第二十七講正、余弦定理及應用一、復習目標要求（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。二、2022年命題預測對本講內容的考察主要涉及三角形的邊角轉化、三角形形狀的判斷、三角形內三角函數的求值以及三角恒等式的證明問題，立體幾何體的空間角以及解析幾何中的有關角等問題。今后高考的命題會以正弦定理、余弦定理為知識框架，以三角形為主要依托，結合實際應用問題考察正弦定理、余弦定理及應用。題型一般為選擇題、填空題，也可能是中、難度的解答題。三、知識精點講解1．直角三角形中各元素間的關系：如圖，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三邊之間的關系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關系：A＋B＝90°；（3）邊角之間的關系：（銳角三角函數定義）sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。2．斜三角形中各元素間的關系：如圖6-29，在△ABC中，A、B、C為其內角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。（1）三角形內角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。。（R為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面積公式：（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；（3）△＝＝＝；（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R為外接圓半徑）（5）△＝；（6）△＝；；（7）△＝r·s。4．解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形。解斜三角形的主要依據是：設△ABC的三邊為a、b、c，對應的三個角為A、B、C。（1）角與角關系：A+B+C=π；（2）邊與邊關系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b；（3）邊與角關系：正弦定理（R為外接圓半徑）；余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA；它們的變形形式有：a=2RsinA，，。5．三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。（1）角的變換因為在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）三角形邊、角關系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。r為三角形內切圓半徑，p為周長之半。（3）在△ABC中，熟記并會證明：∠A，∠B，∠C成等差數列的充分必要條件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數列且a，b，c成等比數列。四．典例解析題型1：正、余弦定理例1．（1）在中，已知，，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。解析：（1）根據三角形內角和定理，；根據正弦定理，；根據正弦定理，（2）根據正弦定理， 因為＜＜，所以，或①當時，，②當時，，點評：應用正弦定理時（1）應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形；（2）對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。例2．（1）在ABC中，已知，，，求b及A；（2）在ABC中，已知，，，解三角形解析：（1）∵=cos==∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos ∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜，即＜＜∴（2）由余弦定理的推論得：cos；cos ；點評：應用余弦定理時解法二應注意確定A的取值范圍。題型2：三角形面積例3．在中，，，，求的值和的面積。解法一：先解三角方程，求出角A的值。又,,。解法二：由計算它的對偶關系式的值。①,②①+②得。①－②得。從而。以下解法略去。點評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數學考查運算能力，是一道三角的基礎試題。兩種解法比較起來，你認為哪一種解法比較簡單呢？例4．（06年湖南）已知ΔABC的三個內角A、B．C成等差數列，其外接圓半徑為1，且有。（1）求A、B．C的大小；（2）求ΔABC的的面積。解析：∵A+B+C=180°且2B=A+C，∴B=60°，A+C=120°，C=120°－A。∵，∴=，又∵0°<A<180°，∴A=60°或A=105°，當A=60°時，B=60°，C=60°，當A=105°時，B=60°，C=15°，點評：要善于借助三角形內的部分變形條件，同時兼顧三角形的面積公式求得結果。題型3：與三角形邊角相關的問題例5．（1）（2022江蘇5）△ABC中，則△ABC的周長為（）A．B．C．D．（2）（06年全國2文，17）在，求（1）（2）若點解析：（1）答案：D解析：在中，由正弦定理得：化簡得AC=，化簡得AB=，所以三角形的周長為：3+AC+AB=3++=3+。故選D。（2）解：（1）由，，由正弦定理知，（2），。由余弦定理知：點評：本題考查了在三角形正弦定理的的運用，以及三角公式恒等變形、化簡等知識的運用。例6．在銳角中，角所對的邊分別為，已知，（1）求的值；（2）若，，求的值。解析：（1）因為銳角△ABC中，A＋B＋C＝，，所以cosA＝，則（2），則bc＝3。