物理物理第11講萬有引力定律目錄考點一天體質量和密度的計算 1考點二衛星運行參量的比較與計算 2考點三衛星變軌問題分析 4考點四宇宙速度的理解與計算 7考點五雙星或多星模型 10練出高分 13考點一天體質量和密度的計算1．解決天體(衛星)運動問題的基本思路(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2r,T2)(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg(g表示天體表面的重力加速度)．2．天體質量和密度的計算(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天體質量M＝eq\f(gR2,G)，天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).(2)通過觀察衛星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r.①由萬有引力等于向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天體質量M＝eq\f(4π2r3,GT2)；②若已知天體半徑R，則天體的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；③若天體的衛星在天體表面附近環繞天體運動，可認為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2).可見，只要測出衛星環繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度．（2023?昌平區二模）卡文迪什在1798年17卷《哲學學報》中發表他關于引力常量的測量時，曾提到他的實驗是為了確定出地球的密度。已知引力常量為G，要想估測地球的密度，只需測得（）A．地球的質量 B．地球的半徑 C．近地衛星的運行周期 D．地球表面的重力加速度（2023?茂名二模）2022年11月29日我國“神舟十五號”載人飛船發射成功，并通過一系列加速變軌后與距離地面400km的空間站交匯對接，萬有引力常量為G，下列說法正確的是（）A．變軌前A是空間站，B是飛船 B．飛船的發射速度可能小于7.9km/s C．完成對接后，飛船和空間站的運行周期大于24小時 D．若已知空間站的運行周期和地球半徑，可以測量地球密度（2023?邢臺模擬）宇宙飛船繞地球做勻速圓周運動，它的軌道距地心的距離等于地球半徑的k倍，它的運動周期為T，引力常量為G，則地球的平均密度ρ的表達式為（）A．??=3????3????2 B．??=3????3??2?? C．??=3??(??+1)3????2 D．??=3??(??+1)3????（2023?贛州二模）2022年10月9日，我國將衛星“夸父一號”成功送入太陽同步晨昏軌道。從宇宙中看，衛星一方面可視為繞地球做勻速圓周運動，軌道平面與地球的晨昏分界線共面，衛星軌道離地高度h≈720km，周期T1≈100分鐘。另一方面衛星隨地球繞太陽做勻速圓周運動，周期T2＝1年，衛星軌道平面能保持垂直太陽光線，如圖所示。已知地球的半徑為R，引力常量為G，則下列表述正確的是（）A．晨昏軌道平面與地球同步衛星軌道平面重合 B．根據以上信息可以估算出地球的質量 C．“夸父一號”的發射速度大于11.2km/s D．根據??3??23=(??+?)3??12可估算出地球到太陽的距離r（2023?河南模擬）如圖所示，某衛星繞地球做勻速圓周運動，從衛星觀測地球的最大張角為θ，已知地球的半徑為R，引力常量未知，忽略地球的自轉，下列說法正確的是（）A．θ越大，衛星的運行周期越長 B．θ越小，衛星的線速度越大 C．若衛星的周期已知，則可測得地球的質量 D．若衛星的線速度已知，則可測得地球表面的重力加速度考點二衛星運行參量的比較與計算1．衛星的各物理量隨軌道半徑變化的規律2．極地衛星和近地衛星(1)極地衛星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛星可以實現全球覆蓋．(2)近地衛星是在地球表面附近環繞地球做勻速圓周運動的衛星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9km/s.(3)兩種衛星的軌道平面一定通過地球的球心．（2023?漳州模擬）2022年7月24日，中國空間站間天實驗艙發射成功。中國空間站組建完成后，將從空間站中釋放伴隨衛星。如圖所示，空間站在離地高度約400km的圓軌道繞地球運行，伴隨衛星在橢圓軌道上繞地球運行，P、Q分別為伴隨衛星軌道的遠地點和近地點，伴隨衛星在P處時位于空間站正上方，伴隨衛星軌道半長軸與空間站軌道半徑相等，僅考慮地球的引力作用。則（）A．空間站的角速度小于地球同步衛星的角速度 B．空間站的線速度介于7.9km/s到11.2km/s之間 C．伴隨衛星運行到P點時，線速度比空間站的大 D．伴隨衛星繞地球的運行周期與空間站繞地球的運行周期相等（2023?青羊區校級模擬）2022年10月7日，中國太原衛星發射中心在黃海海域使用長征十一號海射運載火箭，采用“一箭雙星”方式，成功將微厘空間低軌導航試驗衛星發射升空，衛星順利進入預定軌道。設兩顆衛星軌道在赤道平面上，運行方向相同，運動周期也相同，其中a衛星為圓軌道，距離地面高度ha＝2R，b衛星為橢圓軌道，近地點M距離地面高度為遠地點N距離地面高度的一半，地球表面的重力加速度為g，a衛星線速度大小為v1，b衛星在近地點M時線速度大小為v2，在遠地點N時線速度大小為v3，地球半徑為R，P點為兩個軌道的交點。下列說法正確的是（）A．b衛星遠地點N距離地心距離為83R B．b衛星從N點運動到M點的時間為3??3???? C．v1＞v2＞v3 D．a衛星在P點受到地球的引力大于b衛星在N點受到地球的引力（2023?遂寧三模）“神舟十三號”飛船開始在半徑為r1的圓軌道Ⅰ上運行，運行周期為T1，在A點通過變軌操作后進入橢圓軌道Ⅱ運動，沿軌道Ⅱ運動到遠地點C時正好與處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ上的核心艙對接，A為橢圓軌道Ⅱ的近地點，BD為橢圓軌道Ⅱ的短軸。假設飛船質量始終不變，關于飛船的運動，下列說法正確的是（）A．沿軌道Ⅰ運行時的機械能等于沿軌道Ⅱ運行時的機械能 B．沿軌道Ⅰ運動到A時的速率大于沿軌道Ⅱ運動到C時的速率 C．沿軌道Ⅱ運行的周期為??12(??1+??32??1)3 D．沿軌道Ⅰ運動到A點時的加速度小于沿軌道Ⅱ運動到B點時的加速度（2023?虹口區二模）探測器“夸父A”在距地球約150萬公里的拉格朗日L1點，與地球一起以相同的公轉周期繞太陽做勻速圓周運動，用以監測太陽活動的發生及其伴生現象，則（）A．“夸父A”處于平衡狀態 B．在相同時間內，“夸父A”的位移相同 C．“夸父A”、地球繞太陽公轉的向心加速度相同 D．“夸父A”繞太陽公轉的加速度小于地球公轉的加速度（2023?包頭一模）如圖甲，兩小行星在同一平面內繞中心天體的運動可視為勻速圓周運動，測得兩小行星之間的距離Δr隨時間變化的關系如圖乙所示。下列說法正確的是（）（不考慮兩小行星之間的作用力）A．a星的運轉周期為T B．兩星的周期之比Ta：Tb＝1：4 C．兩星的線速度之比va：vb＝4：1 D．兩星的加速度之比aa：ab＝4：1考點三衛星變軌問題分析1．當衛星的速度突然增大時，Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，即萬有引力不足以提供向心力，衛星將做離心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，當衛星進入新的軌道穩定運行時由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其運行速度比原軌道時減小．2．