統(tǒng)計推斷(statisticalinference)第四章1/112第四章統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷由一個樣本或一糸列樣本所得結果來推斷總體特征假設檢驗參數(shù)預計2/112分析誤差產生原因任務確定差異性質排除誤差干擾對總體特征做出正確判斷3/112第四章第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)假設檢驗原理與方法樣本平均數(shù)假設檢驗樣本頻率假設檢驗參數(shù)區(qū)間預計與點預計方差同質性檢驗4/112第一節(jié)假設檢驗的原理與方法5/112一概念：

假設檢驗（hypothesistest）又稱顯著性檢驗（significancetest）,就是依據總體理論分布和小概率原理，對未知或不完全知道總體提出兩種彼此對立假設，然后由樣本實際原理，經過一定計算，作出在一定概率意義上應該接收那種假設推斷。第一節(jié)假設檢驗6/112小概率原理

概率很小事件在一次抽樣試驗中實際是幾乎不可能發(fā)生。

=0.05/0.01

假如假設一些條件，并在假設條件下能夠準確地算出事件Ａ出現(xiàn)概率α為很小，則在假設條件下n次獨立重復試驗中，事件A將按預定概率發(fā)生，而在一次試驗中則幾乎不可能發(fā)生。7/112假設檢驗參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗平均數(shù)檢驗頻率檢驗方差檢驗秩和檢驗符號檢驗游程檢驗秩相關檢驗8/112二、假設檢驗步驟治療前

0＝126

2＝240

N(126,240）治療后n＝6x＝136未知那么＝0?即克矽平對治療矽肺是否有效？例：設矽肺病患者血紅蛋白含量具平均數(shù)

0＝126(mg/L)，

2＝240

(mg/L)2正態(tài)分布。現(xiàn)用克矽平對6位矽肺病患者進行治療，治療后化驗測得其平均血紅蛋白含量x=136(mg/L)。9/1121、提出假設對立無效假設/零假設/檢驗假設備擇假設/對應假設

0＝

0

誤差效應處理效應H0HA10/112例：克矽平治療矽肺病是否能提升血紅蛋白含量？平均數(shù)假設檢驗檢驗治療后總體平均數(shù)

是否還是治療前126(mg/L)？x-

0＝136-126＝10(mg/L)這一差數(shù)是因為治療造成，還是抽樣誤差所致。本例中零假設是指治療后血紅蛋白平均數(shù)仍和治療前一樣，二者來自同一總體，接收零假設則表示克矽平沒有療效。而相對立備擇假設表示拒絕H0，治療后血紅蛋白平均數(shù)和治療前平均數(shù)來自不一樣總體，即克矽平有療效。H0:μ=μ0=126(mg/L)HA:μ≠μ0

11/1122、確定顯著水平

＝0.05差異顯著水平*差異極顯著水平**能否定H0人為要求概率標準稱為顯著水平，記作

。統(tǒng)計學中，普通認為概率小于0.05或0.01事件為小概率事件,所以在小概率原理基礎上建立假設檢驗也常取=0.05和=0.01兩個顯著水平

。P<

＝0.01

＝0.0512/1123、選定檢驗方法，計算檢驗統(tǒng)計量，確定概率值u=x-

x

136-126=√40=1.581P(u>1.581)=2×0.0571=0.1142依據研究設計類型和統(tǒng)計推斷目標選擇使用不一樣檢驗方法。例：13/1124、作出推斷結論：是否接收假設P>

P<

小概率原理接收H0否定HA否定H0接收HA可能正確可能錯誤14/112例：上例中P＝0.1142>0.05所以接收H0，從而得出結論：使用克矽平治療前后血紅蛋白含量未發(fā)覺有顯著差異，其差值10應歸于誤差所致。15/112P(u>1.96)=0.05P(u>2.58)=0.01已知：

0.950.0250.025u>1.96u>2.58P(u)<0.05P(u)<0.01差異達顯著水平差異達極顯著水平16/112分析題意提出假設確定顯著水平計算檢驗統(tǒng)計量作出推斷假設檢驗步驟:17/112

