第第#頁共76頁高中數學第十章-排列組合二項定理考試內容：分類計數原理與分步計數原理．排列．排列數公式．組合．組合數公式．組合數的兩個性質．二項式定理．二項展開式的性質．考試要求：(1)掌握分類計數原理與分步計數原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應用問題．(2)理解排列的意義，掌握排列數計算公式，并能用它解決一些簡單的應用問題．理解組合的意義，掌握組合數計算公式和組合數的性質，并能用它們解決一些簡單的應用問題．掌握二項式定理和二項展開式的性質，并能用它們計算和證明一些簡單的問題．§10.排列組合二項定理知識要點一、兩個原理.1.乘法原理、加法原理.2.可．以．有．重．復．元．素．的排列.從m個不同元素中，每次取出n個元素，元素可以重復出現，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個，所以從m個不同元素中，每次取出n個元素可重復排列數m=mn..例如：n件物品放入m個抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？(解：mn種)二、排列.⑴對排列定義的理解.定義：從n個不同的元素中任取m(m<n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.⑵相同排列.如果；兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.⑶排列數.從n個不同元素中取出m(m<r)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數，用符號Am表示.n⑷排列數公式：n!Am=n(n-1)(n-m+1)=:—(m<n,n,meN)(n-m)!注意：n-n!=(n+l)!-n!規(guī)定0!=1Am=Am+Am-Cm-1=Am+mAm-1Am=nAm-1規(guī)定C0=Cn=1n+1nmnnnnn-1nn含．有．可．重．元．素．的排列問題.對含有相同元素求排列個數的方法是：設重集S有k個不同元素a1，a2,……an其中限重復數

為n「n2n為n「n2nk，且n=n1+n2+kn!n!...n!12k例如：已知數字3、2、2,求其排列個數n=°+2)!=3又例如：數字5、5、5、求其排列個1!2!數？其排列個數n-3!一i.3!三、組合.⑴組合：從n個不同的元素中任取m(m<n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.⑵組合數公式：Cm=At=n(n一D…(n一m+DCm=」nAmm!nm!(n-m)!m⑶兩個公式：①C⑶兩個公式：①Cm=Cn_m；②Cm-1+Cm=Cmnnn+1從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中取出n-m個元素的方法是一一對應的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的一個組合.(或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有Cm-1-Ci=Cm-1一類是不含紅球的選法有Cm)n1nn根據組合定義與加法原理得；在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取m-1個元素，所以有Cm-1，如果不取這一元素，則需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有ncm種，依分類原理有Cm-n+Cm=Cn+m.⑷排列與組合的聯系與區(qū)別.聯系：都是從n個不同元素中取出m個元素.區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關系，后者無順序關系.⑸①幾個常用組合數公式C0+C1+C2+/n=2nnnnnC0+C2+C4+?…=C1+C3+C5+?…=2n-1nnnnnnCm+Cm+Cm?.'Cm=Cm+1nm+1m+2m+nm+n+1kCk=nCk-1nn-111Ck=Ck+1k+1nn+1n+1②常用的證明組合等式方法例.裂項求和法.如:丄+-+-+…—=1-1(利用匕1=1-丄)2!3!4!(n+1)!(n+1)!n!(n-1)!n!導數法.iii.數學歸納法.iv.倒序求和法.V.遞推法(即用Cm+Cm—1=Cm遞推)如：CI+C4+C5+…nnnn+1vi.構造二項式.如：(C0)2+(C1)2+???+(Cn)2=Cnnnn2n證明：這里構造二項式(X+1)n(1+x)n=(1+x)2n其中X”的系數，左邊為C0C+C1-Cn-1+C2Cn-2+…+侖"C0=(C0)2+(C1)2+…+(C")2，而右邊=C2nnnnnnnnnnnn2n四、排列、組合綜合.I.排列、組合問題幾大解題方法及題型：直接法.②排除法.捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個不同元素排成一列，要求其中某m(m<n)個元素必相鄰的排列有An-m+1-Am個.其中An-m+1是一個“整體排n-m+1mn-m+1列”，而Am則是“局部排列”m又例如①有n個不同座位，A、B兩個不能相鄰，則有排列法種數為A2-a1-a2.nn-12有n件不同商品，若其中A、B排在一起有A”-.A2.n-12有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有a2.a”-1.nn-1注：①③區(qū)別在于①是確定的座位，有a2種；而③的商品地位相同，是從n件不同商品任2取的2個，有不確定性.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.例如：n個元素全排列，其中m個元素互不相鄰，不同的排法種數為多少？An-m-Am(插n-mn-m+1空法)，當n-m+l^m,即m<時有意義.2占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.調序法：當某些元素次序一定時，可用此法解題方法是：先將n個元素進行全排列有Ann種，m(mYn)個元素的全排列有Am種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某m一種排法，可以利用除法起到去調序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有像種排列方法.Amm例如：n個元素全排列，其中m個元素順序不變，共有多少種不同的排法？解法一：(逐步插空法)(m+1)(m+2)...n=n！/m!；解法二：(比例分配法)An/Am.nm