當衛星的速度突然減小時，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，即萬有引力大于所需要的向心力，衛星將做近心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，當衛星進入新的軌道穩定運行時由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其運行速度比原軌道時增大．衛星的發射和回收就是利用這一原理．（2023?房山區一模）我國一箭多星技術居世界前列，一箭多星是用一枚運載火箭同時或先后將數顆衛星送入軌道的技術。某兩顆衛星釋放過程簡化為如圖所示，火箭運行至P點時，同時將A、B兩顆衛星送入預定軌道。A衛星進入軌道1做圓周運動，B衛星進入軌道2沿橢圓軌道運動，P點為橢圓軌道的近地點，Q點為遠地點，B衛星在Q點噴氣變軌到軌道3，之后繞地球做圓周運動。下列說法正確的是（）A．A衛星在P點的加速度大于B衛星在P點的加速度 B．A衛星在軌道1的速度小于B衛星在軌道3的速度 C．B衛星從軌道2上Q點變軌進入軌道3時需要噴氣減速 D．B衛星沿軌道2從P點運動到Q點過程中引力做負功（2023?道里區校級三模）“天問一號”從地球發射后，在如圖甲所示的P點沿地火轉移軌道運動到Q點，再依次進入如圖乙所示的調相軌道和停泊軌道，地球、火星繞太陽軌道可視為圓軌道。則“天問一號”（）A．發射速度介于7.9km/s與11.2km/s之間 B．從P點轉移到O點的時間小于6個月 C．在地火轉移軌道運動時的速度均大于地球繞太陽的速度 D．在環繞火星的停泊軌道運行的周期比在調相軌道上的周期小（2023?杭州二模）如圖所示，是某火星探測器簡化飛行路線圖，其地火轉移軌道是橢圓軌道。假設探測器在近日點P點進入地火轉移軌道，在遠日點Q，被火星俘獲。已知火星的軌道半徑是地球地火軌道半徑的1.5倍，則轉軌道（）A．地球公轉的周期大于火星公轉的周期 B．探測器進入地火轉移軌道后，速度逐漸增大 C．探測器在地火轉移軌道上的周期大于火星的公轉周期 D．探測器從發射到被火星俘獲，經歷的時間約255天（2023?南京模擬）2023年1月21日，神舟十五號3名航天員在400km高的空間站向祖國人民送上新春祝福，空間站的運行軌道可近似看作圓形軌道Ⅰ，設地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，橢圓軌道Ⅱ為載人飛船運行軌道，兩軌道相切于A點，下列說法正確的是（）A．在A點時神舟十五號經過點火加速才能從軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ B．飛船在A點的加速度小于空間站在A點的加速度 C．空間站在軌道Ⅰ上的速度小于???? D．軌道Ⅰ上的神舟十五號飛船想與前方的空間站對接，只需要沿運動方向加速即可（2023?湛江一模）2022年11月30日，神舟十五號載人飛船與“天和核心艙”完成對接，航天員費俊龍、鄧清明、張陸進入“天和核心艙”。對接過程的示意圖如圖所示，“天和核心艙”處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ；神舟十五號飛船處于半徑為r1的圓軌道Ⅰ，運行周期為T1，通過變軌操作后，沿橢圓軌道Ⅱ運動到B處與“天和核心艙”對接。則神舟十五號飛船（）A．由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ需在A點減速 B．沿軌道Ⅱ運行的周期為T2＝T1(2??1??1+??3)3 C．在軌道Ⅰ上A點的加速度大于在軌道Ⅱ上A點的加速度 D．在軌道Ⅲ上B點的線速度大于在軌道Ⅱ上B點的線速度考點四宇宙速度的理解與計算1．第一宇宙速度又叫環繞速度．推導過程為：由mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)＝eq\f(GMm,R2)得：v1＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(gR)＝7.9km/s.2．第一宇宙速度是人造地球衛星在地面附近環繞地球做勻速圓周運動時具有的速度．3．第一宇宙速度是人造衛星的最大環繞速度，也是人造地球衛星的最小發射速度．注意(1)兩種周期——自轉周期和公轉周期的不同．(2)兩種速度——環繞速度與發射速度的不同，最大環繞速度等于最小發射速度．(3)兩個半徑——天體半徑R和衛星軌道半徑r的不同．(4)第二宇宙速度(脫離速度)：v2＝11.2km/s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度．(5)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7km/s，使物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度．（2023?滁州二模）地球環境的變化，大家都是有目共睹的，也許將來有一天真的不再適合人類居住，電影《流浪地球》里的選擇是帶著地球一起流浪，而現實中，有人選擇移居火星。火星是靠近地球的類地行星，已知地球質量約為火星質量的10倍，地球半徑約為火星半徑的2倍；設地球的公轉周期為T、地球表面的重力加速度為g、地球的第一宇宙速度為v、地球的密度為ρ，則（）A．火星的公轉周期為22?? B．火星表面的重力加速度約為25?? C．火星的第一宇宙速度約為15?? D．火星的密度約為54??（2023?聊城一模）材料的力學強度是材料眾多性能中被人們極為看重的一種性能，目前已發現的高強度材料碳納米管的抗拉強度是鋼的100倍，密度是鋼的16，這使得人們有望在赤道上建造垂直于水平面的“太空電梯”。當航天員乘坐“太空電梯”時，地球引力對航天員產生的加速度a與r的關系用圖乙中圖線A表示，航天員由于地球自轉而產生的向心加速度大小與r的關系用圖線B表示，其中r為航天員到地心的距離，R為地球半徑。關于相對地面靜止在不同高度的航天員，下列說法正確的是（）A．航天員在r＝R處的線速度等于第一宇宙速度 B．圖中r0為地球同步衛星的軌道半徑 C．隨著r增大，航天員運動的線速度一直減小 D．隨著r增大，航天員受到電梯艙的彈力減小（多選）（2023?蚌埠模擬）2021年5月15日，我國“祝融號”火星車在火星表面軟著陸時，豎直向下經t時間由速度v0勻減速到零完成平穩降落。已知火星車的質量為m，火星質量是地球的a倍，火星半徑是地球的b倍，地球表面重力加速度為g，不計火星的大氣阻力，則（）A．減速過程著陸器的位移為v0t B．火星的平均密度是地球的????2倍 C．火星的第一宇宙速度是地球的????倍 D．減速過程中著陸器受到的制動力大小為??(????2??+??0??)（多選）（2023?山西模擬）“祝融號”火星探測器于2021年5月22日成功著陸火星，至今依然活躍。若測得火星表面赤道位置的重力加速度為g，而兩極的重力加速度為g0，且知火星自轉周期T，并將火星視為理想勻質球體，則下列判斷中正確的有（）A．火星的半徑為(??0???)??24??2 B．火星的半徑為(?????0)??24??2 C．火星的第一宇宙速度為??2????0(??0???) D．火星的第一宇宙速度為??2????(?????0)（多選）（2020?岳陽一模）在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系如圖中P線所示．在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a﹣x關系如圖中Q線所示．已知M、N兩星球的半徑相等，不計星球表面的氣體阻力，則（）A．M、N星球表面的重力加速度大小之比是2：1 B．P、Q的質量大小之比是1：5 C．P、Q下落的最大速度之比是2：1 D．