0P(-1.96x<x<

+1.96

x)=0.95-1.96x+1.96x0.950.0250.025臨界值：+u

x左尾右尾否定區(qū)否定區(qū)接收區(qū)u

+1.96x三、雙尾檢驗與單尾檢驗18/112

0P(-2.58x<x<

+2.58

x)=0.99-2.58x+2.58x0.990.0050.005臨界值：+2.58x左尾右尾雙尾檢驗(two-sidedtest)否定區(qū)否定區(qū)接收區(qū)19/1120.950.950.050.051.64-1.64H0：≤0HA：>0假設：否定區(qū)H0：≥0HA：<0左尾檢驗右尾檢驗單尾檢驗(one-sidedtest)接收區(qū)接收區(qū)20/112單尾檢驗左尾檢驗右尾檢驗0.950.950.050.051.64-1.64否定區(qū)接收區(qū)接收區(qū)否定區(qū)只在一側21/112u0.05=1.64u0.01=2.33單尾檢驗分位數(shù)雙尾檢驗分位數(shù)u0.05=1.96u0.01=2.58

２

２否定區(qū)否定區(qū)否定區(qū)接收區(qū)接收區(qū)查表時，單尾概率等于雙尾概率乘以2＞22/112四、兩類錯誤假設檢驗兩類錯誤H0正確

H0錯誤否定H0錯誤()推斷正確(1-)接收H0推斷正確(1-)錯誤()第一類錯誤（typeIerror），又稱棄真錯誤或

錯誤;第二類錯誤（typeII

error），又稱納偽錯誤或

錯誤23/112

0ⅠⅡ0.025Ⅰ和Ⅱ重合=

00.950.025錯誤犯第一類錯誤概率等于顯著水平

值24/112ⅠⅡC1C22

2

0

u

-u

Ⅰ和Ⅱ不重合

犯第二類錯誤概率記為

值25/112１、兩類錯誤現(xiàn)有聯(lián)絡又有區(qū)分

錯誤只在否定H0時發(fā)生

錯誤只在接收H0時發(fā)生

錯誤增加

錯誤減小

錯誤增加

錯誤減小結論26/1122、還依賴于-0距離結論3、n,

2可使兩類錯誤概率都減小.27/112第二節(jié)樣本平均數(shù)的假設檢驗28/112大樣本平均數(shù)假設檢驗－－u檢驗小樣本平均數(shù)假設檢驗－－t檢驗單樣本雙樣本29/112一、一個樣本平均數(shù)假設檢驗樣本平均數(shù)的假設檢驗30/112適用范圍：檢驗某一樣本平均數(shù)x所屬總體平均數(shù)

是否和某一指定總體平均數(shù)

0相同。若相同，則說明該樣本屬于這個以

0為平均數(shù)指定總體；若不相同，則說明該樣本所屬總體與這個指定總體（

0）不一樣，即有顯著或極顯著差異。31/1121、總體方差σ2已知，不論n是否大于30都可采取u檢驗法例：某魚場按常規(guī)方法所育鰱魚一月齡平均體長為7.25cm，標準差為1.58cm，現(xiàn)采取一新方法進行育苗，一月齡時隨機抽取100尾進行測量，其平均體長為7.65cm，問新育苗方法與常規(guī)方法有沒有顯著差異？分析（１）這是一個樣本平均數(shù)假設檢驗，因總體σ2已知，采取u檢驗；（２）新育苗方法魚苗體長≥或≤常規(guī)方法魚苗體長，應進行雙尾檢驗。32/112（１）假設（2）水平（3）檢驗（4）推斷H0:μ=μ0=7.25(cm)，即新育苗方法與常規(guī)方法所育魚苗一月齡體長相同；HA:μ≠μ0選取顯著水平α＝0.05u>1.96否定H0，接收HA；認為新育苗方法一月齡體長與常規(guī)方法有顯著差異。33/1122、總體方差σ2未知，但n>30時，可用樣本方差s2來代替總體方差σ2，仍用u檢驗法總體(μ0)樣本(n>30)x