_CnnCn平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有k（）一n.Akk例如：從1,2,3,4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分法？有C4=3（平均分組2!就用不著管組與組之間的順序問題了）又例如將200名運動員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？8C2）P=—182丿C10/2!20注意：分組與插空綜合.例如：n個元素全排列，其中某m個元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？有An-m-Am/Am，當n-m+1>m,即m<時有意義.n一mn一m+1m2隔板法：常用于解正整數解組數的問題.例如：X+x+x+x=12的正整數解的組數就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組.每一種方法所得球的數目依次為X,X,X,X顯然X+X+X+X=12，故（X,X,X,X）是方程的一組解反之，TOC\o"1-5"\h\z123412341234方程的任何一組解（y,y,y,y），對應著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式（如圖1234"的方法數X：4"的方法數X：4注意：若為非負數解的x個數，即用a,a,...a中ai等于X+1，有X+X+X...+x=Aa一1+a一1+…a一1=A，進而轉化為親a的正整數解的個數為123n12nCn-1A+n定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規(guī)定某r個元素都包含在內，并且都排在某r個指定位置則有ArAn】；.例如：從n個不同元素中，每次取出m個元素的排列，其中某個元素必須固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少種排法？固定在某一位置上：人加-1；不在某一位置上：Am一A"1或Am+A1.Am_1（—類是不取出n-1nn-1n-1m-1n-1特殊元素a,有A：，一類是取特殊元素a,有從m-1個位置取一個位置，然后再從n-1個1元素中取m-1，這與用插空法解決是一樣的）⑩指定元素排列組合問題.從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都包含在內。先C后A策略，排列C；Ck-；Ak；組合C；Ck-；.;n-;k;n—;從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都不包含在內。先C后A策略，排列CkAk；組合Ck.n-;kn—;iii從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個排列（或組合）都只包含某r個元素中的s個元素。先c后a策略，排列CrCn~rAk；組合CrCn-r.II.排列組合常見解題策略：特殊元素優(yōu)先安排策略；②合理分類與準確分步策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略(處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列)；④正難則反，等價轉化策略;相鄰問題插空處理策略；不相鄰問題插空處理策略；⑦定序問題除法處理策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；⑩構造模型的策略組合問題中分組問題和分配問題.均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個數相等，不管是否分盡，其分法種數為A/Ar(其中A為非均勻不編號分組中分法數).如果再有K組r均勻分組應再除以Ak.k例:10人分成三組，各組元素個數為2、4、4,其分法種數為C2C4C4/A2二1575.若分成10842六組，各組人數分別為1、1、2、2、2、2,其分法種數為CiCiC2C2C2C2/A2-A4109864224非均勻編號分組：n個不同元素分組，各組元素數目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數為A-Amm例：10人分成三組，各組人數分別為2、3、5，去參加不同的勞動，其安排方法為：C2C3C5?A3種.10853若從10人中選9人分成三組，人數分別為2、3、4，參加不同的勞動，則安排方法有C2C3C4?A3種10853均勻編號分組：n個不同元素分成m組，其中r組元素個數相同且考慮各組間的順序，其分法種數為A/Ar?Am.rmC2C4C4例：10人分成三組，人數分別為2、4、4,參加三種不同勞動，分法種數為人?A3TOC\o"1-5"\h\zA232非均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，每組元素數目均不相同，且不考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種數為A=Cm1Cmm…+++)un-iii]n-(m]+m?+...+mR])例：10人分成三組，每組人數分別為2、3、5,其分法種數為C2C3C5=2520若從10人中選1085出6人分成三組，各組人數分別為1、2、3,其分法種數為C1C2C3=12600?1097五、二項式定理.⑴二項式定理：(a+b)n=C0anb0+C1an_1b+Cran-rbr+Cna0bn?nnnn展開式具有以下特點：①項數：共有n+1項；