M、N兩星球的第一宇宙速度之比是2：1考點五雙星或多星模型繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統，我們稱之為雙星系統，如圖6所示，雙星系統模型有以下特點：圖6(1)各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2(2)兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2(3)兩顆星的半徑與它們之間的距離關系為：r1＋r2＝L(4)兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)(5)雙星的運動周期T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))(6)雙星的總質量公式m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)（2023?河北模擬）科學家觀測發現銀河系的“MAXIJ1820+070”是一個由黑洞和恒星組成的雙星系統，若系統中黑洞與恒星的中心距離為L，黑洞做勻速圓周運動的加速度為a，恒星做勻速圓周運動的加速度為a?，則黑洞做圓周運動的半徑為（）A．??????+??' B．?????????' C．2??????+??' D．2?????????'“雙星系統”由相距較近的星球組成，每個星球的半徑均遠小于兩者之間的距離，而且雙星系統一般遠離其他天體，它們在彼此的萬有引力作用下，繞某一點O做勻速圓周運動。如圖所示，某一雙星系統中A星球的質量為m1，B星球的質量為m2，它們球心之間的距離為L，引力常量為G，則下列說法正確的是（）A．B星球的軌道半徑為??2??1+??2?? B．A星球運行的周期為2????????(??1+??2) C．A星球和B星球的線速度大小之比為m1：m2 D．若在O點放一個質點，則它受到兩星球的引力之和一定為零（2023?南充模擬）“黑洞”是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋“黑洞”的方案之一是觀測雙星系統的運動規律。天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發現了LMCX﹣3雙星系統，它由可見星A和不可見的暗星B構成。不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，若將可見星A所受暗星B的引力等效為位于O點處質量為m'的星體對它的引力，設A和B的質量分別為m1、m2，則（）A．??'=??12??1+??2 B．??'=??22??1+??2 C．??'=??13(??1+??2)2 D．??'=??23(??1+??2)2（2022?江門模擬）宇宙用有一孤立星系，中心天體對周圍有三顆行星，如圖所示，中心天體質量大于行星質量，不考慮行星之間的萬有引力，行星Ⅰ、Ⅲ為圓軌道，半徑分別為r1，r3，行星Ⅱ為橢圓軌道，半長軸為a，a＝r3，與行星Ⅰ軌道在B點相切，下列說法正確的是（）A．行星Ⅱ與行星Ⅲ的運行周期相等 B．行星Ⅱ在P點與行星Ⅲ在D點時的加速度相同 C．行星Ⅲ的速率大于行星Ⅱ在B點的速率 D．行星Ⅰ的速率與行星Ⅱ在B點的速率相等（多選）近年科學研究發現，在宇宙中，三恒星系統約占所有恒星系統的十分之一，可見此系統是一個比較常見且穩定的系統。在三恒星系統中存在這樣一種運動形式：忽略其他星體對它們的作用，三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在平面內以相同角速度做勻速圓周運動。如圖所示為A、B、C三顆星體質量mA、mB、mC大小不同時，星體運動軌跡的一般情況。設三顆星體在任意時刻受到的萬有引力的合力大小分別為F1、F2、F3，加速度大小分別為a1、a2、a3，星體軌跡半徑分別為RA、RB、RC，下列說法正確的是（）A．若三顆星體質量關系有mA＝mB＝mC，則三顆星體運動軌跡圓為同一個 B．若三顆星體運動軌跡半徑關系有RA＜RB＜RC，則三顆星體質量大小關系為mA＜mB＜mC C．F1、F2、F3的矢量和一定為0，與星體質量無關 D．a1、a2、a3的矢量和一定為0，與星體質量無關練出高分一．選擇題（共10小題）1．（2023?河北區二模）據中國載人航天工程辦公室消息，中國空間站已全面建成，我國載人航天工程“三步走”發展戰略已從構想成為現實。目前，空間站組合體在軌穩定運行，神舟十五號航天員乘組狀態良好，計劃于今年6月返回地面。空間站繞地球飛行的軌道可視為圓軌道。空間站運行軌道距地面的高度為400km左右，地球同步衛星距地面的高度接近36000km。則空間站的（）A．角速度比地球同步衛星的小 B．周期比地球同步衛星的長 C．線速度比地球同步衛星的小 D．向心加速度比地球同步衛星的大2．（2023?潮州二模）2022年11月29日神舟十五號飛船在酒泉衛星發射中心成功發射升空，飛船入軌后按照預定程序，成功與我國空間站軌道核心艙進行自主快速交會對接。已知空間站運行在離地面高為116??的圓軌道上（R為地球半徑），下列說法正確的是（）A．空間站在軌道上飛行的速度大于9km/s B．空間站中的一根天線脫落將做自由落體運動 C．成功對接后，空間站由于質量增大，軌道半徑將變小 D．入軌后飛船內的宇航員所受地球的萬有引力大小約為他在地面時的(1617)23．（2023?豐臺區二模）兩個天體組成雙星系統，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動。科學家在地球上用望遠鏡觀測由兩個小行星構成的雙星系統，看到一個亮度周期性變化的光點，這是因為當其中一個天體擋住另一個天體時，光點亮度會減弱。科學家用航天器以某速度撞擊該雙星系統中較小的小行星，撞擊后，科學家觀測到光點明暗變化的時間間隔變短。不考慮撞擊后雙星系統的質量變化。根據上述材料，下列說法正確的是（）A．被航天器撞擊后，雙星系統的運動周期變大 B．被航天器撞擊后，兩個小行星中心連線的距離增大 C．被航天器撞擊后，雙星系統的引力勢能減小 D．小行星質量越大，其運動的軌道越容易被改變4．（2023?重慶模擬）圖1為電影《流浪地球2》中的太空電梯，又稱為“斯科拉門德快速電梯”，是一種可以在地球表面和太空間來回運輸人員和物資的巨型結構。圖2為其簡易圖，固定在空間站和地球間的剛性“繩索”與空間站一起和地球保持相對靜止，電梯可沿“繩索”升降，則（）A．空間站繞地球運行的向心力小于地球對它的萬有引力 B．空間站繞地球運行的向心力等于地球對它的萬有引力 C．若連接空間站處的“繩索”斷裂，空間站將落回地面 D．若連接空間站處的“繩索”斷裂，空間站做離心運動5．（2023?滄州一模）科幻電影《流浪地球》中，地球需借助木星的“引力彈弓”效應加速才能成功逃離太陽系。然而由于行星發動機發生故障使得地球一度逼近木星的“洛希極限”，險象環生。“洛希極限”是一個距離，可粗略認為當地球與木星的球心間距等于該值時，木星對地球上物體的引力約等于其在地球上的重力，地球將會傾向碎散。已知木星的“洛希極限”??≈32??木，其中R木為木星的半徑，約為地球半徑R的11倍。則根據上述條件可估算出（）A．木星的第一宇宙速度約為7.9km/s B．木星的第一宇宙速度約為16.7km/s C．木星的質量約為地球質量的94倍 D．木星的密度約為地球密度的944倍6．（2023?上饒一模）北京時間2023年1月15日11時14分，我國在太原衛星發射中心使用長征二號丁運載火箭，以“一箭十四星”發射方式，成功將齊魯二號/三號衛星及珞珈三號01星、吉林一號高分03D34星等4顆衛星發射升空，衛星順利進入預定軌道，發射任務獲得圓滿成功．假設其中的甲、乙兩顆衛星均繞地球做勻速圓周運動，甲的軌道半徑是乙的2倍，甲的質量也是乙的2倍．則（）A．由v=????可知，甲的速度是乙的2倍 B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍 C．由F＝G??????2可知，甲的向心力是乙的14 D．由??3??2=k可知，甲的周期是乙的22倍7．（2023?