s2σ234/112例：生產某種紡織品，要求棉花纖維長度平均為30mm以上，現(xiàn)有一棉花品種，以n=400進行抽查，測得其纖維平均長度為30.2mm，標準差為2.5mm，問該棉花品種纖維長度是否符合紡織品生產要求？分析（１）這是一個樣本平均數(shù)假設檢驗，因總體σ2未知，n=400>30，可用s2代替σ2進行u檢驗；（２）棉花纖維只有>30mm才符合紡織品生產要求，因此進行單尾檢驗。35/112（１）假設（2）水平（3）檢驗（4）推斷H0:μ≤μ0=30(cm)，即該棉花品種纖維長度達不到紡織品生產要求。HA:μ>μ0選取顯著水平α＝0.05u<1.645接收H0，否定HA；認為該棉花品種纖維長度不符合紡織品生產要求。36/1123、總體方差σ2未知，且n<30時，可用樣本方差s2來代替總體方差σ2，采取df=n-1t檢驗法總體(μ0)樣本(n<30)x

s2σ237/112例：某魚塘水中含氧量，多年平均為4.5(mg/L)，該魚塘設10個點采集水樣，測定含氧量為：4.33,4.62,3.89,4.14,4.78,4.64,4.52,4.55,4.48,4.26(mg/L)試檢驗該次抽樣測定水中含氧量與多年平均值有沒有顯著差異。分析（１）這是一個樣本平均數(shù)假設檢驗，因總體σ2未知，n=10<30，可用s2代替σ2進行t檢驗；（２）該次測定水中含氧量可能>或<多年平均值，用雙尾檢驗。38/112（１）假設（2）水平（3）檢驗（4）推斷H0:μ＝μ0=4.5(mg/L)，即認為該次測定與多年平均值沒有顯著差異。HA:μ≠μ0選取顯著水平α＝0.05在0.05顯著水平上，接收H0，否定HA；認為該次抽樣所測結果與多年平均值無顯著差異，屬于隨機誤差。t0.05(9)=2.262P>0.0539/112二、兩個樣本平均數(shù)假設檢驗樣本平均數(shù)的假設檢驗40/112適用范圍：檢驗兩個樣本平均數(shù)x1和x2所屬總體平均數(shù)

1和

2是否來自同一總體。41/112樣本1X1樣本2X2總體1μ1

總體2μ2兩個樣本平均數(shù)的假設檢驗步驟1、提出假設無效假設H0:μ1=μ2

，兩個平均數(shù)差值是隨機誤差所引發(fā)；備擇假設HA:μ1=μ2

，兩個平均數(shù)差值除隨機誤差外還包含其真實差異，即由處理引發(fā)；42/1122、確定顯著水平：0.05或0.013、檢驗統(tǒng)計量(1)樣本平均數(shù)差數(shù)平均數(shù)=總體平均數(shù)差數(shù).兩個樣本平均數(shù)差數(shù)43/112(2)樣本平均數(shù)差數(shù)方差=兩樣本平均數(shù)方差之和.樣本平均數(shù)差數(shù)標準誤44/112σ12=σ22=σ