系數：依次為組合數C0,C1,C2,…Q，…,Cn；nnnnn每一項的次數是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.⑵二項展開式的通項.(a+b)n展開式中的第r+1項為：T卄嚴嚴-rbr(0<r<n,reZ).⑶二項式系數的性質.在二項展開式中與首未兩項“等距離”的兩項的二項式系數相等二項展開式的中間項二．項．式．系．數．最大._n當n是偶數時，中間項是第-+1項，它的二項式系數C2最大;2nII.當n是奇數時，中間項為兩項，即第II.當n是奇數時，中間項為兩項，即第羅項和第n—1n+1+1項，它們的二項式系數C2=C2nn最大.③系數和：C0+C1+…+Cn=2nnnnC0+C2+C4+...=C1+C3+???=2n—1nnnnn附：一般來說(ax+by)n(a,b為常數)在求系數最大的項或最小的項時均可直接根據性質二求解.當a豐1解.當a豐1或b豐1時，一般采用解不等式組]Ak-AA>Akk+1'或<k—1A<A

kA<Akk+1k—1(Ak為Tk+1的系數或系數的絕對值)的辦法來求解.其中p,q,reN,且p+q+r=其中p,q,reN,且p+q+r=n把(a+b+c)n=[(a+b)+c]n視為二項式，先找出含有Cr的項Cr(a+b)n-rCr，另一方面在n(a+b)n—r中含有bq的項為Cqan—r—qbq=Cqapbq，故在(a+b+c)n中含apbqcr的項為n—rn—rCrCqaPbqcr.其系數為C「cq=—n!(n—r)!—n—=CpCqCr.nn—rnn—rr!(n—r)!q!(n—r—q)!r!q!p!nn—pr2.近似計算的處理方法.當a的絕對值與1相比很小且n不大時，常用近似公式(1+a)n二1+na，因為這時展開式的后面部分C2a2+c3a3+???+Cnan很小，可以忽略不計。類似地，有(1-a)n?1—na但使用這兩個nnn公式時應注意a的條件，以及對計算精確度的要求.高中數學第十一章-概率考試內容：隨機事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一個發(fā)生的概率．相互獨立事件同時發(fā)生的概率．獨立重復試驗．

考試要求：了解隨機事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機事件概率的意義．了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率。了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率．會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率.§11.概率§11.概率知識要點概率：隨機事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.等可能事件的概率：如果一次試驗中可能出現的結果有年n個，且所有結果出現的可能性都相等，那么，每一個基本事件的概率都是丄，如果某個事件A包含的結果有m個，那n么事件A的概率P(A)=m.n①互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B),推廣：p(a+a+???+a)=p(A)+P(A)+???+P(A)?12n12n②對立事件：兩個事件必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件.例如：從1?52張撲克牌中任互斥對立取一張抽到“紅桃”與抽到“黑桃”互為互斥事件，因為其中一個不可能同時發(fā)生，但又不能保證其中一個必然發(fā)生，故不是對立事件?而抽到“紅色牌”與抽到黑色牌“互為對立事件』為其中一個必發(fā)生.互斥對立注意：i.對立事件的概率和等于1：P(A)+P(A)=P(A+A)=1.ii.互為對立的兩個事件一定互斥，但互斥不一定是對立事件.相互獨立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.如果兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A?B)=P(A)?P(B).由此，當兩個事件同時發(fā)生的概率P(AB)等于這兩個事件發(fā)生概率之和，這時我們也可稱這兩個事件為獨立事件.例如：從一副撲克牌(52張)中任抽一張設A：“抽到老K”；B：“抽到紅牌”則A應與B互為獨立事件［看上去A與B有關系很有可能不是獨立事件，但p(a)=52=13，p(B)=H=2，P(A)?P(B)=衿?又事件AB表示“既抽到老K對抽到紅牌”即“抽到紅桃老K或方塊老K”有p(a.b)=2=丄，因此有p(A).p(b)=P(A?B).5226推廣：若事件A,A,…,A相互獨立，則P(AA…A)=P(A)?P(A)…P(A).12n12n12n注意：i.一般地，如果事件A與B相互獨立，那么A與B,A與B，A與B也都相互獨立.必然事件與任何事件都是相互獨立的.獨立事件是對任意多個事件來講，而互斥事件是對同一實驗來講的多個事件，且這多個事件不能同時發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨立事件.獨立重復試驗:若n次重復試驗中，每次試驗結果的概率都不依賴于其他各次試驗的結果，則稱這n次試驗是獨立的.如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為P,那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率：P(k)=CkPk(l—P)n-k.nn