安慶模擬）中國原創科幻電影《流浪地球2》近期火爆全球，片中高聳入云、連接天地的太空電梯運行場景令人震撼，其通過高強度纜繩將地球同步軌道上的空間站與其正下方赤道上的固定物連接在一起，在引力的作用下，纜繩處于緊繃狀態。若載滿乘客的太空電梯因機械故障懸停在纜繩中間處，下列說法正確的是（）A．懸停時太空電梯所受合外力為零 B．懸停時電梯內乘客處于完全失重狀態 C．懸停時太空電梯的速度大于空間站的速度 D．懸停時太空電梯的速度小于在同樣高度繞地球做圓周運動的衛星的速度8．（2023?通州區一模）2022年6月5日，我國的神舟十四號載人飛船與距地表約400km的空間站完成徑向交會對接。徑向交會對接是指飛船沿與空間站運動方向垂直的方向和空間站完成對接。對接前，飛船在空間站正下方200米的“保持點”處調整為垂直姿態（如圖所示），并保持相對靜止。準備好后，再逐步上升到“對接點”與空間站完成對接。飛船和空間站對接后，組合體繞地球做勻速圓周運動。已知地球同步衛星位于地面上方高度約36000km處。下列說法正確的是（）A．飛船維持在“保持點”的狀態時，它的運動速度大于空間站運動速度 B．飛船維持在“保持點”的狀態時，需要開動發動機給飛船提供一個背離地心的推力 C．與地球同步衛星相比，組合體的運動周期更大 D．飛船一直加速才能從“保持點”上升到“對接點”9．（2023?黃山模擬）三月春來早，北斗農機來報到，基于北斗的自動駕駛農機能夠按照既定路線進行精準春耕作業，精細化程度顯著提升，雖然我國的北斗系統起步最晚，但“后來居上”，成為可與美國GPS媲美的最先進的全球導航定位系統。如圖是北斗三號衛星系統三種衛星的參數，地球球體半徑為6400km，以下說法正確的是（）表1北斗三號衛星功能特點北斗衛星MEO衛星（24）GEO衛星（3）IGSO衛星（3）名稱中圓軌道衛星地球靜止軌道衛星傾斜地球同步軌道衛星軌道高度2萬公里左右，三個軌道面，保持55°的傾角3.6萬公里左右3.6萬公里左右星下點估計繞著地區劃波浪投影一個點鎖定區域畫8字功能特點環繞地球運行實現全球導航定位、短報文通信、國際救援承載區域短報文通信與GEO互補，對亞太區域可重點服務A．MEO衛星速度大于7.9km/s B．GEO衛星可以相對靜止在我國某地上空 C．GEO衛星和IGSO衛星24h一定會相遇一次 D．MEO衛星周期T一定小于24h10．（2023?凱里市校級模擬）北京時間2022年11月29日23點08分，我國成功發射神舟十五號載人飛船，在太空與在軌的神舟十四號乘組對接，這是我國航天史上首次實現兩載人飛船在太空中對接。神舟十五號載人飛船和在軌的神舟十四號載人飛船對接前運行可簡化為勻速圓周運動，如圖所示，神舟十五飛船繞A軌道運行的周期為T1，神舟十四號飛船繞B軌道運行的周期為T2，在某時刻兩飛船相距最近，軌道B離地高度約為400km。下列說法正確的是（）A．兩飛船下一次相距最近需經過時間??=??1??2??1+??2 B．神舟十五、十四兩飛船繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑之比為(??1??2)23 C．神舟十五號飛船要與在軌的神舟十四號飛船對接，需要向其運動方向噴氣 D．神舟十五號飛船對接后的向心加速度小于地球赤道上物體隨地球自轉的向心加速度二．計算題（共3小題）11．（2023?西城區二模）建立物理模型是解決實際問題的重要方法。（1）如圖1所示，圓和橢圓是分析衛星運動時常用的模型。已知，地球質量為M，半徑為R，萬有引力常量為G。a．衛星在近地軌道Ⅰ上圍繞地球的運動，可視做勻速圓周運動，軌道半徑近似等于地球半徑。求衛星在近地軌道Ⅰ上的運行速度大小v。b．在P點進行變軌操作，可使衛星由近地軌道Ⅰ進入橢圓軌道Ⅱ。衛星沿橢圓軌道運動的情況較為復雜，研究時我們可以把橢圓分割為許多很短的小段，衛星在每小段的運動都可以看作是圓周運動的一部分（如圖2所示）。這樣，在分析衛星經過橢圓上某位置的運動時，就可以按其等效的圓周運動來分析和處理。衛星在橢圓軌道Ⅱ的近地點P的速度為v1，在遠地點D的速度為v2，遠地點D到地心的距離為r。根據開普勒第二定律（對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等）可知v1R＝v2r，請你根據萬有引力定律和牛頓運動定律推導這一結論。（2）在科幻電影《流浪地球》中有這樣一個場景：地球在木星的強大引力作用下，加速向木星靠近，當地球與木星球心之間的距離小于某個值d時，地球表面物體就會被木星吸走，進而導致地球可能被撕裂。這個臨界距離d被稱為“洛希極限”。已知，木星和地球的密度分別為ρ0和ρ，木星和地球的半徑分別為R0和R，且d?R。請據此近似推導木星使地球產生撕裂危險的臨界距離d—“洛希極限”的表達式。【提示：當x很小時，（1+x）n≈1+nx。】12．（2023?銅仁市模擬）我國航天技術水平在世界處于領先地位，對于人造衛星的發射，有人提出了利用“地球隧道”發射人造衛星的構想：沿地球的一條弦挖一通道，在通道的兩個出口處分別將等質量的待發射衛星部件同時釋放，部件將在通道中間位置“碰撞組裝”成衛星并靜止下來；另在通道的出口處由靜止釋放一個大質量物體，大質量物體會在通道與待發射的衛星碰撞，只要物體質量相比衛星質量足夠大，衛星獲得足夠速度就會從對向通道口射出。（以下計算中，已知地球的質量為M0，地球半徑為R0，引力常量為G，可忽略通道AB的內徑大小和地球自轉影響。）（1）如圖甲所示，將一個質量為m0的質點置于質量分布均勻的球形天體內，質點離球心O的距離為r。已知天體內部半徑在r～R之間的“球殼”部分（如甲示陰影部分）對質點的萬有引力為零，求質點所受萬有引力的大小Fr。（2）如圖乙所示，設想在地球上距地心h處沿弦長方向挖了一條光滑通道AB，一個質量為m。的質點在離通道中心O'的距離為x處，求質點所受萬有引力沿弦AB方向的分力Fx；將該質點從A點靜止釋放，求質點到達通道中心O'處時的速度大小v0。（3）如圖丙所示，如果質量為m的待發射衛星已靜止在通道中心O'處，由A處靜止釋放另一質量為M的物體，物體到達O'處與衛星發生彈性正碰，設M遠大于m，計算時可取????≈0。衛星從圖丙示通道右側B處飛出，為使飛出速度達到地球第一宇宙速度，h應為多大？13．（2022?西城區校級四模）“星空浩瀚無比，探索永無止境。”人類從未停止對宇宙的探索，中國航天事業正在創造更大的輝煌。（1）變軌技術是航天器入軌過程中的重要一環。實際航行中的變軌過程較為復雜，為方便研究我們將航天器的變軌過程簡化為如圖1所示的模型：①將航天器發射到近地圓軌道1上；②在A點點火加速使航天器沿橢圓軌道2運行，軌道1和軌道2相切于A點，A、B分別為軌道2的近地點與遠地點，地球的中心位于橢圓的一個焦點；③在遠地點B再次點火加速，航天器沿圓軌道3運行，軌道2和軌道3相切于B點。已知引力常量為G，地球的質量為M，軌道1半徑為R，軌道3半徑為3R，質量為m的物體與地球間的引力勢能????=?????????（r為物體到地心的距離，取無窮遠處引力勢能為零）。a.求航天器在圓軌道1上運行時的速度大小v；b.開普勒第二定律表明：航天器在橢圓軌道2上運行時，它與地球中心的連線在相等的時間內掃過的面積相等。請根據開普勒第二定律和能量守恒定律，求航天器在橢圓軌道2近地點A的速度大小vA。（2）在航天器到達預定高度后，通常使用離子推進器作為動力裝置再進行姿態和軌道的微小修正。如圖2所示，推進劑從P處注入，在A處電離出正離子，B、C之間加有恒定電壓U，正離子進入B時的速度忽略不計，經加速形成電流為I的離子束后噴出。已知單位時間內噴出的離子質量為m0。為研究方便，假定離子推進器在太空飛行時不受其它外力，忽略推進器運動的速度。求推進器獲得的推力的大小F。第11講萬有引力定律目錄考點一天體質量和密度的計算 1考點二衛星運行參量的比較與計算 2考點三衛星變軌問題分析 6考點四宇宙速度的理解與計算 11考點五雙星或多星模型 16練出高分 22考點一天體質量和密度的計算1．解決天體(衛星)運動問題的基本思路(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2r,T2)(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg(g表示天體表面的重力加速度)．