江西省東鄉一中都昌一中豐城中學贛州中學新八校景德鎮二中上饒中學上栗中學新建二中2023屆高三第二次聯考文科數學試題考試時間：120分鐘分值：150分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.記集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求出，從而求出交集.【詳解】集合或，，所以.故選：A.2.已知復數，則的共軛復數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數乘法計算法則計算即可.【詳解】，所以的共軛復數為故選：C3.已知向量，，，則的值為（）A.3 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，由平面向量垂直的坐標運算即可得到結果.【詳解】因為向量，，且，則，解得.故選:C4.執行如圖所示的程序框圖，則輸出的n為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根據循環的功能，一一循環驗證，直至，終止循環，輸出結果.【詳解】解：因為，，第一次執行循環體，得，；第二次執行循環體，得，；第三次執行循環體，得，；第四次執行循環體，得，，則輸出．故選：B．5.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三視圖可知，該幾何體是一個長方體挖去一個圓柱的組合體，分別計算長方體與圓柱的體積，利用長方體的體積減去圓柱的體積即可.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是在一個長方體中挖去一個圓柱而形成的，長方體的底面積為，高為，則長方體的體積為，圓柱的底面積為，高為，故圓柱的體積為，所以該幾何體的體積為.故選：A6.甲乙兩位游客慕名來到贛州旅游，準備分別從大余丫山、崇義齊云山、全南天龍山、龍南九連山和安遠三百山5個景點中隨機選擇其中一個，記事件A：甲和乙選擇景點不同，事件B：甲和乙恰好一人選擇崇義齊云山，則條件概率（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用古典概率公式求出和的概率，再利用條件概率公式即可求出結果.【詳解】由題知，，，所以，故選：B.7.已知遞增的等差數列的首項為1，前項和為，且，，成等比數列.令，則數列的前50項和（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件求得通項公式，得到通項公式，再利用裂項相消法求解即可.【詳解】設遞增等差數列的公差為d（），則，，，又因為，，成等比數列，所以，即：，解得：或（舍），所以，所以，則.故選：D.8.已知是函數的最大值，若存在實數使得對任意實數總有成立，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡得到，得到，且的最小正周期為，根據題意求得的最小值為，進而求得的最小值.【詳解】因為，所以，且函數的最小正周期為，因為存在實數使得對任意實數總有成立，所以的最小值為，所以的最小值為.故選：A.9.函數圖像上存在不同的三點到原點的距離構成等差數列，則以下不可能成為公差的數是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意，利用圓上一點到原點的距離的取值計算出公差的范圍，進而判斷即可求解.【詳解】函數等價為，表示為圓心在半徑為1的上半圓，半圓上點到原點的最短距離為1，最大距離為3，若存在不同的三點到原點的距離構成等差數列，則最大的公差應有，即，最小的公差應滿足，即，所以公差的取值范圍為，所以不可能成為該等差數列的公差．故選：D.10.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用不等式的基本性質可得出、的大小關系，利用函數在上的單調性可得出、的大小關系，綜合可得出、、的大小關系.【詳解】因為，，則，所以，，構造函數，其中，則，所以，函數在上為增函數，所以，，即，所以，，故.故選：A.11.古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明．經過了500年，到了3世紀，希臘數學家帕普斯在他的著作《數學匯篇》中完善了歐幾里得關于圓錐曲線的統一定義，并對這一定義進行了證明．他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線：當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線．現有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將原方程兩邊開平方，結合兩點的距離公式和點到直線的距離公式，以及圓錐曲線的統一定義，可得的不等式，可得所求范圍．【詳解】方程，即，顯然，則，即，可得動點到定點和定直線的距離的比為常數，由雙曲線的定義，可得，解得，即的取值范圍為.故選：B．12.設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據互為反函數的對稱性，把所求的點點距離轉化為點線距離，構造函數求最小值即可.【詳解】令，則，這兩個函數互為反函數，圖象關于對稱.所以與的圖象可以看成是由，這兩個函數圖象向右平移一個單位得到的.所以的最小值即為曲線與上兩點的最小值.曲線上的點到直線的距離為

設，則.由可得，由可得所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以當時，函數，所以由圖象關于對稱得：的最小值為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知x，y滿足約束條件，則的最大值為__________．【答案】2【解析】【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數的幾何意義即可求解．【詳解】作出可行域如圖所示：由解得：.把轉化為直線l:.平移直線l，經過點A時，縱截距最小，此時最大.故最大值為2.故答案為：214.已知函數，則不等式的解集是______.【答案】【解析】【分析】由定義可判斷函數的奇偶性，求導可得其單調性，從而可求解不等式.【詳解】因為函數，所以，即函數為奇函數，且，則函數為增函數，則不等式等價于，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：15.在棱長為2正方體中，點為中點，點在正方形內運動（含邊界），在點運動過程中，點到平面的最小距離是______.【答案】【解析】【分析】運用等體積法可得，求h的最小值，即需求的最大值，進而需求出邊上的高QN的最大值，運用面面垂直的性質、線面垂直的判定、性質證得，可求得在上的最大值，進而求得結果.