對任何兩個事件都有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A-B)第十二章-概率與統計考試內容：抽樣方法.總體分布的估計．總體期望值和方差的估計．考試要求：了解隨機抽樣了解分層抽樣的意義，會用它們對簡單實際問題進行抽樣會用樣本頻率分布估計總體分布．會用樣本估計總體期望值和方差．§12.概率與統計知識要點一、隨機變量.隨機試驗的結構應該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：試驗可以在相同的情形下重復進行;②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪一個結果.它就被稱為一個隨機試驗.離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量?若g是一個隨機變量，a，b是常數?則n=ag+b也是一個隨機變量.一般地，若g是隨機變量，f(x)是連續(xù)函數或單調函數，則f憶)也是隨機變量.也就是說，隨機變量的某些函數也是隨機變量.設離散型隨機變量g可能取的值為：x,x，…,x，…12ig取每一個值x(i=1,2,…)的概率P(g=x)=p，則表稱為隨機變量g的概率分布，簡稱g的TOC\o"1-5"\h\z1ii分布列.gxxxP1丄2p2p.i1TOC\o"1-5"\h\z有性質①P>0,i=1,2,…；②P+pHFpH=1.112i注意：若隨機變量可以取某一區(qū)間內的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機變量.例如：gw[0,5]即￡可以取0?5之間的一切數，包括整數、小數、無理數.⑴二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是：P憶=k)=Ckpkqn-k[其中k=0,1,…,n,q=1-p]n于是得到隨機變量g的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量g服從二項分布，記作g?B(n?p)，其中n，p為參數，并記Ckpkqn-k=b(k;n-p).n⑵二項分布的判斷與應用.二項分布，實際是對n次獨立重復試驗?關鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布.當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列.幾何分布：“g=k”表示在第k次獨立重復試驗時，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗時事件A發(fā)生記為A，事A不發(fā)生記為A,P(A)=q，那么P(g=k)=P(AA…AA).根據kkk12k-1k相互獨立事件的概率乘法分式：P(E=相互獨立事件的概率乘法分式：P(E=k)=P(A)P(A)…P(A)P(A)12k-1k=qk-1p(k=1,2,3,…)于是得到隨機變量E的概率分布列.g123kPqqpqk*我們稱g服從幾何分布，并記g(k,p)=qk-ip，其中q=1-p.k=1,2,3…5.⑴超幾何分布：一批產品共有N件，其中有M(MVN)件次品，今抽取n(1<n<N)件,則其中的次品數g是一離散型隨機變量，分布列為p(￡=k)=CM?(0<k<M,0<n-k<N-M).〔分子是從M件次品中取k件，從N-M件正CnN品中取n-k件的取法數，如果規(guī)定mVr時Cr=0，則k的范圍可以寫為k=0,1,…，n.〕m⑵超幾何分布的另一種形式：一批產品由a件次品、b件正品組成，今抽取n件(1<n<a+b)，則次品數g的分布列為P(g=k)=90空k=0,1,…,n..Cna+b⑶超幾何分布與二項分布的關系.設一批產品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數g服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數耳的分布列可如下求得：把a+b個產品編號，則抽取n次共有(a+b)n個可能結果，等可能：(n=k)含Ckakbn-k個結果，故,,八,,八Ckakbn-kP(n=k)=~n(a+b)n=Ck^a)k(l——^)n-k,k=0,1,2,…,n，即耳~B(n?—a).［我們先為k個次品na+ba+ba+b選定位置，共Ck種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法］可以n證明：當產品總數很大而抽取個數不多時，P憶=k)?P(n=k),因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.二、數學期望與方差.1.期望的含義：一般地，若離散型隨機變量g的概率分布為gxxcxP上2p2ip.i則稱E—xp+xp+…+乂p+…為g的數學期望或平均數、均值?數學期望又簡稱期望?數學1122nn期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.⑴隨機變量耳=a^+b的數學期望：En=E(ag+b)=aEg+b當a=0時，E(b)=b，即常數的數學期望就是這個常數本身.當a=1時，E(g+b)=Eg+b，即隨機變量g與常數之和的期望等于g的期望與這個常數的和.當b=0時，E(ag)=aEg，即常數與隨機變量乘積的期望等于這個常數與隨機變量期望的乘積.g01Pqp⑵單點分布：Eg=cxl=c其分布列為：P(g=1)=c.⑶兩點分布：Eg=0xq+1xp=p，其分布列為：(p+q=1)⑷二項分布：Eg=Yk?色pk?qn-k=np其分布列為g?B(n,p).(P為發(fā)生g的概率)k!(n-k)!