2．天體質量和密度的計算(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天體質量M＝eq\f(gR2,G)，天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).(2)通過觀察衛星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r.①由萬有引力等于向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天體質量M＝eq\f(4π2r3,GT2)；②若已知天體半徑R，則天體的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；③若天體的衛星在天體表面附近環繞天體運動，可認為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2).可見，只要測出衛星環繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度．（2023?昌平區二模）卡文迪什在1798年17卷《哲學學報》中發表他關于引力常量的測量時，曾提到他的實驗是為了確定出地球的密度。已知引力常量為G，要想估測地球的密度，只需測得（）A．地球的質量 B．地球的半徑 C．近地衛星的運行周期 D．地球表面的重力加速度【解答】解：ABD、根據萬有引力與重力的關系有????????2=mg解得M=????2??可解得：ρ=????=??43????3，或ρ=3??4??????可知只測得地球的質量、或地球的半徑、或地球表面的重力加速度，均不能估測地球的密度，故ABD錯誤；C、對于質量為m的近地衛星，設其運行周期為T，根據萬有引力提供向心力得：????????2=??(2????)2??結合ρ=????=??43????3，可得ρ=3??????2，可知已知G，只需測得近地衛星的運行周期，就能估測地球的密度，故C正確。故選：C。（2023?茂名二模）2022年11月29日我國“神舟十五號”載人飛船發射成功，并通過一系列加速變軌后與距離地面400km的空間站交匯對接，萬有引力常量為G，下列說法正確的是（）A．變軌前A是空間站，B是飛船 B．飛船的發射速度可能小于7.9km/s C．完成對接后，飛船和空間站的運行周期大于24小時 D．若已知空間站的運行周期和地球半徑，可以測量地球密度【解答】解：A、飛船加速后將做離心運動，軌道半徑增大，則變軌前A是飛船，B是空間站，故A錯誤；B、7.9km/s是最小的發射速度，可知飛船的發射速度大于7.9km/s，故B錯誤；C、根據萬有引力提供向心力，得G??????2=m4??2??2r，得T＝2π??3????，完成對接后，飛船和空間站的軌道半徑小于地球同步衛星的軌道半徑，所以完成對接后，飛船和空間站的運行周期小于地球同步衛星的運行周期24h，故C錯誤；D、根據地球半徑和空間站距離地面的高度，可以得到空間站的軌道半徑，由G??????2=m4??2??2r，得M=4??2??3????2，即可以求出地球的質量。由地球半徑能求出地球的體積，因而能求出地球的密度，故D正確。故選：D。（2023?邢臺模擬）宇宙飛船繞地球做勻速圓周運動，它的軌道距地心的距離等于地球半徑的k倍，它的運動周期為T，引力常量為G，則地球的平均密度ρ的表達式為（）A．??=3????3????2 B．??=3????3??2?? C．??=3??(??+1)3????2 D．??=3??(??+1)3????【解答】解：根據萬有引力提供向心力可得：????????2=mr4??2??2，解得中心天體的質量為：M=4??2??3????2，其中r＝kR根據密度的計算公式ρ=????，其中V=43????3聯立解得：??=3????3????2，故A正確、BCD錯誤。故選：A。（2023?贛州二模）2022年10月9日，我國將衛星“夸父一號”成功送入太陽同步晨昏軌道。從宇宙中看，衛星一方面可視為繞地球做勻速圓周運動，軌道平面與地球的晨昏分界線共面，衛星軌道離地高度h≈720km，周期T1≈100分鐘。另一方面衛星隨地球繞太陽做勻速圓周運動，周期T2＝1年，衛星軌道平面能保持垂直太陽光線，如圖所示。已知地球的半徑為R，引力常量為G，則下列表述正確的是（）A．晨昏軌道平面與地球同步衛星軌道平面重合 B．根據以上信息可以估算出地球的質量 C．“夸父一號”的發射速度大于11.2km/s D．根據??3??23=(??+?)3??12可估算出地球到太陽的距離r【解答】解：A、晨昏軌道與地球經線平面重合，同步衛星軌道與赤道平面重合，所以兩個軌道平面不重合，故A錯誤；B、根據萬有引力提供向心力有：??????(??+?)=??(??+?)4??2??2，可計算地球質量，故B正確；C、“夸父一號”的發射速度大于第一宇宙速度，即7.9km/s，小于第二宇宙速度，即11.2km/s，故C錯誤；D、因為衛星環繞的中心天體是地球，地球環繞的中心天體是太陽，所以D選項公式兩邊不相等，故D錯誤。故選：B。（2023?河南模擬）如圖所示，某衛星繞地球做勻速圓周運動，從衛星觀測地球的最大張角為θ，已知地球的半徑為R，引力常量未知，忽略地球的自轉，下列說法正確的是（）A．θ越大，衛星的運行周期越長 B．θ越小，衛星的線速度越大 C．若衛星的周期已知，則可測得地球的質量 D．若衛星的線速度已知，則可測得地球表面的重力加速度【解答】解：A．由幾何關系可知衛星運行的半徑為r=??????????2故θ越大，衛星運行的半徑越小，又由開普勒第三定律可知??3??2=k因此θ越大，衛星運行的半徑越小，周期也越小，故A錯誤；B．由萬有引力提供向心力有????????2=m??2??可得衛星的線速度為v=??????可知θ越小，飛行軌道半徑越大，速度越小，故B錯誤；C．設地球的質量為M，衛星質量為m，周期為T。對于衛星，根據萬有引力提供向心力得????????2=mr4??2??2由于r=??????????2代入可得M=4??2??3????2(????????2)3由于引力常量G未知，因此不能測得地球的質量，故C錯誤；D．由萬有引力與重力的關系有????????2=mg可得v=????????????2已知飛行器線速度v可以得到重力加速度g，故D正確。故選：D。考點二衛星運行參量的比較與計算1．衛星的各物理量隨軌道半徑變化的規律2．極地衛星和近地衛星(1)極地衛星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛星可以實現全球覆蓋．(2)近地衛星是在地球表面附近環繞地球做勻速圓周運動的衛星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9km/s.(3)兩種衛星的軌道平面一定通過地球的球心．（2023?漳州模擬）2022年7月24日，中國空間站間天實驗艙發射成功。中國空間站組建完成后，將從空間站中釋放伴隨衛星。如圖所示，空間站在離地高度約400km的圓軌道繞地球運行，伴隨衛星在橢圓軌道上繞地球運行，P、Q分別為伴隨衛星軌道的遠地點和近地點，伴隨衛星在P處時位于空間站正上方，伴隨衛星軌道半長軸與空間站軌道半徑相等，僅考慮地球的引力作用。則（）A．空間站的角速度小于地球同步衛星的角速度 B．空間站的線速度介于7.9km/s到11.2km/s之間 C．伴隨衛星運行到P點時，線速度比空間站的大 D．伴隨衛星繞地球的運行周期與空間站繞地球的運行周期相等【解答】解：A、衛星繞地球運行時，由????????2=????2??可得，??=??????3知軌道半徑越小，角速度越大，因此空間站的角速度大于地球同步衛星的角速度，故A錯誤；B、第一宇宙速度是最大運行速度，因此空間站的線速度小于7.9km/s，故B錯誤；C、伴隨衛星過P點做近心運動，所以伴隨衛星在P點線速度小于過P點的外切圓軌道的線速度。