什么是“等冪和問題〞如今請(qǐng)看兩組自然數(shù)，每組各有三個(gè)數(shù)，每個(gè)都是六位數(shù)字。把這兩組數(shù)分別相加，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的和是完全相等的，即：123789+561945+642864=242868+323787+761943這當(dāng)然并不稀罕。可是，要知道它們各自的平方之和也是完全相等的，那就是說：1237892+5619452+6428642=2428682+3237872+7619432還有更奇妙的呢！我們把每個(gè)數(shù)的最左邊一個(gè)數(shù)字依次抹掉，發(fā)現(xiàn)竟然不能改變數(shù)組的性質(zhì)，即有：23789k+61945k+42864k=42868k+23787k+61943k3789k+1945k+2864k=2868k+3787k+1943k9k+5k+4k=8k+7k+3k〔k=1，2〕這就像“金蟬脫殼〞一樣，脫掉最后一層，金蟬卻還是貨真價(jià)實(shí)的金蟬，其個(gè)性可謂至死不變！如今我們反其道而行之，把原來兩組數(shù)的數(shù)字逐個(gè)從右邊抹掉，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過如此的變動(dòng)之后，這種“金蟬脫殼〞性質(zhì)居然還能保持下來，即有：12378k+56194k+64286k=24286k+32378k+76194k1237k+5619k+6428k=2428k+3237k+7619k1k+5k+6k=2k+3k+7k〔k=1，2〕你說奇不奇，妙不妙？！其實(shí)，上面所說的就是數(shù)論中著名的“等冪和問題〞，由于等冪和數(shù)組往往具有“金蟬脫殼，至死不變〞的性質(zhì)，極具欣賞價(jià)值，所以一直吸引著人們?nèi)ヌ綄じ嗟牡葍绾蛿?shù)組，那么，等冪和數(shù)組是怎樣構(gòu)造出來的呢？我們還是從最簡(jiǎn)單的情形談起。為了表達(dá)方便，我們把上述等冪和數(shù)組記為：<123789,561945,642864/242868,323787,761943>〔*〕以下類同。上述形式的一位數(shù)等冪和數(shù)組有：<1,5,6/2,3,7><2,6,4/4,2,6><3,1,2/2,3,1〉<7,9,8/8,7,9><8,4,6/6,8,4><9,5,4/8,7,3>我們注意到等冪和數(shù)組〔＊〕中一樣數(shù)位上的數(shù)字就是上述數(shù)組中的數(shù)。因此,假如能找到某種規(guī)律,我們就能從的等冪和數(shù)級(jí)出發(fā),構(gòu)造出新的等冪和數(shù)組。為此,我們把構(gòu)成數(shù)組〔＊〕的一位數(shù)數(shù)組列舉出來,并把其中的數(shù)從小到大排列,然后把對(duì)應(yīng)的烽邊接起來,看看有無什么現(xiàn)象。不難看出,等冪和數(shù)組〔＊〕是上述六個(gè)等冪和數(shù)組的“對(duì)稱組合〞——仔細(xì)看看,左邊與右邊的箭頭是不是相對(duì)稱？一個(gè)很自然的問題是：把的假設(shè)干等冪和數(shù)組中和數(shù)從小到大排列之后，進(jìn)展對(duì)稱組合，能不能形成新的等冪和數(shù)組呢？經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)結(jié)論是肯定的。大家可以試著組合一下。在此，我再向大家推薦另外一等冪和數(shù)組：<193333,648787,854842/276466,482521,937975>這組數(shù)經(jīng)過上述方法對(duì)稱組合后，能構(gòu)造出如下一些等冪和數(shù)組：<158832,644743,893383/237925,486561,972476><257,342,796/134,588,673><3811,7666,8158/4932,5424,9279><25627,46873,94162/18946,63235,87481>需要指出的是,參與構(gòu)造新等冪和數(shù)組的數(shù)組也可以是恒等冪和數(shù)組,不過其中三個(gè)數(shù)應(yīng)能構(gòu)成等差數(shù)列。例如<3,5,7/3,5,7>就能參與構(gòu)造。綜上所述,我們找到了一種構(gòu)造等冪和數(shù)組的方法,從而也就不難理解等冪和數(shù)組為什么往往具有“金蟬脫殼〞的性質(zhì)了。數(shù)論具有通俗性與最富有挑戰(zhàn)性這兩大特點(diǎn),就是說,有些題目雖然說起來是人人都能聽懂,容易理解,可是它的證明過程卻是極其困難和復(fù)雜。正是這兩個(gè)特點(diǎn),以其獨(dú)特