⑸幾何分布：E,丄其分布列為￡?q(k,p).(P為發(fā)生￡的概率)p方差、標準差的定義：當已知隨機變量g的分布列為P(￡=x)=p(k=1,2，…)時，則稱kkD￡=(x-E￡)2p+(x-E￡)2phf(x-E￡)2ph——為g的方差.顯然D￡>0，故Q￡=入：D￡.Q￡為g的1122nn根方差或標準差.隨機變量g的方差與標準差都反映了隨機變量g取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.D￡越．小．，．穩(wěn)．定．性．越．高．，．波．動．越．小．．.方差的性質.⑴隨機變量耳=a￡+b的方差D(q)=D(a￡+b)=a2D￡.(a、b均為常數)⑵單點分布⑶兩點分布⑷二項分布⑵單點分布⑶兩點分布⑷二項分布⑸幾何分布p25.期望與方差的關系.⑴如果e￡和En都存在，則e(￡±n)=e￡±En⑵設g和n是互相獨立的兩個隨機變量，則e(￡n)=e￡?En,D(￡+n)=d￡+Dn⑶期望與方差的轉化：d￡=e￡2-(e￡)2⑷E(￡-e￡)=E(￡)-E(e￡)(因為e￡為一常數)=E￡-E￡=0.三、正態(tài)分布.(基本不列入考試范圍)的面積1?密度曲線與密度函數：對于連續(xù)型隨機變量g,位于X軸上方，g落在任一區(qū)間［a,b)內的概率等于它與x軸?直線x=a與直線x=b所圍成的曲邊梯的面積2o2.(xeR,卩，G(如圖陰影部分)的曲線叫g的密度曲線，以其作為圖像的函數f(x)叫做g的密度函數，由于“x2o2.(xeR,卩，G⑴正態(tài)分布與正態(tài)曲線:如果隨機變量g的概率密度為：f(x)=為常數，且GA0)，稱g服從參數為的正態(tài)分布，用￡?N(PQ2)表示.f(x)的表達式可簡記為N(PQ2)，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線.⑵正態(tài)分布的期望與方差：若￡?N(PQ2)，則g的期望與方差分別為：e￡=p,D￡=g2.⑶正態(tài)曲線的性質.曲線在X軸上方，與X軸不相交.曲線關于直線x=卩對稱.當x=卩時曲線處于最高點，當X向左、向右遠離時，曲線不斷地降低，呈現出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.當xV卩時，曲線上升；當x>卩時，曲線下降，并且當曲線向左、向右兩邊無限延伸時,以X軸為漸近線，向X軸無限的靠近.當R一定時，曲線的形狀由G確定，G越大，曲線越“矮胖”表示總體的分布越分散；G越

