一、學習目標1了解圖形的旋轉的有關概念并理解它的基本性質.2了解中心對稱和中心對稱圖形的概念并理解它的基本性質.3掌握關于原點對稱的兩點的關系并應用.重點：

1掌握二次函數的圖象特征及其性質.2掌握用待定系數法求拋物線解析式的方法.難點：

1圖形旋轉的基本性質的歸納與運用.2中心對稱的基本性質的歸納與運用.二、學習過程【章節介紹】讓學生經歷觀察、操作等過程，了解圖形旋轉的概念，探索圖形旋轉基本性質，進一步發展空間觀察，培養運動幾何的觀點，增強審美意識.讓學生通過獨立思考，自主探究和合作交流進一步體會旋轉的數學內涵，享受學習樂趣，學生運用所學知識進行圖案設計活動，激發學習熱情.【知識梳理】一旋轉的概念：在平面內，將一個平面圖形繞著平面內一個定點沿某一方向轉動一個角度旋轉中心.轉動的角叫做旋轉角.二旋轉的性質：相等.旋轉角.3.旋轉前、后的圖形全等.三簡單旋轉作圖的一般步驟：1)找出圖形的關鍵點；2)確定旋轉中心，旋轉方向和旋轉角；3)將關鍵點與旋轉中心連接起來，然后按旋轉方向分別將它們旋轉一個角，得到關鍵點的對應點；4)按照原圖形的順序連接這些對應點，所得到的圖形就是旋轉后的圖形．四中心對稱的概念：把一個圖形繞某一個點旋轉180o，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱.1）這個點叫做對稱中心.2）這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點.五中心對稱的性質：1)中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段經過對稱中心，而且被對稱中心所平分.2)中心對稱的兩個圖形是全等形.六利用中心對稱的性質作圖的基本步驟：中心對稱：先連接點和對稱中心，然后延長一倍；2.做圖形的中心對稱：先確定好圖形的特殊點（如多邊形的頂點、線段的端點，圓的圓心等），再作特殊點的對稱點，然后順次連接.七中心對稱圖形的概念：如果一個圖形繞一個點旋轉180°后，能和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；這個點叫做它的對稱中心；互相重合的點叫做對稱點.八中心對稱圖形的性質：中心對稱圖形上每一對對應點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分.九在直角坐標系中關于原點對稱的點的坐標的關系：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點O的對稱點P＇(-x，-y)。十在直角坐標系中作關于原點的中心對稱圖形的一般步驟：1）確定關鍵點(通常為圖形頂點等特殊點)的坐標；2）寫出關鍵點關于原點對稱的點坐標；3）在直角坐標系中標出對稱點的坐標；4）順次連接對稱點，所作的圖形為所求圖形.【考點解讀】考查題型一畫旋轉圖形1．圖，在每個小正方形的邊長為1個單位的網格中，△ABC的頂點均在格點（網格線的交點）上．（1）將△ABC向右平移5個單位得到△A1B（2）將（1）中的△A1B1C1繞點C1逆時針旋轉【詳解】解：（1）如下圖所示，△A（2）如下圖所示，△A2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的三個頂點分別是A?5,1，B?1,3，(1)平移△ABC，使得點A的對應點A1的坐標為1,3，畫出平移后的△(2)將△ABC繞點O旋轉180°，畫出旋轉后的△A(3)若△A1B1C1與【詳解】（1）如圖所示：△A（2）如圖所示：△A（3）已知A1的坐標(1,3)，根據圖形可知A2的坐標為：(5,-1)，則P點橫坐標為：，P點的縱坐標為：3?12=1點P的坐標(3,1)．故答案是：（3，1）3．如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，3），B（4，2），C（2，1）．(1)平移△ABC，使得點A的對應點A1的坐標為（﹣1，﹣1），則點C的對應點C1的坐標為；(2)將△ABC繞原點旋轉180°得到△A2B2C2，在圖中畫出△A2B2C2；(3)M、N為x軸上的兩個動點，點M在點N的左側，連接MN，若MN＝1，點D（0，﹣1）為y軸上的一點，連接DM、CN，則DM＋CN的最小值為．【詳解】（1）解：∵平移△ABC，使得點A（1，3）的對應點A1的坐標為（﹣1，﹣1），∴平移方式為：將△ABC先向左平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度，∴點C（2，1）的對應點C1的坐標為（0，－3），故答案為：（0，－3）；（2）△A2B2C2如圖所示：（3）如圖，取點D′（1，?1），連接CD′交x軸于點N′，∵M′N′＝DD′＝1，且M′N′∥DD′，∴四邊形M′N′D′D是平行四邊形，∴DM′＝D′N′，∴DM′＋CN′＝D′N′＋CN′＝CD′，∴DM＋CN的最小值為CD′＝，故答案為：5．