將a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：中，得解得b＝。點評：知道三角形邊外的元素如中線長、面積、周長等時，靈活逆用公式求得結果即可。題型4：三角形中求值問題例7．的三個內角為，求當A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。解析：由A+B+C=π，得eq\f(B+C,2)=eq\f(π,2)－eq\f(A,2)，所以有coseq\f(B+C,2)=sineq\f(A,2)。cosA+2coseq\f(B+C,2)=cosA+2sineq\f(A,2)=1－2sin2eq\f(A,2)+2sineq\f(A,2)=－2(sineq\f(A,2)－eq\f(1,2))2+eq\f(3,2)；當sineq\f(A,2)=eq\f(1,2)，即A=eq\f(π,3)時,cosA+2coseq\f(B+C,2)取得最大值為eq\f(3,2)。點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉化為關于一個角的三角函數的形式，通過三角函數的性質求得結果。例8．（06四川文，18）已知A、B、C是三內角，向量，且，（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若解析：（Ⅰ）∵∴，即，，；∵，∴，∴。（Ⅱ）由題知，整理得，∴∴；∴或，而使，舍去；∴。點評：本小題主要考察三角函數概念、同角三角函數的關系、兩角和與差的三角函數的公式以及倍角公式，考察應用、分析和計算能力。題型5：三角形中的三角恒等變換問題例9．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊長，已知a、b、c成等比數列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。分析：因給出的是a、b、c之間的等量關系，要求∠A，需找∠A與三邊的關系，故可用余弦定理。由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值。解法一：∵a、b、c成等比數列，∴b2=ac。又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，∴=sin60°=。解法二：在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB。∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。∴=sinA=。評述：解三角形時，找三邊一角之間的關系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關系常用正弦定理。例10．（2022京皖春，17）在△ABC中，已知A、B、C成等差數列，求的值。解析：因為A、B、C成等差數列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，從而＝60°，故tan.由兩角和的正切公式，得。所以。點評：在三角函數求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時結合三角變換公式的逆用。題型6：正、余弦定理判斷三角形形狀例11．（2022上海春，14）在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B點評：本題考查了三角形的基本性質，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑。例12．（06安徽理，11）如果的三個內角的余弦值分別等于的三個內角的正弦值，則（）A．和都是銳角三角形B．和都是鈍角三角形C．是鈍角三角形，是銳角三角形D．是銳角三角形，是鈍角三角形解析：的三個內角的余弦值均大于0，則是銳角三角形，若是銳角三角形，由，得，那么，，所以是鈍角三角形。故選D。點評：解決此類問題時要結合三角形內角和的取值問題，同時注意實施關于三角形內角的一些變形公式。北20北2010AB??C例13．（06上海理，18）如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到1）？解析：連接BC,由余弦定理得BC2=202+1022×20×10COS120°=700.于是,BC=10。∵，∴sin∠ACB=，∵∠ACB<90°，∴∠ACB=41°。∴乙船應朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援。點評：解三角形等內容提到高中來學習，又近年加強數形結合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中基本的數量關系即可過關。例14．（06江西理，19）如圖，已知△ABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點，線段MN經過△ABC的中心G，設MGA＝（）（1）試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S1與S2）；（2）表示為的函數，求y＝的最大值與最小值。解析：（1）因為G是邊長為1的正三角形ABC的中心，所以AG＝，MAG＝，由正弦定理得，則S1＝GMGAsin＝。同理可求得S2＝。（2）y＝＝＝72（3＋cot2）因為，所以當＝或＝時，y取得最大值ymax＝240，當＝時，y取得最小值ymin＝216。點評：三角函數有著廣泛的應用，本題就是一個典型的范例。通過引入角度，將圖形的語言轉化為三角的符號語言，再通過局部的換元，又將問題轉化為我們熟知的函數，這些解題思維的拐點，你能否很快的想到呢？五．思維總結1．解斜三角形的常規思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b；（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應用余弦定理求c邊；