3.1.1空間向量及其運算空間向量的數乘運算1.理解空間向量的有關概念.2.類比平面向量，會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差.3.理解向量運算的交換律、結合律和分配律．4.理解向量共線、向量共面的定義.5.掌握共線向量定理和共面向量定理，會證明空間三點共線、四點共面．重點：向量共線、向量共面的定義難點：證明空間三點共線、四點共面閱讀課本內容，自主完成下列內容。知識點一空間向量的概念思考1.類比平面向量的概念，給出空間向量的概念.答案在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量.1.空間向量的概念在空間，把具有_____和_____的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的_____或___.空間向量用有向線段表示，有向線段的_____表示向量的模，a的起點是A，終點是B，則a也可記作，其模記為__________.【答案】方向；大小；長度；模；長度；|a|或（1）空間中點的一個平移就是一個向量；（2）數學中討論的向量與向量的起點無關，只與大小和方向有關，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內任意平移，故我們稱之為自由向量．2.幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量規定長度為0的向量叫_______，記為0單位向量______的向量叫單位向量相反向量與向量a長度_____而方向_____的向量，稱為a的相反向量，記為－a相等向量方向_____且模_____的向量稱為相等向量，_____且_____的有向線段表示同一向量或相等向量【答案】零向量；模為1；相等；相反；相同；相等；同向；等長知識點二空間向量的線性運算空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數乘當λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當λ＝0時，λa＝0運算律交換律：a＋b＝b＋a；結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.（1）空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結合律，這樣就可以自由結合運算，可以將向量合并；（2）向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則．（3）空間向量加法的運算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；已知空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(CB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，則eq\o(CD,\s\up7(→))等于()A.a＋b－cB.－a－b＋cC.－a＋b＋c D.－a＋b－c【答案】C知識點三共線向量1．空間兩個向量共線的充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是.此定理可分解為以下兩個命題：（1）存在唯一實數，使得；（2）存在唯一實數，使得，則．注意：不可丟掉，否則實數就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進而證線面平行）②證明三點共線．注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法．證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點．2．直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的．【答案】存在實數λ，使a＝λb方向向量知識點四共面向量1．共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l或，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA于平面α或在平面α內，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做．2．向量共面的充要條件如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使.【答案】平行重合平行共面向量p＝xa＋yb.（1）在平面中，A，B，C三點共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內任意一點．（2）在空間中，P，A，B，C四點共面的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點．1、判斷題：(1)共線向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共線向量.()(2)若表示兩向量的有向線段所在的直線為異面直線，則這兩個向量不是共面向量.()(3)如果eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))，則P，A，B共線.()(4)空間中任意三個向量一定是共面向量.()2.已知空間四點P，M，A，B，下列結論可證明四點共面的有(1)eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(2)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(3)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋z(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))，或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→))).【答案】1.（1）對（2）錯（3）對（4）錯2.（1）（2）（3）（4）考點一空間向量的有關概念例1給出下列命題：①將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個圓；②若空間向量滿足，則；③在正方體中，必有；④若空間向量滿足，，則；⑤空間中任意兩個單位向量必相等；其中假命題的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對于①，根據空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個球面，故①為假命題；對于②，向量相等即模相等和方向相同，故②為假命題；對于③，根據正方體的定義，上下底面的對角線必定相等，結合向量的方向，所以，，故③為真命題；對于④，根據向量相等的定義，明顯成立，故④為真命題.對于⑤，向量相等即模相等和方向相同，故空間中任意兩個單位向量必相等是假命題，故⑤為假命題故選：C【對點演練1】下列命題中是假命題的是（

）A．任意向量與它的相反向量不相等B．和平面向量類似，任意兩個空間向量都不能比較大小C．如果，則D．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同【答案】A【解析】對于A，零向量的相反向量是它本身，A錯誤；對于B，空間向量是有向線段，不能比較大小，B正確；對于C，如果，則，C正確；對于D，兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同，D正確.故選：A.【對點演練2】下列關于空間向量的說法中錯誤的是（

）A．零向量與任意向量平行B．任意兩個空間向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的兩個向量是相等向量【答案】C【解析】由已知，選項A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，該選項正確；選項B，平面由兩個不平行的向量確定，任意兩個向量可通過平移形成相交，故一定可以確定一個平面，該選項正確；選項C，在直線上取非零向量，把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量，該選項錯誤；選項D，方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，該選項正確.故選：C.考點二空間向量的線性運算例2如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據空間向量的運算法則和空間向量基本定理相關知識求解即可.【詳解】由題意得，.故選：D（1）向量加法的三角形法則和向量減法的定義是解決空間向量加法、減法運算的關鍵，靈活應用相反向量可使向量間首尾相接．（2）利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量的運算時，務必要注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得更準確的結果．【對點演練1】若正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，化簡下列各式的結果為的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】可先畫出正方體，根據向量加法的運算法則計算各式，再進行判斷.【詳解】如圖，，所以A錯誤；，所以B正確；，所以C錯誤；，所以D錯誤；故選：B．【對點演練2】（2022·廣東惠州·高二階段練習）如圖.空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且滿足，點N為BC的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，又因為點N為BC的中點，所以，所以.故選：D.【對點演練3】在平行六面體中，點在上，且，若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】如圖，,所以，所以，故選:C.【對點演練4】（2022·湖北·高二期中）在空間四邊形中，分別是的中點，為線段上一點，且，設，，，則下列等式不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，由題意可知：，故正確；對于B，由題意可得，又因為，所以，所以，故正確；對于C，由題意可得，故錯誤；對于D，由題意可得，故正確.故選：C.考點三空間向量的共線問題例3（1）（2022·山東·高考真題（理））已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，又與過同一點B，∴A、B、D三點共線．故選：C．（2）（2022·全國·高二）若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對【答案】A【詳解】因為m＋n＝1，所以m＝1－n，所以，即，即，所以與共線．又，有公共起點A，所以P，A，B三點在同一直線上，即P∈AB.故選：A.【對點演練】（1）（2022·北京房山·高二期中）如果空間向量不共線，且，那么的值分別是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知空間向量不共線，且，即，則，即，故選：C.（2）（2022·全國·高二課時練習）已知A，B，C三點共線，則對空間任一點O，存在三個不為0的實數λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值為________.【答案】0【詳解】因A，B，C三點共線，則存在唯一實數k使，顯然且，否則點A，B重合或點B，C重合，則，整理得：，令λ=k1，m=1，n=k，顯然實數λ，m，n不為0，因此，存在三個不為0的實數λ，m，n，使λ+m+n=，此時λ+m+n=k1+1+(k)=0，所以λ+m+n的值為0.故答案為：0考點四空間向量的共面問題例4（2022·全國·高一單元測試）給出下列四個命題，其中是真命題的有（