考查題型二旋轉綜合題1．如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到的，連接BE、CF相交于點D．（1）求證：BE＝CF；（2）當四邊形ABDF為菱形時，求CD的長．【詳解】（1）證明：如圖，∵△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到的，∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3，即∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中AB=∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF；（2）解：如圖，∵四邊形ABDF為菱形，∴DF＝AF＝2，DF∥AB，∴∠1＝∠BAC＝45°，∴△ACF為等腰直角三角形，∴CF＝2AF＝22，∴CD＝CF﹣DF＝22﹣2．2．如圖，點E是正方形ABCD的邊AB上一點，AB=4，DE=4.3，△DAE逆時針旋轉后能夠與△DCF重合．（1）旋轉中心是______，旋轉角為______°；（2）請你判斷△DFE的形狀，簡單說明理由；（3）四邊形DEBF的面積為．【詳解】解：（1）由旋轉可得，旋轉中心是點D；旋轉角為∠ADC=90°，故答案為點D，90；（2）△DFE是等腰直角三角形．；理由：根據旋轉可得DE=DF，∠EDF=∠ADC=90°，所以△DFE是等腰直角三角形．；（3）根據旋轉可得：△ADE≌△CDF，∴四邊形DEBF的面積=正方形ABCD的面積=4×4=16．3．如圖1，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點E，連接BC．

（1）證明：⊿ABC≌⊿DCB；（2）求∠AEB的大小．（3）如圖2，△OAB固定不動，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞點O旋轉（△OAB和△OCD不能重疊），求∠AEB的大小．【詳解】證明：(1)∵AO=DO，且ΔAOB、ΔDOC都為等邊三角形，∴CO=BO,∠COD=∠BOA=60∴∠COB=60∴ΔCOB為等邊三角形，∴∠DCB=∠ABC=120在ΔABC和中，AB=CDBC=BC∴ΔABC≌ΔDCB;(2)如圖所示：

∵△DOC和△ABO都是等邊三角形，且點O是線段AD的中點，∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60∴∠4=∠5，又∵∠4+∠5=∠2=60∴∠4=30同理∠6=30∵∠AEB=∠4+∠6，∴∠AEB=60(3)如圖所示：

∵△DOC和△ABO都是等邊三角形，∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60又∵OD=OA，∴OD=OB，OA=OC，∴∠4=∠5，∠6=∠7，∵∠DOB=∠1+∠3，∠AOC=∠2+∠3，∴∠DOB=∠AOC.∵∠4+∠5+∠DOB=180∴2∠5=2∠6，，又∵∠AEB=∠8?∠5，∠8=∠2+∠6，∴∠AEB=∠2+∠6?∠5=∠2+∠5?∠5=∠2，∴∠AEB=64．如圖，將RtΔADF繞著點A順時針旋轉90°得到，射線EB與DF相交于點C，∠D=90°，求證：四邊形ABCD為正方形．【詳解】證明：∵將RtΔADF繞著點A順時針旋轉90°得到，∴∠EAF=90°,△ADF≌△ABE，∴∠EAB=∠FAD，AB=AD，∵∠D=90°，∴∠ABE=90°，∴∠ABC=90°，∵∠EAB+∠BAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，即∠BAD=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∵AB=AD，∴矩形ABCD是正方形．5．