第七章立體幾何與空間向量第5節空間向量及其應用1.了解空間向量的概念、空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示.3.掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理.考試要求知識診斷基礎夯實內容索引考點突破題型剖析分層精練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎夯實1知識梳理1.空間向量的有關概念名稱定義空間向量在空間中，具有______和______的量相等向量方向______且模______的向量相反向量方向______且模______的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相______或______的向量共面向量平行于同一個平面的向量大小方向相等相同相反相等平行重合2.空間向量的有關定理(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使得__________.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在______的有序實數對(x，y)，使p＝____________.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組{x，y，z}，使得p＝__________________，其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底.a＝λb唯一xa＋ybxa＋yb＋zc3.空間向量的數量積［0，π］互相垂直(2)兩向量的數量積：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數量積，記作a·b，即a·b＝________________.(3)空間向量數量積的運算律①結合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.|a||b|cos〈a，b〉4.空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝05.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l____________，則稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.平行或重合6.空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2l1∥l2u1∥u2?u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2?________________直線l的方向向量為u，平面α的法向量為nl∥αu⊥n?____________l⊥αu∥n?u＝λn平面α，β的法向量分別為n1，n2α∥βn1∥n2?n1＝λn2α⊥βn1⊥n2?________________u1·u2＝0u·n＝0n1·n2＝0[常用結論]1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)直線的方向向量是唯一確定的.(

)(2)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.(

)(3)若{a，b，c}是空間的一個基底，則a，b，c中至多有一個零向量.(

)(4)若a·b<0，則〈a，b〉是鈍角.(

)(5)若兩平面的法向量平行，則不重合的兩平面平行.(

)×診斷自測×××√解析(1)直線的方向向量不是唯一的，有無數多個.(2)a⊥α.(3)若a，b，c中有一個是0，則a，b，c共面，不能構成空間一個基底.(4)若〈a，b〉＝π，則a·b<0，故(4)不正確.3.(選修一P22T2改編)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，則x＝________.解析因為a⊥b，所以a·b＝－8－2＋3x＝0，4.正四面體ABCD的棱長為2，E，F分別為BC，AD的中點，則EF的長為________.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2考點一空間向量的線性運算及共線、共面定理例1

(1)(多選)已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′，則下列四式中正確的有(

)ABCCD解析由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此時向量a，b共線，反之，當向量a，b同向時，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正確；感悟提升

(2)判斷點M是否在平面ABC內.∴四點M，A，B，C共面，從而點M在平面ABC內.所以M，A，B，C四點共面，從而M在平面ABC內.考點二空間向量的數量積及應用

由向量數量積的定義知，要求a與b的數量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關，一定要根據方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準確.感悟提升訓練2

如圖所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長；則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

(2)求BD1與AC夾角的余弦值.考點三利用空間向量證明(判斷)平行與垂直例3

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，

AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點.證明： (1)BE⊥DC；證明依題意，以點A為原點建立空間直角坐標系(如圖)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).

(2)BE∥平面PAD；證明

因為AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以BE⊥AB，又BE?平面PAD，所以BE∥平面PAD.

(3)平面PCD⊥平面PAD.設平面PCD的一個法向量為n＝(x，y，z)，不妨令y＝1，可得n＝(0，1，1)為平面PCD的一個法向量.1.利用向量法證明(判斷)平行、垂直關系，關鍵是建立恰當的坐標系(盡可能利用垂直條件，準確寫出相關點的坐標，進而用向量表示涉及到直線、平面的要素).2.向量證明的核心是利用向量的數量積或數乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關定理.感悟提升

訓練3

(2021·浙江卷)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，M，N分別是A1D，D1B的中點，則(

)A.直線A1D與直線D1B垂直，直線MN∥平面ABCDB.直線A1D與直線D1B平行，直線MN⊥平面BDD1B1C.直線A1D與直線D1B相交，直線MN∥平面ABCDD.直線A1D與直線D1B異面，直線MN⊥平面BDD1B1解析法一以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系(圖略)，設AB＝2，則A1(2，0，2)，D(0，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，所以M(1，0，1)，N(1，1，1)，A

所以A1D⊥D1B.又直線A1D與D1B是異面直線，所以直線A1D與D1B異面且垂直，故B，C不正確；因為平面ABCD的一個法向量為n＝(0，0，1)，

設直線MN與平面BB1D1D所成的角為θ，因為平面BDD1B1的一個法向量為a＝(－1，1，0)，所以直線MN與平面BB1D1D不垂直，故D不正確.故選A.

法二連接AD1(圖略)，則易得點M在AD1上，且M為AD1的中點，AD1⊥A1D.因為AB⊥平面AA1D1D，A1D?平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又AB∩AD1＝A，AB，AD1?平面ABD1，所以A1D⊥平面ABD1，又BD1?平面ABD1，顯然A1D與BD1異面，所以A1D與BD1異面且垂直.在△ABD1中，由中位線定理可得MN∥AB，又MN?平面ABCD，AB?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.易知直線AB與平面BB1D1D成45°角，所以MN與平面BB1D1D不垂直.所以選項A正確.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升3B【A級

基礎鞏固】解析因為b＋c＝(－2，－2，4)，所以a·(b＋c)＝－4－2－12＝－18.A解析由題意，a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2，D4.已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，則λ＝(

) A.9 B.－9 C.－3 D.3

解析

由題意知c＝xa＋yb，

即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，BA解析(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝1＋1＋4－2cos60°＝5，

D又O是正方形ABCD對角線交點，∴M為線段EF的中點.C解析設AC與BD相交于O點，連接OE，由AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，8.若空間中三點A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共線，則p＋q＝________.

解析

因為空間中三點A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共線，70垂直10.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關系是________.∴ON與AM垂直.CD【B級

能力提升】14.(2022·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為AB，BC的中點，則(

) A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D解析在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF?平面ABCD，所以EF⊥DD1，因為E，F分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，BD，DD1?平面BDD1，所以EF⊥平面BDD1，又EF?平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正確；A如圖，以點D為原點，建立空間直角坐標系，設AB＝2，則D(0，0，0)，B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，同理可得平面A1BD的一個法向量為n1＝(1，－1，－1)，平面A1AC的一個法向量為n2＝(1，1，0)，平面A1C1D的一個法向量為n3＝(1，1，－1)，則m·