小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.x⑴標準正態(tài)分布：如果隨機變量g的概率函數為9(x)=:——e-2(-8YxY+8)，則稱g服2兀從標準正態(tài)分布.即￡?N(0,1)有9(x)=PCx),9(x)=1-9(-x)求出，而P(aV乙<b)的計算則是P(aY￡<b)=9(b)-9(a).注意：當標準正態(tài)分布的0(x)的X取0時，有0(x)=0.5當0(x)的X取大于0的數時，有S陰0.5Sa=0.5+S0(x)A0.5.比如①嚴-卩)=0.0793Y0.5則05二^必然小于S陰0.5Sa=0.5+S⑵正態(tài)分布與標準正態(tài)分布間的關系：若￡?N(PQ2)則g的分布函數通常用F(x)表示，且有P憶<x)=F(x)=9(X—).4.(1)“3q”原則.假設檢驗是就正態(tài)總體而言的，進行假設檢驗可歸結為如下三步：①提出統計假設，統計假設里的變量服從正態(tài)分布N(|1Q2).②確定一次試驗中的取值a是否落入范圍⑴-3q,y+3q).③做出判斷：如果ae(p-3q,p+3q)，接受統計假設.如果a電(p-3Q,p+3Q)，由于這是小概率事件，就拒絕統計假設.⑵“3q”原則的應用：若隨機變量g服從正態(tài)分布N(pQ2)則g落在(p-3q,p+3q)內的概率為99.7%亦即落在(p-3q,p+3q)之外的概率為0.3%，此為小概率事件，如果此事件發(fā)生了，就說明此種產品不合格(即g不服從正態(tài)分布).高中數學第十三章-極限考試內容：教學歸納法．數學歸納法應用．數列的極限．函數的極限．根限的四則運算．函數的連續(xù)性．考試要求：理解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題．了解數列極限和函數極限的概念．掌握極限的四則運算法則；會求某些數列與函數的極限．了解函數連續(xù)的意義，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數有最大值和最小值的性質§13.極限知識要點1.⑴第一數學歸納法：①證明當n取第一個n0時結論正確；②假設當n=k(keN+,k>n0)時，結論正確，證明當n=k+1時，結論成立.⑵第二數學歸納法：設P(n)是一個與正整數n有關的命題，如果當n=n0(n0eN+)時，P(n)成立；假設當n<k(keN+,k>n0)時，P(n)成立，推得n=k+1時，P(n)也成立.那么，根據①②對一切自然數n>n0時，P(n)都成立.⑴數列極限的表示方法：lima=anns當nta時，aTa.n⑵幾個常用極限：limC=C(C為常數)nTalim—=0(keN,k是常數)nTank對于任意實常數，當丨aIy1時，liman=0nTa當|a|=1時，若a=1,則liman=1;若a=-1，則liman=lim(-1)n不存在nTanTanTa當|a|》1時，liman不存在nTa⑶數列極限的四則運算法則：如果lima=a,limb=b，那么nbnTanTalim(a±b)=a土bnnnTalim(a-b)=a-bnnnTalimn=—(b豐0)nTabnbn特別地，如果C是常數，那么lim(C-a)=limC-lima=Ca.nnnTanTanTa⑷數列極限的應用：求無窮數列的各項和，特別地，當qy1時，無窮等比數列的各項和為s=丄(biy1).1-q(化循環(huán)小數為分數方法同上式)注：并不是每一個無窮數列都有極限.3.函數極限；⑴當自變量x無限趨近于常數x0(但不等于x0)時，如果函數f(x)無限趨進于一個常數a,就是說當x趨近于x0時，函數f(x)的極限為a.記作limf(x)=a或當xTx0時，f(x)Ta.注：當XTx0時，f(x)是否存在極限與f(x)在x0處是否定義無關，因為xTx0并不要求X=x0.(當然，f(x)在x0是否有定義也與f(x)在x0處是否存在極限無關.n函數f(x)在x0有定義是limf(x)存在的既不充分又不必要條件.)xTxo如P(x)=<*11在x=1處無定義，但limP(x)存在，因為在x=1處左右極限均等于零.—x+1xY1xt1⑵函數極限的四則運算法則：如果limf(x)=a,limg(x)=b，那么xTxoxTxolim(f(x)土g(x))=a土bxTxolim(f(x)-g(x))=a-bxTxolim空=a(b豐0)xTxog(x)b特別地，如果C是常數，那么lim(C-f(x))=Climf(x).xTx0xTx0lim[f(x)]n=[limf(x)]n(neN+)xTx0xTx0注：①各個函數的極限都應存在.四則運算法則可推廣到任意有限個極限的情況，但不能推廣到無限個情況⑶幾個常用極限：lim丄=0nTwxlimax=0(0VaVI)；limax=0(a>1)TOC\o"1-5"\h\zxT+wxT—2lim沁=1nlim亠=1xT0xxT0sinx1丄lim(1+—)x=e，lim(1+x)x=e(e=2.71828183)xTwxxT0函數的連續(xù)性：⑴如果函數于(x)，g(x)在某一點x=x連續(xù)，那么函數f(x)土g(x),f(x)-g(x)<f(x)(g(x)豐0)0g(x)在點x=x處都連續(xù).⑵函數f(x)在點x=x0處連續(xù)必須滿足三個條件：①函數f(x)在點x=x0處有定義；②limf(x)存在；③函數f(x)在點x=x0處的極限值xTx0等于該點的函數值，即limf(x)=f(x0).xTx0⑶函數f(x)在點x=x0處不連續(xù)(間斷)的判定：如果函數f(x)在點x=x0處有下列三種情況之一時，則稱x0為函數f(x)的不連續(xù)點.①f(x)在點x=x0處沒有定義，即f(x0)不存在；②limf(x)不存在；③limf(x)存在，xTx0xTx0但limf(x)豐f(x0).XTX0零點定理，介值定理，夾逼定理：⑴零點定理：設函數f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(a)-f(b)Y0.那么在開區(qū)間(a,b)內至少有函數f(x)的一個零點，即至少有一點￡(aV￡Vb)使f(g)=0.⑵介值定理：設函數f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同函數值，f(a)=A,f(b)=B，那么對于A,B之間任意的一個數C，在開區(qū)間(a,b)內至少有一點￡，使得f(￡)=C(aV￡Vb).⑶夾逼定理：設當0yIx-xoIy5時，有g(x)Wf(x)Wh(x)，且limg(x)=limh(x)=A，則xTx。xTx。必有l(wèi)imf(x)=A.xTx0注：丨x-x0I:表示以x0為的極限，則Ix-x01就無限趨近于零.(￡為最小整數)幾個常用極限：limqn=0,q|Y1nT+wanlim-=0(aA0)nT+wn!lim—=0(aA1,k為常數)nT+wanlim業(yè)=0nT+wnlim(ln必=0(￡A0,k為常數)nT+wn*高中數學第十四章導數考試內容：導數的背影．導數的概念．多項式函數的導數．利用導數研究函數的單調性和極值．函數的最大值和最小值．考試要求：(1)了解導數概念的某些實際背景．(2)理解導數的幾何意義．掌握函數，y=c(c為常數)、y=xn(n^N+)的導數公式，會求多項式函數的導數.理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導數求多項式函數的單調區(qū)間極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值.會利用導數求某些簡單實際問題的最大值和最小值.§14.導數知識要點導數(導函數的簡稱)的定義：設x0是函數y=f(x)定義域的一點，如果自變量x在x0處有增量Ax，則函數值y也引起相應的增量Ay=f(x0+Ax)-f(xQ)；比值型=f(x0+心)-f(x0)稱為函數y=f(x)在點x到x+Ax之間的平均變化率；如果極限AxAx00lim型=lim_"“0)存在，則稱函數y=f(x)在點x處可導，并把這個極限叫做AxtOAxAxt0Axy=fy=f(x)在xo處的導數，記作f'(x°)或y'Ix=x0即f'(xo)=limAy=limf(xo+心)—f(xo).Axt0AxAxt0Ax注：①Ax是增量，我們也稱為“改變量”，因為Ax可正，可負，但不為零.②以知函數y=f(x)定義域為A，y=f'(x)的定義域為B，則A與B關系為AnB.2.函數y=f(x)在點xo處連續(xù)與點xo處可導的關系：