探究：如圖1和2，四邊形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，點E，F分別在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，使AB與AD重合，則能證得EF=BE+DF，請寫出推理過程；②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足數量關系_______時，仍有EF=BE+DF;（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=22，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE【詳解】（1）①如圖1，∵把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中AF=AF∴△EAF≌△GAFSAS∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；②∠B+∠D=180°，理由是：把△ABE繞A點旋轉到△ADG，使AB和AD重合，則AE=AG，，∠BAE=∠DAG，∵∠B+∠ADC=180∴∠ADC+∠ADG=180°，∴C，D，G在一條直線上，和①知求法類似，∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中AF=AF∴△EAF≌△GAF(SAS)，∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；故答案為：∠B+∠D=180°（2）∵△ABC中，AB=AC=22，∠BAC=90∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC=A把△AEC繞A點旋轉到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．則AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC?∠DAE=90°?45°=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD和△EAD中AD=AD∠FAD=∠EAD∴△FAD≌△EAD，∴，設DE=x，則DF=x，∵BD=1，∴BF=CE=4?1?x=3?x，∵∠FBA=45°，∠ABC=45∴∠FBD=90°，由勾股定理得：DFx2解得：x=5即DE=56．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形22OA<OM<OA，（1）如圖1，連接AM，BN，求證：AM=BN；（2）將△MON繞點O順時針旋轉．①如圖2，當點M恰好在AB邊上時，求證：AM②當點A，M，N在同一條直線上時，若OA=4，OM=3，請直接寫出線段AM的長．【詳解】解：(1)∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA=OB，ON=OM，∠AOB=∠NOM=90又∠AOM=∠NOM+∠AON=90∠BON=∠AOB+∠AON=90∴∠BON=∠AOM，∴ΔAMO≌ΔBNO(SAS)，∴AM=BN；(2)①連接BN，如下圖所示：∴∠AOM=∠AOB?∠BOM=90∠BON=∠MON?∠BOM=90且OA=OB，OM=ON，∴ΔAMO≌ΔBNO(SAS)，∴∠A=∠OBN=45°，∴∠ABN=∠ABO+∠OBN=45且ΔOMN為等腰直角三角形，∴MN=2在RtΔBMN中，由勾股定理可知：BM2∴AM②分類討論：情況一：如下圖2所示，設AO與NB交于點C，過O點作OH⊥AM于H點，∠HNO=45°,∴HO=NO在RtΔAHO中，AH=A∴AM=AH+HM=46情況二：如下圖3所示，過O點作OH⊥AM于H點，∠HNO=45°，∴HO=NO在RtΔAHO中，AH=A∴AM=AH?HM=46故AM=46+327．如圖，△AOB中，OA=OB=6，將△AOB繞點O逆時針旋轉得到△COD．OC與AB交于點G，CD分別交OB、AB于點E、F．(1)∠A與∠D的數量關系是：∠A______∠D；(2)求證：△AOG≌△DOE；(3)當A，O，D三點共線時，恰好OB⊥CD，求此時CD的長．【詳解】（1）解：由旋轉知，∠A=∠C，∠B=∠D，∵OA=OB，∴OC=OD，∠A=∠B=∠C=∠D∴∠A=∠D，故答案為：=．（2）證明：由旋轉知，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，∴∠AOB－∠BOC=∠COD－∠BOC，即∠AOG=∠DOE，∵OA=OB，∴OA=OB=OC=OD，又∵∠A=∠D，∴△AOG≌△DOE．（3）解：分兩種情況討論，①如圖所示，設∠A=∠B=∠C=∠D=x°，則∠DOB=2x°，∵OB⊥CD，∴∠OED=90°，∴x+2x=90°，解得：x=30，即∠D=30°，在Rt△ODE中，OE=3，由勾股定理得：DE=62∵OC=OD，OE⊥CD，∴CD=2DE=63②當D與A重合時，如圖所示，同理，得：CD=63綜上所述，當A，O，D三點共線時，OB⊥CD，此時CD的長為63考查題型三根據中心對稱的性質求面積、線段長、角度1．如圖，△ABC和△DEF關于點O成中心對稱．(1)找出它們的對稱中心；(2)若AC=6，AB=5，，求△DEF的周長；(3)連接，CD，試判斷四邊形ACDF的形狀，并說明理由．