有意義的自變量的取值范圍，在對數函數中只有真數大于零時才有意義。對于抽象函數的處理要注意對應法那么的對應關系。例12．對于，（1）函數的“定義域為R”和“值域為R”是否是一回事；（2）結合“實數a的取何值時在上有意義”與“實數a的取何值時函數的定義域為”說明求“有意義”問題與求“定義域”問題的區別；（3）結合（1）（2）兩問，說明實數a的取何值時的值域為（4）實數a的取何值時在內是增函數。解：記，那么；（1）不一樣；定義域為R恒成立。得：，解得實數a的取值范圍為。值域為R：值域為R至少取遍所有的正實數，那么，解得實數a的取值范圍為。（2）實數a的取何值時在上有意義：命題等價于對于任意恒成立，那么或，解得實數a得取值范圍為。實數a的取何值時函數的定義域為：由已知得二次不等式的解集為可得，那么a=2。故a的取值范圍為{2}。區別：“有意義問題”正好轉化成“恒成立問題”來處理，而“定義域問題”剛好轉化成“取遍所有問題”來解決（這里轉化成了解集問題，即取遍解集內所有的數值）（3）易知得值域是，又得值域是，得，故a得取值范圍為{－1，1}。（4）命題等價于在上為減函數，且對任意的恒成立，那么，解得a得取值范圍為。點評：該題主要考察復合對數函數的定義域、值域以及單調性問題。解題過程中遇到了恒成立問題，“恒為正”與“取遍所有大于零的數”不等價，同時又考察了一元二次函數函數值的分布情況，解題過程中結合三個“二次”的重要結論來進展處理。題型7：對數函數的圖像及應用例13．當a>1時，函數y=logax和y=(1－a)x的圖象只可能是()解：當a>1時，函數y=logax的圖象只能在A和C中選，又a>1時，y=(1－a)x為減函數。答案：B點評：要正確識別函數圖像，一是熟悉各種根本函數的圖像，二是把握圖像的性質，根據圖像的性質去判斷，如過定點、定義域、值域、單調性、奇偶性。例14．設A、B是函數y=log2x圖象上兩點,其橫坐標分別為a和a+4,直線l:x=a+2與函數y=log2x圖象交于點C,與直線AB交于點D。（1）求點D的坐標；（2）當△ABC的面積大于1時,求實數a的取值范圍。解：（1）易知D為線段AB的中點,因A(a,log2a),B(a+4,log2(a+4))，所以由中點公式得D(a+2,log2)。（2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B-S梯形AA′B′B=…=log2,其中A′,B′,C′為A,B,C在x軸上的射影。由S△ABC=log2>1,得0<a<2－2。點評：解題過程中用到了對數函數性質，注意底數分類來處理，根據函數的性質來處理復雜問題。題型8：指數函數、對數函數綜合問題例15．在xOy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…，對每個自然數n點Pn位于函數y=2000()x(0<a<1)的圖象上，且點Pn,點(n,0)與點(n+1,0)構成一個以Pn為頂點的等腰三角形。(1)求點Pn的縱坐標bn的表達式；(2)假設對于每個自然數n，以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形，求a的取值范圍；(3)設Cn=lg(bn)(n∈N*),假設a取(2)中確定的范圍內的最小整數，問數列{Cn}前多少項的和最大？試說明理由。解：(1)由題意知：an=n+,∴bn=2000()。(2)∵函數y=2000()x(0<a<10)遞減，∴對每個自然數n,有bn>bn+1>bn+2。那么以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn，即()2+()－1>0，解得a<－5(1+)或a>5(－1)。∴5(－1)<a<10。(3)∵5(－1)<a<10，∴a=7∴bn=2000()。數列{bn}是一個遞減的正數數列，對每個自然數n≥2,Bn=bnBn－1。于是當bn≥1時，Bn<Bn－1，當bn<1時，Bn≤Bn－1，因此數列{Bn}的最大項的項數n滿足不等式bn≥1且bn+1<1，由bn=2000()≥1得：n≤20。∴n=20。點評：此題題設從函數圖像入手，表達數形結合的優越性，最終還是根據函數性質結合數列知識，以及三角形的面積解決了實際問題。例16．已知函數為常數）（1）求函數f(x)的定義域；（2）假設a=2，試根據單調性定義確定函數f(x)的單調性。（3）假設函數y=f(x)是增函數，求a的取值范圍。解：（1）由∵a＞0，x≥0∴f(x)的定義域是。（2）假設a=2，那么設，那么故f(x)為增函數。（3）設①∵f(x)是增函數，∴f(x1)＞f(x2)即②聯立①、②知a＞1，∴a∈(1，+∞)。點評：該題屬于純粹的研究復合對函數性質的問題，我們抓住對數函數的特點，結合一般函數求定義域、單調性的解題思路，對“路”處理即可。題型9：課標創新題例17．對于在區間上有意義的兩個函數f(x)與g(x)，如果對任意的，均有，那么稱f(x)與g(x)在上是接近的，否那么稱f(x)與g(x)在上是非接近的，現有兩個函數與，給定區間。（1）假設與在給定區間上都有意義，求a的取值范圍；（2）討論與在給定區間上是否是接近的。解：（1）兩個函數與在給定區間有意義，因為函數給定區間上單調遞增，函數在給定區間上恒為正數，故有意義當且僅當；（2）構造函數，對于函數來講，顯然其在上單調遞減，在上單調遞增。且在其定義域內一定是減函數。由于，得所以原函數在區間內單調遞減，只需保證當時，與在區間上是接近的；當時，與在區間上是非接近的。點評：該題屬于信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對含有對數式的函數的是否“接近”進展研究，轉化成含有對數因式的不等式問題，解不