）A．若存在實數，，使，則與，共面；B．若與，共面，則存在實數，，使；C．若存在實數，，使則點，，A，共面；D．若點，，A，共面，則存在實數，，使．【答案】AC【分析】由向量共面定理可判斷AC；取，為零向量可判斷B；取，A，三點共線，點P與，A，不共線可判斷D.【詳解】由向量共面定理可知A正確；當，為零向量可知B錯誤；由向量共面定理可知共面，又因為共始點，所以點，，A，共面，故C正確；當，A，三點共線，點P與，A，不共線時可知D錯誤.故選：AC【對點演練】（1）（2022·江蘇常州·高二期中）對于空間任意一點，若，則A，B，C，P四點（

）A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．與點位置有關【答案】B【詳解】由，所以A，B，C，P四點共面，故選：B（2）（2022·全國·高二課時練習）已知空間、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，設為空間中任意一點，若，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【詳解】，即整理得由、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，可得，解之得故選：B（3）（2022·遼寧·本溪市第二高級中學高二期末）下列命題中正確的是（

）A．若∥，則∥B．是共線的必要條件C．三點不共線，對空間任一點，若，則四點共面D．若為空間四點，且有（不共線），則是三點共線的充要條件【答案】ACD【分析】根據向量的共線向量定理、共面向量定理及平行概念，再結合充要條件即可求解.【詳解】對于A,由∥，則一定有∥，故A正確；對于B，由反向共線，可得，故B不正確；對于C，由三點不共線，對空間任一點，若，則，即，所以四點共面，故C正確；對于D,若為空間四點，且有（不共線），當，即時，可得，即，所以三點共線，反之也成立，即是三點共線的充要條件，故D正確.故選：ACD.例5已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，用向量方法求證：(1)E，F，G，H四點共面；(2)BD∥平面EFGH.證明(1)連接BG，則eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，由共面向量定理知E，F，G，H四點共面.(2)因為eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，因為E，H，B，D四點不共線，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.【對點演練】已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點O引向量，，，.(1)求證：四點共面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據向量的線性運算可得,由空間向量,可判斷向量共面,進而可得點共面.（2）根據向量共線可得直線與直線平行,進而可證明線面平行,進而可證明面面平行.【詳解】(1)∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴、、、四點共面；(2)∵，∴又因為平面,平面,所以平面又∵，∴，平面,平面,平面，又，平面所以，平面平面.1.（2022·全國·高二專題練習）下列命題中正確的是（）A．若，，則與所在直線平行B．向量、、共面即它們所在直線共面C．空間任意兩個向量共面D．若，則存在唯一的實數λ，使【答案】C【分析】根據空間向量的相關觀念逐一判斷即可.【詳解】對于A，若，，當時與所在直線可以不平行，因此不正確；對于B，向量、、共面，則它們所在直線可能共面，也可能不共面，因此不正確；對于C，根據共面向量基本定理可知：空間任意兩個向量共面，正確；對于D，若且，則存在唯一的實數λ，使，因此不正確．故選：C．2．直線的方向向量，直線的方向向量，則不重合直線與的位置關系是（

）A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能確定【答案】B【分析】根據向量的關系，判斷直線的位置關系.【詳解】因為，所以，所以直線與平行.故選：B3．化簡所得的結果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據向量加減法運算規則去求化簡即可,【詳解】故選：D4．（2022·全國·高二課時練習）下列命題為真命題的是（

）A．若兩個空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量B．若，則?的長度相等且方向相同C．若向量?滿足，且與同向，則D．若兩個非零向量與滿足，則.【答案】D【分析】由空間向量的模長、共線、共面等相關概念依次判斷4個選項即可.【詳解】空間中任意兩個向量必然共面，A錯誤；若，則?的長度相等但方向不確定，B錯誤；向量不能比較大小，C錯誤；由可得向量與長度相等，方向相反，故，D正確.故選：D.5．給出下列四個命題，其中是真命題的有（

）A．若存在實數，，使，則與，共面；B．若與，共面，則存在實數