由????????2=????2??，可得??=??????可知外切圓軌道的線速度小于空間站的線速度。所以伴隨衛星運行到P點時，線速度比空間站的小，故C錯誤；D、由開普勒第三定律??3??2=??可知，伴隨衛星繞地球的運行周期與空間站繞地球的運行周期相等，故D正確。故選：D。（2023?青羊區校級模擬）2022年10月7日，中國太原衛星發射中心在黃海海域使用長征十一號海射運載火箭，采用“一箭雙星”方式，成功將微厘空間低軌導航試驗衛星發射升空，衛星順利進入預定軌道。設兩顆衛星軌道在赤道平面上，運行方向相同，運動周期也相同，其中a衛星為圓軌道，距離地面高度ha＝2R，b衛星為橢圓軌道，近地點M距離地面高度為遠地點N距離地面高度的一半，地球表面的重力加速度為g，a衛星線速度大小為v1，b衛星在近地點M時線速度大小為v2，在遠地點N時線速度大小為v3，地球半徑為R，P點為兩個軌道的交點。下列說法正確的是（）A．b衛星遠地點N距離地心距離為83R B．b衛星從N點運動到M點的時間為3??3???? C．v1＞v2＞v3 D．a衛星在P點受到地球的引力大于b衛星在N點受到地球的引力【解答】解：A、設b衛星運行的橢圓軌道半長軸為a0，根據開普勒第三定律有：(2??+??)3??2=??03??2解得：a0＝3R設近地點M距離地面高度為h0，由幾何關系有：h0+2h0+2R＝2a0＝6R代入數據解得：?0=43??，故b衛星遠地點N距離地面高度為83??，故A錯誤；B、對衛星a有：??????(3??)2=m?(2????)2?3R在地球表面上的物體m′有：??????'??2=??'??聯立以上幾式解得：??=2??27????故b衛星從N點運動到M點時間為：??=12??=??27????=3??3????，故B正確；C、同一橢圓軌道上從N點到M點，根據開普勒第二定律可知v2＞v3。按離心運動的原理，衛星b由N點運動到P點時速度在增大，分析可知若在P點點火加速可進入圓形a軌道，可得v1＞v3；同理，根據近心運動的原理，衛星b在近地點M減速可進入以M點高度所在處的圓軌道，根據萬有引力公式可知當衛星圍繞地球做圓周運動時軌道越高，速度越小，所以可知衛星a的速度小于M點高度所在處的圓軌道的速度。即衛星b在近地點M的速度大于衛星a的速度，所以有v2＞v1＞v3，故C錯誤；D、根據萬有引力公式，a、b兩衛星在P點時到地球的距離相等，由于兩衛星的質量關系未知，所以無法判斷受到地球引力大小關系，故D錯誤。故選：B。（2023?遂寧三模）“神舟十三號”飛船開始在半徑為r1的圓軌道Ⅰ上運行，運行周期為T1，在A點通過變軌操作后進入橢圓軌道Ⅱ運動，沿軌道Ⅱ運動到遠地點C時正好與處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ上的核心艙對接，A為橢圓軌道Ⅱ的近地點，BD為橢圓軌道Ⅱ的短軸。假設飛船質量始終不變，關于飛船的運動，下列說法正確的是（）A．沿軌道Ⅰ運行時的機械能等于沿軌道Ⅱ運行時的機械能 B．沿軌道Ⅰ運動到A時的速率大于沿軌道Ⅱ運動到C時的速率 C．沿軌道Ⅱ運行的周期為??12(??1+??32??1)3 D．沿軌道Ⅰ運動到A點時的加速度小于沿軌道Ⅱ運動到B點時的加速度【解答】解：A、飛船從軌道Ⅰ轉移到軌道Ⅱ，需要在A點加速，機械能增加，則沿軌道Ⅰ運行時的機械能小于沿軌道Ⅱ運行時的機械能，故A錯誤；B、飛船在軌道Ⅰ和軌道Ⅲ上運行時，根據萬有引力提供向心力，有G??????2=m??2??，解得v=??????，則知vⅠ＞vⅢ。飛船從軌道Ⅱ轉移到軌道Ⅲ，需要在C點加速，則沿軌道Ⅱ運動到C時的速率vⅡC＜vⅢ，則vⅠ＞vⅡC，即知沿軌道Ⅰ運動到A時的速率大于沿軌道Ⅱ運動到C時的速率，故B正確；C、根據開普勒第三定律有：??13??12=(??1+??32)3??22，解得沿軌道Ⅱ運行的周期為T2＝T1(??1+??32??1)3，故C錯誤；D、由牛頓第二定律有G??????2=ma，得加速度a=??????2，A點到地心的距離比B點的小，所以沿軌道Ⅰ運動到A點時的加速度大于沿軌道Ⅱ運動到B點時的加速度，故D錯誤。故選：B。（2023?虹口區二模）探測器“夸父A”在距地球約150萬公里的拉格朗日L1點，與地球一起以相同的公轉周期繞太陽做勻速圓周運動，用以監測太陽活動的發生及其伴生現象，則（）A．“夸父A”處于平衡狀態 B．在相同時間內，“夸父A”的位移相同 C．“夸父A”、地球繞太陽公轉的向心加速度相同 D．“夸父A”繞太陽公轉的加速度小于地球公轉的加速度【解答】解：A、“夸父A”繞太陽做勻速圓周運動，由合力提供向心力，處于非平衡狀態，故A錯誤；B、在相同時間內，“夸父A”的位移大小相等，但方向不一定相同，所以位移不一定相同，故B錯誤；CD、“夸父A”在“拉格朗日L1點”和地球一起以相同的公轉周期繞太陽做勻速圓周運動，故“夸父A”和地球繞太陽做勻速圓周運動的角速度相同，由向心加速度公式a＝rω2，可知“夸父A”的公轉半徑比地球的小，則“夸父A”繞太陽公轉的加速度小于地球公轉的加速度，故C錯誤，D正確。故選：D。（2023?包頭一模）如圖甲，兩小行星在同一平面內繞中心天體的運動可視為勻速圓周運動，測得兩小行星之間的距離Δr隨時間變化的關系如圖乙所示。下列說法正確的是（）（不考慮兩小行星之間的作用力）A．a星的運轉周期為T B．兩星的周期之比Ta：Tb＝1：4 C．兩星的線速度之比va：vb＝4：1 D．兩星的加速度之比aa：ab＝4：1【解答】解：B、設a星距太陽的距離為r1，b星距太陽的距離為r2，ra＜rb，根據圖像有ra+rb＝6r，rb﹣ra＝2r，解得ra＝2r，rb＝4r兩小行星均繞太陽做勻速圓周運動，設a星與b星的周期分別為Ta、Tb，根據開普勒第三定律有??13????2=??23????2，解得????????=122，故B錯誤；C、根據??=2??????，可得????????=?????????????????=12×221=21，故C錯誤；A、根據圖像可知，經過時間T兩小行星再次相距最近，a星比b星多轉2π角度，則有2??????T?2??????T＝2π，結合????????=122，聯立解得????=(1?24)??，故A錯誤；D、根據????????2=????，可得??=??????2，可得aa：ab＝4：1，故D正確。故選：D。考點三衛星變軌問題分析1．當衛星的速度突然增大時，Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，即萬有引力不足以提供向心力，衛星將做離心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，當衛星進入新的軌道穩定運行時由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其運行速度比原軌道時減小．2．當衛星的速度突然減小時，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，即萬有引力大于所需要的向心力，衛星將做近心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，當衛星進入新的軌道穩定運行時由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其運行速度比原軌道時增大．衛星的發射和回收就是利用這一原理．（2023?房山區一模）我國一箭多星技術居世界前列，一箭多星是用一枚運載火箭同時或先后將數顆衛星送入軌道的技術。某兩顆衛星釋放過程簡化為如圖所示，火箭運行至P點時，同時將A、B兩顆衛星送入預定軌道。A衛星進入軌道1做圓周運動，B衛星進入軌道2沿橢圓軌道運動，P點為橢圓軌道的近地點，Q點為遠地點，B衛星在Q點噴氣變軌到軌道3，之后繞地球做圓周運動。下列說法正確的是（）A．A衛星在P點的加速度大于B衛星在P點的加速度 B．A衛星在軌道1的速度小于B衛星在軌道3的速度 C．B衛星從軌道2上Q點變軌進入軌道3時需要噴氣減速 D．