wordword#/93.弦切角、頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。3.弦切角、頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。初三數學切線長定理、弦切角、和圓有關的比例線段知識精講人教版【本講教育信息】一.教學內容：切線長定理、弦切角、和圓有關的比例線段［學習目標］切線長概念切線長是在經過圓外一點的圓的切線上,這點和切點之間的線段的長度,“切線長”是切線上一條線段的長,具有數量的特征,而“切線”是一條直線,它不可以度量長度。切線長定理對于切線長定理,應明確（1）若已知圓的兩條切線相交,則切線長相等；（2）若已知兩條切線平行,則圓上兩個切點的連線為直徑；（3）經過圓外一點引圓的兩條切線,連結兩個切點可得到一個等腰三角形；（4）經過圓外一點引圓的兩條切線,切線的夾角與過切點的兩個半徑的夾角互補；（5）圓外一點與圓心的連線,平分過這點向圓引的兩條切線所夾的角。直線AB切。O于P,PC、PD為弦，圖中幾個弦切角呢？（四個）4.弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。5.弄清和圓有關的角：圓周角,圓心角,弦切角,圓內角,圓外角。6.遇到圓的切線,可聯想“角”弦切角,“線”切線的性質定理及切線長定理。7.與圓有關的比例線段定理圖形已知結論證法相交弦定理?。0中，AB、CD為弦，交于PPA?PB=PC?PD連結AC、BD,證：△APCMDPB相交弦定理的推論。0中，AB為直徑，CDXAB于PPC2=PA?PB用相交弦定理

切割線定理二。0中，PT切。0于T,割線PB交。0于APT2=PA?PB連結TA、TB,證：△PTBMPAT切割線定理推論PB、PD為。0的兩條割線，交。0于A、CPA?PB=PC?PD過P作PT切。0于T,用兩次切割線定理圓冪定理。0中，割線PB交。0于A,CD為弦P'C?P'D=r2-0P'2PA?PB=0P2—r2r為。0的半徑延長P'O交。0于M,延長0P'交。0于N,用相交弦定理證；過P作切線用切割線定理勾股定理證【典型例題】例1.如圖1,正方形ABCD的邊長為1，以BC為直徑。在正方形內作半圓0,過A作半圓切線，切點為F，交CD于E，求DE：AE的值。8.圓冪定理：過一定點P向。O【典型例題】例1.如圖1,正方形ABCD的邊長為1，以BC為直徑。在正方形內作半圓0,過A作半圓切線，切點為F，交CD于E，求DE：AE的值。圖1解：由切線長定理知：AF=AB=1,EF=CE設CE為x,在Rt△ADE中，由勾股定理1(1+X)2=(1-X)2+12,X=—1??.DE=1??.DE=1--443一二3：5一二3：544例2.OO中的兩條弦AB與CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,那么CE cm。圖2解：由相交弦定理，得AE?BE=CE?DE\<AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,DE=CD—CE=7—CE,???6X2=CE(7—CE),即CE2—7CE+12=0；.CE=3cm或CE=4cm。故應填3或4。點撥：相交弦定理是較重要定理，結果要注意兩種情況的取舍。例3.已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則AB2：AC2=PB：解：VZP=ZPZPAC=ZB,.?.△PACsAPBA,ABPB? ― ?? ,ACPAAB2PB2?—? 。AC2PA2又???PA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得PA2=PB?PCAB2 PB2 PB, 二 = ? —，AC2PB?PCPC即AB2：AC2=PB：PC，故應填PC。點撥：利用相似得出比例關系式后要注意變形，推出所需結論。例4.如圖3,P是OO外一點，PC切OO于點C,PAB是OO的割線，交OO于A、B兩點，如果PA：PB=1：4，PC=12cm，OO的半徑為10cm，則圓心O至UAB的距離是 cm。

FF圖3解：VPC是。O的切線，PAB是。O的割線，且PA：PB=1：4APB=4PA又,?，PC=12cm由切割線定理，得PC2=PA-PBA122=PA-4PA??.PA2=36,APA=6(cm)APB=4X6=24(cm)AAB=24-6=18(cm)設圓心O到AB距離為dcm,由勾股定理，得d=102-92=<19(cm)故應填.<19。例5.如圖4,AB為。O的直徑，過B點作。O的切線BC,OC交。O于點E,AE的延長線交BC于點D,(1)求證：CE2=CD?CB；(2)若AB=BC=2厘米，求CE、CD的長。圖4點悟：要證CE2=CD-CB，即要證△CEDs^CBE。證明(1)連結BEBC是。O的切線nNA=NCBE、OA=OEnNA=NOEA>nNCED=NCBE1NOEA=NDEC\ NC公用角 j0△CEDs^CBEnCE=CBnCE2=CB?CDCDCE(2)BC是。O切線]nNABD=90° ]AB為直徑 iAB=2nOB=11nOC=v14+1=<5OE=1BC=2