n1=n2=n

σ12=σ22=σn1=n2=n

45/112當σ12和σ22已知H0：μ1=μ2=μ時

46/112當σ12和σ22未知，兩樣本都為大樣本時H0：μ1=μ2=μ時

47/112當σ12和σ22未知，兩樣本都為小樣本時H0：μ1=μ2=μ時

48/1124、作出推斷，并解釋之接收H0否定HA或否定H0接收HA或49/112試驗設計成組數(shù)據平均數(shù)比較成對數(shù)據平均數(shù)比較50/112成組數(shù)據平均數(shù)比較假如兩個樣本各個變量是從各自總體中隨機抽取，兩個樣本之間變量沒有任何關聯(lián)，即兩個抽樣樣本彼此獨立，則不論兩樣本容量是否相同，所得數(shù)據皆為成組數(shù)據。兩組數(shù)據以組平均數(shù)作為相互比較標準，來檢驗其差異顯著性。依據兩樣本所屬總體方差是否已知和樣本大小不一樣而采取不一樣檢驗方法。51/1121、兩個總體方差σ12和σ22已知，或σ12和σ22未知，但兩個樣本都是大樣本，即n1>30且n2>30時，用u檢驗法。例：某雜交黑麥從播種到開花天數(shù)標準差為6.9dA法：調查400株，平均天數(shù)為69.5dB法：調查200株，平均天數(shù)為70.3d差異？分析（１）這是兩個樣本（成組數(shù)據）平均數(shù)比較假設檢驗，σ12=σ22=(6.9d)2,樣本為大樣本，用u檢驗。（２）因事先不知A、B兩方法得到天數(shù)孰高孰低，用雙尾檢驗。試比較兩種調查方法所得黑麥從播種到開花天數(shù)有沒有顯著差異。52/112（１）假設（2）水平（3）檢驗（4）推斷H0:μ1＝μ2，即認為兩種方法所得天數(shù)相同。HA:μ1≠μ2選取顯著水平α＝0.05在0.05顯著水平上，接收H0，否定HA；認為兩種方法所得黑麥從播種到開花天數(shù)沒有顯著差異。u<1.96，P>0.0553/112例：為了比較“42-67XRRIM603”和“42-67XPB86”兩個橡膠品種割膠產量，兩品種分別隨機抽樣55株和107株進行割膠，平均產量分別為95.4ml/株和77.6ml／株，割膠產量方差分別為936.36（ml/株）2和800.89（ml/株）2分析（１）這是兩個樣本（成組數(shù)據）平均數(shù)比較假設檢驗，σ12和σ22未知,n1>30且n2>30，用u檢驗。（２）因事先不知兩品種產量孰高孰低，用雙尾檢驗。試檢驗兩個橡膠品種在割膠產量上是否有顯著差異。54/112（１）假設（2）水平（3）檢驗（4）推斷H0:μ1＝μ2，即認為兩品種割膠產量沒有顯著差異。HA:μ1≠μ2選取顯著水平α＝0.01在0.01顯著水平上，否定H0，接收HA；兩個橡膠品種割膠產量存在極顯著差異，“42-67XRRIM603”割膠產量極顯著高于“42-67XPB86”。u>2.58，P<0.0155/1122、兩個總體方差σ12和σ22未知，且兩個樣本都是小樣本，即n1<30且n2<30時，用t檢驗法。(1)假如σ12=σ22=σ2Se2σ2

平均數(shù)差數(shù)標準誤56/112H0:μ1＝μ2=μdf=(n1-1)+(n2-1)=n1+n2-257/112例：用高蛋白和低蛋白兩種飼料喂養(yǎng)一月齡大白鼠，在三個月時，測定兩組大白鼠增重(g)高蛋白組：134,146,106,119,124,161,107,83,113,129,97,123低蛋白組：70,118,101,85,107,132,94分析（１）這是兩個樣本平均數(shù)檢驗，σ12和σ22未知，且為小樣本，用t檢驗。（２）事先不知兩種飼料喂養(yǎng)大白鼠增重量孰高孰低，用雙尾檢驗。試問兩種飼料喂養(yǎng)大白鼠增重量是否有差異？58/112（１）假設（2）水平（3）檢驗H0:σ12=σ22=σ2HA:σ12≠σ22選取顯著水平α＝0.05

（4）推斷兩樣本方差相等。第一步F檢驗59/112（3）檢驗（１）假設（2）水平H0:μ1＝μ2，即認為兩種飼料喂養(yǎng)大白鼠增重無差異。HA:μ1≠μ2選取顯著水平α＝0.05第二步t檢驗60/112（4）推斷在0.05顯著水平上，接收H0，否定HA；認為兩種飼料喂養(yǎng)大白鼠增重無顯著差異，屬于隨機誤差。t0.05(17)=2.110P>0.05df=(n1-1)+(n2-1)=1761/112（2）σ12≠σ22，n1=n2=n