【詳解】如圖所示，由題意知，面ABCD面，面ABCD，所以Q到面的距離等于A到面的距離，所以，所以，設點P到平面的距離為h，則，所以，過點Q作交AD于點M，又因為面ABCD面，面ABCD面，面ABCD，所以面，又因為面，所以，過點M作交于點N，連接，則，又因為，、面，所以面，又因為面，所以，設（），則，（），所以，（），所以當時取得最大值為，此時取得最小值為.故答案為：.16.已知是拋物線上兩點，且，為焦點，則最大值為______.【答案】【解析】【分析】根據拋物線的幾何意義，再利用余弦定理與基本不等式求余弦的最小值再判斷即可.【詳解】拋物線的焦點，由題得，，即，故，即，因為，且余弦函數在內單調遞減，故，當且僅當時成立.故答案為：.【點睛】本題主要考查了拋物線的焦半徑公式與余弦定理的綜合運用等，需要根據題意列出對于的余弦定理，再利用基本不等式分析最值,屬于中等題型.三、解答題：共70分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步叕.第1721為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.17.為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性，某校需要了解學生是否經常鍛煉與性別因素有關，為此隨機對該校100名學生進行問卷調查，得到如下列聯表.經常鍛煉不經常鍛煉總計男35女25總計100已知從這100名學生中任選1人，女生被選中的概率為.（1）完成上面的列聯表，并根據列聯表中的數據，判斷能否有的把握認為該校學生是否經常鍛煉與性別因素有關.（2）若按分層抽樣法從女生中抽取8人，再從8人中隨機抽取2人進行訪談，求抽取的2人都不經常鍛煉的概率.附：，其中，.【答案】（1）列聯表見解析，有95%的把握認為該校學生是否經常鍛煉與性別因素有關．（2）【解析】【分析】（1）先計算出女生人數，進而補全的值，由此作出判斷.（2）由分層抽樣計算出抽取的8人中經常鍛煉與不經常鍛煉的人數，再結合古典概型求解概率即可.【小問1詳解】設這100名學生中女生有x人，則，解得．列聯表完成如下．經常鍛煉不經常鍛煉總計男352560女152540總計5050100所以，因為，所以有95%的把握認為該校學生是否經常鍛煉與性別因素有關．【小問2詳解】從女生中抽取的8人中經常鍛煉的有人，不經常鍛煉的有人，8人中隨機抽取2人的基本事件有種，抽取的2人都不經常鍛煉的基本事件有種，所以抽取的2人都不經常鍛煉的概率為.18.在中，內角所對的邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先將條件中的等式全部變為正弦，然后利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求角即可；（2）先利用正弦定理將轉化為的關系，再結合（1）中的條件求出，最后利用三角形的面積公式求解即可.【小問1詳解】,由正弦定理得，即，又，；【小問2詳解】，由正弦定理得①，又②，由①②得，.19.如圖，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直線上.（1）求證：；（2）若是線段AB上一點，，，三棱錐的體積為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）3【解析】【分析】（1）由直棱柱性質得，再由平面，得，從而可得線面垂直，然后得線線垂直；（2）是直角三角形，，由已知可得出，由（1）可得，因此只要設，則面積可表示出來，也可得出三棱錐的體積，求得，得出．【小問1詳解】∵是直三棱柱，則面，又面，∴，又平面，平面，∴，又，平面，平面，∴平面，又平面，∴；【小問2詳解】由（1）知平面，∴，，∴，點到的距離為，設，則，∵，，，∴，由，，，∴，∴，∴，即，∴，則.20.已知圓A：，直線過點且與軸不重合，交圓于C，D兩點，過作AC的平行線交AD于點E.（1）求點E的軌跡的方程；（2）設軌跡的上、下頂點分別為G、H，過點的直線交軌跡于M、N兩點（不與G、H重合），直線GM與直線交于點，求證：P、H、N三點共線.【答案】（1）；（2）證明見詳解.【解析】【分析】（1）由橢圓的定義求點E的軌跡的方程即可；（2）證明P、H、N三點共線，轉化為證明.【小問1詳解】如圖：因為，平行于，所以，所以，故，又由于圓A：，可得，從而，所以.又，，所以,所以，有橢圓的定義可知點E的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，所以點E的軌跡的方程為：.【小問2詳解】證明：如圖：由題意可知：,，因為過點的直線交軌跡于M、N兩點（不與G、H重合），所以直線的斜率存在，可設直線的方程為：，設，.聯立與可得：恒成立，所以，.直線的斜率為，所以方程為：與直線交于點，所以，所以，，所以P、H、N三點共線.【點睛】經過圓錐曲線上滿足某條件的動點的直線過定點問題，可探求出動點坐標，求出直線方程，即可推理計算解決問題，證明三點共線問題可以轉化為斜率之差為零的問題.21.已知函數.（1）若，求在點處的切線方程；（2）若是的兩個極值點，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，計算切點處的函數值與導數值，根據點斜式即可求解切線方程；（2）根據極值點的定義，可得是方程的兩個不等的正實根，根據韋達定理代入化簡，將問題轉化成，令，構造函數，結合導數證明即可.【小問1詳解】當時，，則，所以，，所以在點處的切線方程為，即【小問2詳解】證明：由，可知，因為（）是的極值點，所以方程的兩個不等的正實數根，所以，，則．要證成立，只需證，即證，即證，即證，設，則，即證，令，則，所以在上單調遞減，則，所以，故．【點睛】本題考查了導數綜合運用，求某點處的切線方程較為簡單，利用導數求單調性時，如果求導后的正負不容易辨別，往往可以將導函數的一部分抽離出來，構造新的函數，利用導數研究其單調性，進而可判斷原函數的單調性.在證明不等式時，常采用兩種思路：求直接求最值和等價轉化.無論是那種方式，都要敢于構造函數，構造有效的函數往往是解題的關鍵.選考題：請考生在第22、23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.選修44：坐標系與參數方程22.在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）已知點的極坐標為，設曲線和直線交于M，N兩點，求的值.【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）用消參數法化參數方程為普通方程，由公式，化極坐標方程為直角坐標方程；（2）將點P的極坐標化為直角坐標，并判斷點P在直線上，再利用直線參數方程中參數的幾何意義，將直線代入曲線的直角坐標方程，結合韋達定理即可求解．【小問1詳解】將消去參數，得，所以曲線的普通方程為．由，得，將，代入上式，得所以直線的直角坐標方程