nCE=<5-1。OE=1又???CE2=CD-CB,CB=2,???(5-1)2=2CDnCD=(3—<5)厘米。點撥：有切線，并需尋找角的關系時常添輔助線，為利用弦切角定理創造條件。例6.如圖5,AB為。O的直徑，弦CD〃AB,AE切。O于A,交CD的延長線于E。圖5圖5求證：BC2=AB-DE證明：連結BD,:AE切。O于A,AZEAD=ZABDVAE±AB，XAB〃CD,AAEXCD:AB為。O的直徑AZADB=90°AZE=ZADB=90°.?.△adembadADDE = ABAD??.AD2=AB?DEVCD#ABcc???AD=BCAAD=BC,ABC2=AB?DE例7.例7.如圖6,PA、PC切。O于A、C,PDB為割線。求證：AD?BC=CD?AB圖6點悟:由結論AD?BC=CD?AB得AD=CD，顯然要證△PAD^^PBA和^PCDs4ABBC點悟:PBC證明：VPA切。O于A,AZPAD=ZPBA又NAPD=NBPA,AAPAD^APBAADPD - ABAP同理可證△PCDs^PBCCDPD - BCPC?「PA、PC分別切。O于A、C.PA=PCADCD - ABBC.AD?BC=DC?AB例8.如圖7,在直角三角形ABC中，NA=90°,以AB邊為直徑作。O,交斜邊BC于點D,過D點作。O的切線交AC于E。圖7求證：BC=2OEo點悟：由要證結論易想到應證OE是4ABC的中位線。而OA=OB,只須證AE=CE。證明：連結OD。VACXAB,AB為直徑.AC為。O的切線，又DE切。O于D.EA=ED,OD±DEVOB=OD,AZB=ZODB在Rt^ABC中，NC=90°—NBVZODE=90°??.NEDC-90°-ZODB.??ZC=ZEDC.ED=EC.AE=EC.OE是^ABC的中位線.BC=2OEn例9.如圖8,在正方形ABCD中，AB=1,AC是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧。點E是邊AD上的任意一點（點E與點A、D不重合），過E作A^C所在圓的切線，交邊DC于點F,G為切點。當ZDEF=45°時，求證點G為線段EF的中點；解：由NDEF=45°,得/DFE=90°—/DEF=45°,AZDFE=ZDEFADE=DFXVAD=DC.??AE=FC因為AB是圓B的半徑，ADLAB,所以AD切圓B于點A；同理，CD切圓B于點C。又因為EF切圓B于點G,所以AE=EG,FC=FG。因此EG=FG,即點G為線段EF的中點?！灸M試題】（答題時間：40分鐘）一、選擇題.已知：PA、PB切。O于點A、B,連結AB,若人8=8,弦AB的弦心距3,貝UPA=（）20 25A.— B.— C.5 D.8.下列圖形一定有內切圓的是（）A.平行四邊形 B.矩形C.菱形 D.梯形.已知：如圖1直線MN與。O相切于C,AB為直徑，NCAB=40°,則NMCA的度數（）圖1A.50° B.40° C.60° D.55°.圓內兩弦相交，一弦長8cm且被交點平分，另一弦被交點分為1：4,則另一弦長為OA.8cm B.10cm C.12cm D.16cm.在^ABC中，D是BC邊上的點，AD=2<2cm,BD=3cm,DC=4cm,如果E是AD的延長線與^ABC的外接圓的交點,那么DE長等于（）A.273cm b.3M2cmC.2A/2cm d.3/3cm.PT切。O于T,CT為直徑，D為OC上一點，直線PD交。O于B和A,B在線段PD上，若CD=2,AD=3,BD=4,則PB等于（）A.20 B.10 C.5D.8<5二、填空題.AB、CD是。O切線，AB〃CD,EF是。O的切線，它和AB、CD分別交于E、F,則ZEOF=度。.已知：。0和不在。O上的一點P,過P的直線交。O于A、B兩點，若PA-PB=24,OP=5,則。O的半徑長為。 l.若PA為。O的切線，A為切點，PBC割線交。O于B、C,若BC=20,PA=10<3,則PC的長為。.正4ABC內接于。O,M、N分別為AB、AC中點，延長MN交。O于點D,連結BD交AC于P,則PC= 。PA三、解答題.如圖2,△ABC中，AC=2cm,周長為8cm,F、K、N是^ABC與內切圓的切點，DE切。O于點M,且口￡〃人0求DE的長。圖2.如圖3,已知P為。O的直徑AB延長線上一點，PC切。O于C,CDXAB于D,求證：CB平分NDCP。圖3.如圖4,已知AD為。O的直徑，AB是。O的切線，過B的割線BMN交AD的延長線于C,且BM=MN=NC,若AB=222cm，求。O的半徑。p A圖4參考答案、選擇題TOC\o"1-5"\h\z1.A 2,C 3.A二、填空題7.90 8.1 9.30三、解答題：.由切線長定理得^BDE周長為4,.證明：連結AC,則ACXCBB 5,B 6.A110.-(v5+1)由△BDEMBAC*DE=1cmVCD±AB,AAACB^ACDB,AZA=Z1VPC為。O的切線，???/人=/2,又N1=N2,ABC平分NDCP13.設BM=MN=NC=xcm又???BA2=BM?BN,BA=2<2cm.二(2v'2)2