Se2σ2

df=n-1平均數(shù)差數(shù)標準誤當n1=n2=n時62/112例：兩個小麥品種千粒重(g)調查結果品種甲：50,47,42,43,39,51,43,38,44,37品種乙：36,38,37,38,36,39,37,35,33,37檢驗兩品種千粒重有沒有差異。兩樣本方差不相等。第一步F檢驗63/112分析（１）σ12和σ22未知，且不相等，都小樣本，且n1=n2,用df=n-1t檢驗。（２）事先不知道兩個品種千粒重孰高孰低，故而用雙尾檢驗。第二步t檢驗64/112（１）假設（2）水平（3）檢驗H0:μ1＝μ2，即認為兩品種千粒重無顯著差異。HA:μ1≠μ2選取顯著水平α＝0.0565/112（4）推斷在0.05顯著水平上，否定H0，接收HA；認為兩品種千粒重存在顯著差異，即品種甲千粒重顯著高于品種乙。t0.05(9)=2.262P<0.05df=n-1＝966/1123σ12≠σ22，n1≠n2，采取近似地t檢驗，即Aspin-Welch檢驗法。67/112檢驗兩品種小麥蛋白質含量是否有顯著差異？分析n1≠n2，用近似t分布，使用雙尾檢驗。測定農大193蛋白質含量（％）5次，x2=11.7，s22=0.135測定東方紅3號蛋白質含量（％）10次，x1=14.3，s12=1.621（１）假設（2）水平（3）檢驗H0:σ12=σ22=σ2HA:σ12≠σ22（4）推斷兩樣本方差有顯著不一樣。選取顯著水平α＝0.05

例：第一步F檢驗68/112（１）假設（2）水平（3）檢驗H0:μ1＝μ2，即兩品種蛋白質含量沒有顯著差異。HA:μ1≠μ2選取顯著水平α＝0.01第二步近似t檢驗69/112（4）推斷在0.01顯著水平上，否定H0，接收HA；認為兩品種蛋白質含量有極顯著差異，東方紅3號小麥蛋白質含量極顯著高于農大193。t0.01(12)=3.056P<0.0170/112成對數(shù)據平均數(shù)比較

將性質相同兩個樣本（供試單位）配偶成對，每一對除隨機地給予不一樣處理外，其它試驗條件應盡可能一致，以檢驗處理效果，所得觀察值稱為成對數(shù)據。71/112x1x2樣本1樣本2……n對樣本差數(shù)平均數(shù)等于樣本平均數(shù)差數(shù)72/112H0:μd=0df=n-1樣本差數(shù)方差樣本差數(shù)平均數(shù)標準誤t值73/112例：在研究飲食中缺乏VE與肝中VA關系時，將試驗動物按性別、體重等配成8對，并將每對中兩頭試驗動物用隨機分配法分配在正常飼料組和VE缺乏組，然后將試驗動物殺死，測定其肝中VA含量，結果如右表：配對正常飼料組VE缺乏組差數(shù)dd21355024501100121000022400-400160000330001800120014400004395032007505625005380032505503025006375027001050110250073450250095090250083050175013001690000

累計

65007370000試檢驗兩組飼料對試驗動物肝中VA含量作用有沒有顯著差異。分析此題為成對數(shù)據，事先不知兩組飼料作用孰大孰小，用雙尾。74/112（１）假設（2）水平（3）檢驗H0:μd＝0HA:μd≠0α＝0.01（4）推斷在0.01顯著水平上，否定H0，接收HA；兩組飼料對動物肝中VA含量作用有極顯著差異，正常飼料組動物肝中VA含量極顯著高于VE缺乏組。t0.01(7)=3.499t>t0.01(7)

已知75/112第四節(jié)：參數(shù)區(qū)間預計與點預計一、參數(shù)區(qū)間預計與點預計原理三、兩個總體平均數(shù)差數(shù)區(qū)間預計與點預計二、總體平均數(shù)區(qū)間預計與點預計四、總體頻率、兩個總體頻率差數(shù)區(qū)間預計與點預計76/112一、參數(shù)區(qū)間預計與點預計原理參數(shù)區(qū)間預計與點預計是建立在一定理論基礎上一個方法。由中心極限定理和大數(shù)定律，只要抽樣為大樣本，不論其總體是否為正態(tài)分布，其樣本平均數(shù)都近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2/n)。77/112

00.95（接收區(qū)）0.0250.025臨界值接收區(qū)