【詳解】（1）如圖，點O為所作：（2）∵△ABC和△DEF關于點O成中心對稱，∴△ABC≌△DEF，∴DF=AC=6，DE=AB=5，EF=BC=4，∴△DEF的周長=4+5+6=15；（3）四邊形ACDF為平行四邊形．理由如下：∵△ABC和△DEF關于點O成中心對稱，∴OA=OD，OC=OF，∴四邊形ACDF為平行四邊形．2．如圖，△ABC與△DEF關于點O成中心對稱．(1)畫出對稱中心O；（保留作圖痕跡）(2)若BC=3，AC=4，AB=5，則△DEF的面積=．【詳解】（1）解：連接AD，CF，AD與CF的交點就是對稱中心O，如圖所示：（2）解：∵BC=3，AC=4，AB=5，∴BC∴△ABC為直角三角形，∵△ABC與△DEF關于點O成中心對稱，∴S△ABC3．如圖，△ABO與△CDO關于O點中心對稱，點E、F在線段AC上，且AF=求證：FD=BE．【詳解】證明：∵△ABO與△CDO關于O點中心對稱，∴OB=OD，OA=OC．∵AF=CE，∴OF=OE．∵在△DOF和△BOE中，OB=OD∠DOF=∠∴△DOF≌△BOE（SAS）．∴FD=BE．4．已知：如圖，三角形ABM與三角形ACM關于直線AF成軸對稱，三角形ABE與三角形DCE關于點E成中心對稱，點E、D、M都在線段AF上，BM的延長線交CF于點P．（1）求證：AC=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，請你判斷∠F與∠MCD的數量關系，并說明理由．【詳解】(1)證明：∵△ABM與△ACM關于直線AF成軸對稱，∴△ABM≌△ACM，∴AB=AC，又∵△ABE與△DCE關于點E成中心對稱，∴△ABE≌△DCE，∴AB=CD，∴AC=CD；(2)∠F=∠MCD.理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，∴設∠MPC=α，則∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，設∠BMA=β，則∠PMF=∠CMA=β，∴∠F=∠CPM?∠PMF=α?β，∠MCD=∠CDE?∠DMC=α?β，∴∠F=∠MCD.5．如圖，在長方形ABCD中，AB=4，BC=6．點P從點A出發，沿折線AB?BC以每秒2個單位的速度向點C運動，同時點Q從點C出發，沿CB以每秒1個單位的速度向點B運動，當點P到達點C時，點P、Q同時停止運動．設點P的運動時間為t秒．(1)當點P在邊BC上運動時，PB=______（用含t的代數式表示）；(2)當點P與點Q重合時，求t的值；(3)當BQ=2PB時，求t的值；(4)若點P關于點B的中心對稱點為點P'，直接寫出△PDP'和△QDC【詳解】（1）解：當2≤t≤5時，PB=2t-4，故答案為：（2t-4）（2≤t≤5）；（2）當t=2時，P,B重合，此時P,Q不重合，當P，Q重合時，2t-4+t=6，∴t=10（3）當BQ=2PB時，6-t=2（4-2t）或6-t=2（2t-4），解得，t=23或∴t=或t=145（4）當點P在AB上時，如圖甲所示，∴12×2（4-2t）×6=12×解得，t=12當點P在BC上時，如圖乙所示，∴12×2（2t-4）×4=12×t綜上所述，滿足條件的t的值為127或8考查題型四在方格紙中補畫圖使之成為中心對稱圖形1．如圖，點A、B、C都是格點（格點即每一個小正方形的頂點）．（1）在圖1中確定點D，并畫出以A、B、C、D為頂點的四邊形，使這個四邊形為軸對稱圖形（畫一個即可）；（2）在圖2中確定點E，并畫出以A、B、C、E為頂點的四邊形，使這個四邊形為中心對稱圖形（畫一個即可）．【詳解】解：（1）如圖1所示：則四邊形ABCD即為所求；（2）如圖2所示：則四邊形ABCE即為所求．2．圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1，點A、B均在格點上：只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上．(1)在圖①中畫一個△ABC，使其是軸對稱圖形且為銳角三角形．(2)在圖②中畫一個四邊形ADBE，使其是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形．(3)在圖③中畫一個四邊形AMBN，使其是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，且四條邊長均為無理數．【詳解】（1）解：如圖所示，等腰三角形ABC為所求．（答案不唯一）（2）解：根據題意，可以畫一個箏形或等腰梯形，如圖所示．（答案不唯一）（3）解：如圖所示，平行四邊形AMBN，邊長為：5、．（答案不唯一）3．