B衛星沿軌道2從P點運動到Q點過程中引力做負功【解答】解：A、兩衛星在P點時，根據萬有引力產生加速度，????????2=????整理可得：??=??????2由于兩衛星在P點到地心的距離相等，顯然兩衛星的加速度相同，故A錯誤；B、由題知，軌道1和軌道3都是圓軌道，則有：????????2=????2??整理可得：??=??????由于B衛星在軌道3上運動的軌道半徑大于A衛星在軌道1上運動的軌道半徑，所以B衛星在軌道3上運動的速度小于A衛星在軌道1上運動的速度，故B錯誤；C、衛星從低軌道運動到高軌道，需要做離心運動，即在軌道相切點點火加速實現，所以B衛星在Q點變軌進入軌道3時需要向后噴氣加速，故C錯誤；D、B衛星沿軌道2從P點運動到Q點過程中速度減少，則動能減小，故引力做負功，故D正確。故選：D。（2023?道里區校級三模）“天問一號”從地球發射后，在如圖甲所示的P點沿地火轉移軌道運動到Q點，再依次進入如圖乙所示的調相軌道和停泊軌道，地球、火星繞太陽軌道可視為圓軌道。則“天問一號”（）A．發射速度介于7.9km/s與11.2km/s之間 B．從P點轉移到O點的時間小于6個月 C．在地火轉移軌道運動時的速度均大于地球繞太陽的速度 D．在環繞火星的停泊軌道運行的周期比在調相軌道上的周期小【解答】解：A．“天問一號”發射后脫離了地球引力的束縛，所以發射速度大于第二宇宙速度，故A錯誤；B．根據開普勒第三定律??3??2=??，地球公轉周期為12個月，“天問一號”在地火轉移軌道的長軸軌道半徑大于地球公轉軌道半徑，則其運行周期大于12個月，所以從P點轉移到O點的時間大于6個月，故B錯誤；C．地火轉移軌道Q點速度小于火星軌道Q點速度，而火星軌道Q點速度小于地球繞太陽的速度，故C錯誤；D．根據開普勒第三定律??3??2=??可知，環繞火星的停泊軌道長軸半徑小于調相軌道長軸半徑，故在環繞火星的停泊軌道運行的周期比在調相軌道上的周期小，故D正確。故選：D。（2023?杭州二模）如圖所示，是某火星探測器簡化飛行路線圖，其地火轉移軌道是橢圓軌道。假設探測器在近日點P點進入地火轉移軌道，在遠日點Q，被火星俘獲。已知火星的軌道半徑是地球地火軌道半徑的1.5倍，則轉軌道（）A．地球公轉的周期大于火星公轉的周期 B．探測器進入地火轉移軌道后，速度逐漸增大 C．探測器在地火轉移軌道上的周期大于火星的公轉周期 D．探測器從發射到被火星俘獲，經歷的時間約255天【解答】解：A．根據開普勒第三定律有??地3??地2=??火3??火2因為r地＜r火，可知地球公轉的周期小于火星公轉的周期，故A錯誤；B．探測器進入地火轉移軌道后，萬有引力做負功，速度逐漸減小，故B錯誤；C．根據開普勒第三定律有(??火+??地2)3??探2=??火3??火2因為??火+??地2＜r火，可知探測器在地火轉移軌道上的周期小于火星公轉周期，故C錯誤；D．根據開普勒第三定律有(??火+??地2)3??探2=??地3??地2整理得，探測器在地火轉移軌道上的周期??探=(??火+??地2??地)3??地探測器從發射到被火星俘獲，經歷的時間??=??探2其中T地＝365天聯立上述各式，代入數據得t≈255天，故D正確。故選：D。（2023?南京模擬）2023年1月21日，神舟十五號3名航天員在400km高的空間站向祖國人民送上新春祝福，空間站的運行軌道可近似看作圓形軌道Ⅰ，設地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，橢圓軌道Ⅱ為載人飛船運行軌道，兩軌道相切于A點，下列說法正確的是（）A．在A點時神舟十五號經過點火加速才能從軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ B．飛船在A點的加速度小于空間站在A點的加速度 C．空間站在軌道Ⅰ上的速度小于???? D．軌道Ⅰ上的神舟十五號飛船想與前方的空間站對接，只需要沿運動方向加速即可【解答】解：A、從軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ，神舟十五號做近心運動，應在A點減速，故A錯誤；B、根據萬有引力提供向心力有：????????2=ma，解得a=??????2，所以飛船在A點的加速度等于空間站在A點的加速度，故B錯誤；C、根據第一宇宙速度的計算可知mg=????2??，解得：v=????，該速度是最大的環繞速度，所以空間站在軌道Ⅰ上的速度小于????，故C正確；D、軌道Ⅰ上的神舟十五號飛船想與前方的空間站對接，只沿運動方向加速，會變到更高軌道，故D錯誤；故選：C。（2023?湛江一模）2022年11月30日，神舟十五號載人飛船與“天和核心艙”完成對接，航天員費俊龍、鄧清明、張陸進入“天和核心艙”。對接過程的示意圖如圖所示，“天和核心艙”處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ；神舟十五號飛船處于半徑為r1的圓軌道Ⅰ，運行周期為T1，通過變軌操作后，沿橢圓軌道Ⅱ運動到B處與“天和核心艙”對接。則神舟十五號飛船（）A．由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ需在A點減速 B．沿軌道Ⅱ運行的周期為T2＝T1(2??1??1+??3)3 C．在軌道Ⅰ上A點的加速度大于在軌道Ⅱ上A點的加速度 D．在軌道Ⅲ上B點的線速度大于在軌道Ⅱ上B點的線速度【解答】解：A、由低軌道進入高軌道需要點火加速，所以由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ需在A點加速，故A錯誤；B、根據開普勒第三定律，有??13??12=(??1+??32)3??22，解得T2＝T1(??1+??32??1)3，故B錯誤；C、根據牛頓第二定律可得????????2=ma，解得a=??????2，所以在軌道Ⅰ上A點的加速度等于在軌道Ⅱ上A點的加速度，故C錯誤；D、由軌道Ⅱ進入軌道Ⅲ需在B點加速，所以在軌道Ⅲ上B點的線速度大于在軌道Ⅱ上B點的線速度，故D正確。故選：D。考點四宇宙速度的理解與計算1．第一宇宙速度又叫環繞速度．推導過程為：由mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)＝eq\f(GMm,R2)得：v1＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(gR)＝7.9km/s.2．第一宇宙速度是人造地球衛星在地面附近環繞地球做勻速圓周運動時具有的速度．3．第一宇宙速度是人造衛星的最大環繞速度，也是人造地球衛星的最小發射速度．注意(1)兩種周期——自轉周期和公轉周期的不同．(2)兩種速度——環繞速度與發射速度的不同，最大環繞速度等于最小發射速度．(3)兩個半徑——天體半徑R和衛星軌道半徑r的不同．(4)第二宇宙速度(脫離速度)：v2＝11.2km/s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度．(5)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7km/s，使物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度．（2023?滁州二模）地球環境的變化，大家都是有目共睹的，也許將來有一天真的不再適合人類居住，電影《流浪地球》里的選擇是帶著地球一起流浪，而現實中，有人選擇移居火星。火星是靠近地球的類地行星，已知地球質量約為火星質量的10倍，地球半徑約為火星半徑的2倍；設地球的公轉周期為T、地球表面的重力加速度為g、地球的第一宇宙速度為v、地球的密度為ρ，則（）A．火星的公轉周期為22?? B．火星表面的重力加速度約為25?? C．火星的第一宇宙速度約為15?? D．火星的密度約為54??【解答】解：A、根據萬有引力提供向心力可得：????????2=??(2????')2??，解得??'=2????3????