0-1.96x

0+1.96x78/11279/11280/112uα：正態(tài)分布下置信度P=1-α時u臨界值1-α：置信水平81/112知道x，但不知道μ1-α置信區(qū)間、置信距82/112用樣本平均數(shù)x對總體平均數(shù)μ置信度為P=1-α區(qū)間預計。用樣本平均數(shù)x對總體平均數(shù)μ置信度為P=1-α點預計。83/112一、參數(shù)區(qū)間預計與點預計原理參數(shù)區(qū)間預計也可用于假設檢驗。對參數(shù)所進行假設假如落在該區(qū)間之外，就說明這個假設與真實情況有本質不一樣，因而就否定零假設，接收備擇假設。置信區(qū)間是在一定置信度P=1-α下總體參數(shù)所在范圍，故對參數(shù)所進行假設假如落在該區(qū)間內，就說明這個假設與真實情況沒有不一樣，因而就能夠接收零假設。84/112一、參數(shù)區(qū)間預計與點預計原理不論區(qū)間預計還是點預計，都與概率顯著水平α大小聯(lián)絡在一起。α越小，則對應置信區(qū)間就越大，也就是說用樣本平均數(shù)對總體平均數(shù)預計可靠程度越高，但這時預計精度就降低了。在實際應用中，應合理選取概率顯著水平α大小，不能認為α取值越小越好。85/112二、總體平均數(shù)μ區(qū)間預計和點預計

當為大樣本時，不論總體方差σ2為已知或未知，能夠利用樣本平均數(shù)x和總體方差σ2作出置信度為P＝1-α總體平均數(shù)區(qū)間預計為：86/112其置信區(qū)間下限L1和上限L2為總體平均數(shù)點預計L為87/112當樣本為小樣本且總體方差σ2未知時，σ2需由樣本方差s2來預計，于是置信度為P＝1-α總體平均數(shù)μ置信區(qū)間可預計為88/112其置信區(qū)間下限L1和上限L2為：總體平均數(shù)點預計L為：

Tа為正態(tài)分布下置信度P＝1－α時t臨界值89/112測得某批25個小麥樣本平均蛋白質含量為14.5%，已知σ為2.5%，試進行95%置信度下蛋白質含量區(qū)間預計和點預計。本例中σ為已知，置信度P＝1-α90/112蛋白質含量點預計為：說明小麥蛋白質含量有95％把握落在13.52％～15.48％區(qū)間里。91/112例題從某漁場收對蝦總體中，隨機取20尾對蝦，測平均體長x＝120mm，標準差是＝15mm，試預計置信度為99％對蝦總體平均數(shù)本例中，因為總體方差σ2未知，需用s2預計σ2，當df＝20－1＝19時，t0.01＝2.861。詳細計算以下92/112于是對蝦體長區(qū)間預計為對蝦體長點預計為：說明對蝦體長有99％把握落在110.4mm～129.6mm區(qū)間里93/112

當兩個樣本為小樣本，總體方差σ12和σ22未知，且兩總體方差不相等，即σ12≠σ22時，可由兩樣本方差s12和s22對總體方差σ12和σ22預計而算出t值，已不是自由度df＝n1+n2-2t分布，而是近似服從自由度df't分布，在置信度為P＝1-α下，兩總體平均數(shù)差數(shù)μ1-μ2區(qū)間預計為：94/112其置信區(qū)間下限Ｌ1和上限L2為：95/112兩個總體平均數(shù)差數(shù)μ1-μ2點預計Ｌ為：上面三式中，tα，df

'為置信度為P=1-α時自由度為df't臨界值。96/112當兩樣本為成對資料時，在置信度為P＝1-α時，兩總體平均數(shù)差數(shù)μ1-μ2置信區(qū)間可預計為：其置信區(qū)間下限Ｌ1和上限L2為：97/112兩個總體平均數(shù)差數(shù)μ1-μ2點預計Ｌ為：98/112例題用高蛋白和低蛋白兩種飼料喂養(yǎng)一月齡大白鼠，在三個月時，測定兩組大白鼠增重重量（g），兩組數(shù)據分別為：高蛋白組：134，146，106，119，124，161，107，83，113，129，97，123低蛋白組：70，118，101，85，107，132，94試進行置信度為95％時兩種蛋白飼料喂養(yǎng)大白鼠增重差數(shù)區(qū)間預計和點預計。99/112其置信度為95％時兩種蛋白飼料喂養(yǎng)大白鼠增重差數(shù)區(qū)間預計為：已算得100/112兩種蛋白質飼料喂養(yǎng)大白鼠增重差數(shù)點預計為：說明兩種蛋白飼料喂養(yǎng)下大白鼠增重差