圖①、圖②、圖③均為4×4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點A、B均在格點上，在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法．(1)在圖①中以AB為邊畫一個面積為3的三角形ABC．(2)在圖②中以AB為邊畫一個面積為5的中心對稱四邊形ABDE．(3)在圖③中以AB為邊畫一個面積為6的軸對稱四邊形ABFG．【詳解】（1）解：如圖，三角形ABC就是所要求做的圖形；（2）解：如圖，四邊形ABDE就是所要求做的圖形；（3）解：如圖，四邊形ABFG就是所要求做的圖形．4．圖①、圖②、圖③都是由邊長為1的小等邊三角形構成的網格，每個小等邊三角形的頂點稱為格點，已有兩個小等邊三角形涂上了黑色．(1)在圖①中，再涂黑兩個小等邊三角形，使得整個涂色部分圖形為軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形．(2)在圖②中，再涂黑兩個小等邊三角形，使得整個涂色部分圖形為中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形．(3)在圖③中，再涂黑兩個小等邊三角形，使得整個涂色部分圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．【詳解】（1）如圖①所示，陰影部分圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；（2）如圖②所示，陰影部分圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形；（3）如圖③所示，陰影部分圖形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．考查題型五已知兩點關于原點對稱求參數1．已知點P（2x，y2＋4）與Q（x2＋1，﹣4y）關于原點對稱，求x＋y的值．【詳解】解：∵點P（2x，y2+4）與Q（x2+1，﹣4y）關于原點對稱，∴x2+1+2x＝0，y2+4﹣4y＝0，∴（x+1）2＝0，（y﹣2）2＝0，解得：x＝﹣1，y＝2，∴x+y＝-1+2＝1．2．如圖，三角形PQR是三角形ABC經過某種變換后得到的圖形，分別觀察點A與點P，點B與點Q，點C與點R的坐標之間的關系．(1)直接寫出AC與y軸交點的坐標．(2)若三角形ABC內任意一點M的坐標為（a+3，4﹣b），點M經過上述變換后得到點N的坐標為（2a，2b﹣3），則a﹣b的值為．(3)若三角形PQR先向上平移3個單位，再向右平移4個單位得到三角形，畫出三角形并求三角形P'AC的面積．【詳解】（1）設直線AC的解析式為y＝kx+b，將A（4，3），C（1，2）代入，得4k+b=3k+b=2解得k=1∴直線AC的解析式為y＝，令x＝0，得y＝53∴直線AC與y軸交點的坐標為（0，53故答案為：（0，53（2）由圖可知，△ABC與△PQR是關于原點成中心對稱，∴可列方程?(a+3)=2a?(4?b)=2b?3解得a=?1b=?1∴a﹣b＝0，故答案為：0．（3）如圖，△P△P'AC3．已知拋物線．(1)求證：拋物線與x軸必有交點；(2)若該拋物線與直線y=2x的兩個交點關于原點對稱，求m的值．【詳解】（1）解：∵Δ=b∴拋物線與x軸必有交點；（2）解：依題意可設拋物線與直線的兩交點坐標分別為(a，2a)，(?a，?2a)，將兩點分別代入拋物線的解析式中，聯立得：2a=a解得m=?3．4．如圖所示，在平面直角坐標系中，△PQR是由△ABC經過某種變換后得到的圖形.⑴仔細觀察點A和點P，點B和點Q，點C和點R的坐標之間的關系，在這種變換下分別寫出這六個點的坐標，從中你發現什么特征？請你用文字語言將你發現的特征表達出來；⑵若△ABC內有一點M(2a+5,-1-3b)經過變換后，在△PRQ內的坐標為（-3，-2），根據你發現的特征，求關于x的方程2-ax=bx-3的解.【詳解】⑴A(4,3),B(3,1),C(1,2),P(-4,-3),Q(-3,-1),R(-1,-2),△ABC所在平面上各點與△PQR所在平面的對應點關于原點對稱.⑵由⑴得2a+5=3，?1?3b=2.解得∴2+x=-x-3，解得x=-52所以關于x的方程2-ax=bx-3的解為x=-52考查題型六圖案設計1．規定：在平面內，如果一個圖形繞一個定點旋轉一定的角度α（0°＜α≤180°）后能與自身重合，那么就稱這個圖形是旋轉對稱圖形，轉動的這個角度α稱為這個圖形的一個旋轉角．例如：正方形繞著兩條對角線的交點O旋轉90°或180°后，能與自身重合（如圖1），所以正方形是旋轉對稱圖形，且有兩個旋轉角．根據以上規定，回答問題：（1）下列圖形是旋轉對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是____