，由于火星的公轉半徑不知道所以其公轉周期無法確定，故A錯誤；B、根據地表物體受到的萬有引力等于重力得：????????2=????，則??=??????2，可得：??火??=??火??地???地2??火2=110×2212=25，火星表面的重力加速度為25??，故B正確；C、根據萬有引力提供向心力????????2=????2??，可得第一宇宙速度為：??=??????，可得：??火??=??火??地???地??火=110×21=55，火星的第一宇宙速度約為55??，故C錯誤；D、由密度與質量的公式??=3??4????3，可得：??火??=??火??地???地3??火3=110×2313=45，所以火星的密度約為45??，故D錯誤。故選：B。（2023?聊城一模）材料的力學強度是材料眾多性能中被人們極為看重的一種性能，目前已發現的高強度材料碳納米管的抗拉強度是鋼的100倍，密度是鋼的16，這使得人們有望在赤道上建造垂直于水平面的“太空電梯”。當航天員乘坐“太空電梯”時，地球引力對航天員產生的加速度a與r的關系用圖乙中圖線A表示，航天員由于地球自轉而產生的向心加速度大小與r的關系用圖線B表示，其中r為航天員到地心的距離，R為地球半徑。關于相對地面靜止在不同高度的航天員，下列說法正確的是（）A．航天員在r＝R處的線速度等于第一宇宙速度 B．圖中r0為地球同步衛星的軌道半徑 C．隨著r增大，航天員運動的線速度一直減小 D．隨著r增大，航天員受到電梯艙的彈力減小【解答】解：A、電梯艙內的航天員與地球一起同軸轉動，當r＝R時電梯中的航天員受到萬有引力和電梯的彈力的合力提供向心力????????2?????=????2??，又因為第一宇宙速度是貼近星球表面運動時，萬有引力全部提供向心力時的線速度，即上式中FN＝0時勻速圓周運動的線速度，因此航天員在r＝R處的線速度小于第一宇宙速度；故A錯誤；B、由公式????????2?????=????2??可知，隨著r增大，航天員受到電梯艙的彈力減小；當????????2=????2??，此時電梯艙對航天員的彈力為零，只由萬有引力提供向心力，r＝r0，r0為同步衛星的軌道半徑；故B正確；C、由于電梯艙內的航天員與地球一起同軸轉動，所以角速度相等，根據v＝ωr，可知隨著r增大，線速度增大；故C錯誤；D、當r＞r0時，隨著r繼續增大，宇航員需要的向心力增大，由????????2+????=????2??，可知FN反向增大，所以隨著r從小于r0到大于r0逐漸增大的過程中，航天員受到電梯艙的彈力先減小為零后反向增大；故D錯誤。故選：B。（多選）（2023?蚌埠模擬）2021年5月15日，我國“祝融號”火星車在火星表面軟著陸時，豎直向下經t時間由速度v0勻減速到零完成平穩降落。已知火星車的質量為m，火星質量是地球的a倍，火星半徑是地球的b倍，地球表面重力加速度為g，不計火星的大氣阻力，則（）A．減速過程著陸器的位移為v0t B．火星的平均密度是地球的????2倍 C．火星的第一宇宙速度是地球的????倍 D．減速過程中著陸器受到的制動力大小為??(????2??+??0??)【解答】解：A、由平均速度公式得，減速過程著陸器的位移為??=??02??=??0??2故A錯誤；B、由密度公式得：??=??43????3則火星、地球平均密度之比??1??2=??1??2?(??2??1)3=????3故B錯誤；C、第一宇宙速度為最大環繞速度，萬有引力提供向心力，有：G??????2=m??2??解得：v=??????則火星表面第一宇宙速度與地球表面第一宇宙速度的比值為：??1??2=????1??1????2??2=??1??2???2??1=????故C正確；D、在天體表面，萬有引力等于重力，有：G??????2=mg火星表面重力加速度和地球表面重力加速度之比為??'??=????1??12????2??22=????2則火星表面重力加速度為??'=????2??減速過程中著陸器加速度大小為??=??0??設著陸器受到的制動力大小為F，由牛頓第二定律得：F﹣mg'＝ma聯立解得：??=????'+????=??(????2??+??0??)故D正確。故選：CD。（多選）（2023?山西模擬）“祝融號”火星探測器于2021年5月22日成功著陸火星，至今依然活躍。若測得火星表面赤道位置的重力加速度為g，而兩極的重力加速度為g0，且知火星自轉周期T，并將火星視為理想勻質球體，則下列判斷中正確的有（）A．火星的半徑為(??0???)??24??2 B．火星的半徑為(?????0)??24??2 C．火星的第一宇宙速度為??2????0(??0???) D．火星的第一宇宙速度為??2????(?????0)【解答】解：AB、設火星質量為M，半徑為R，萬有引力常量為G，質量為m的物體在火星表面隨火星自轉而做勻速圓周運動，物體在赤道位置時，有：????????2=????+??4??2??2??位于極地時，有：????????2=????0聯立解得，火星的半徑為??=(??0???)??24??2故A正確，B錯誤；CD、第一宇宙速度即衛星的最大環繞速度，衛星做圓周運動，萬有引力提供向心力，有：????????2=????12??在火星兩極處有：????????2=????0聯立解得：??1=??2????0(??0???)故C正確，D錯誤。故選：AC。（多選）（2020?岳陽一模）在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系如圖中P線所示．在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a﹣x關系如圖中Q線所示．已知M、N兩星球的半徑相等，不計星球表面的氣體阻力，則（）A．M、N星球表面的重力加速度大小之比是2：1 B．P、Q的質量大小之比是1：5 C．P、Q下落的最大速度之比是2：1 D．M、N兩星球的第一宇宙速度之比是2：1【解答】解：A、由牛頓第二定律可知，物體下落的加速度a=???????????=g?????x，當x＝0時，a＝g；可知兩星球表面的重力加速度之比為????????=4??0??0=4：1，故A錯誤；B．a﹣x關系圖線的斜率表示????，則有：??????=4??0??0，??????=??02??0，解得：????????=21，故B錯誤；C．由物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系圖，結合公式v2＝2ax可知ax=??22，即圖象面積表示??22，根據圖象可知：????22：????22=（12×4??0??0）：（12×2??0??0）＝2：1，所以P、Q下落的最大速度之比是2：1，故C正確；D．已知M、N兩星球的半徑相等，設為R，根據第一宇宙速度表達式v1=????可知，M、N兩星球的第一宇宙速度之比是2：1，故D正確。故選：CD。考點五雙星或多星模型繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統，我們稱之為雙星系統，如圖6所示，雙星系統模型有以下特點：圖6(1)各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2(2)兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2(3)兩顆星的半徑與它們之間的距離關系為：r1＋r2＝L(4)兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)(5)雙星的運動周期T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))(6)雙星的總質量公式m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)（2023?河北模擬）科學家觀測發現銀河系的“MAXIJ1820+070”是一個由黑洞和恒星組成的雙星系統，若系統中黑洞與恒星的中心距離為L，黑洞做勻速圓周運動的加速度為a，恒星做勻速圓周運動的加速度為a?，則黑