⑴函數y=f(x)在點x0處連續(xù)是y=f(x)在點x0處可導的必要不充分條件.可以證明，如果y=f(x)在點x0處可導，那么y=f(x)點x0處連續(xù).事實上，令x=x+Ax，則xTx相當于AxT0.00于是limf(x)=limf(x0+Ax)=lim[f(x+x丿-f(x0)+f(x0)]xTxAxT0AxT0=lim[

A=lim[

AxT0f(x0+Ax)-f(x0)

Ax?Ax+f(x)]=limf(x0+叢)—f(x0)0AxT0Ax?lim+limf(x°)=f'%)?0+f(x°)=f(x。).

AxT0AxT00000⑵如果y=f(x)點x0處連續(xù)，那么y=f(x)在點x0處可導，是不成立的.例：f(x)=|x|在點x0=0處連續(xù)，但在點x0=0處不可導，因為簽=詈，當心>°時'A=1；當A<0時，A=-1，故limA不存在.AxAxAxT0Ax注：①可導的奇函數函數其導函數為偶函數.②可導的偶函數函數其導函數為奇函數.導數的幾何意義：函數y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義就是曲線y=f(x)在點(x0,f(x))處的切線的斜率,也就是說，曲線y=f(x)在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是f'(x0)，切線方程為y-y0=f'(x)(x-x0).求導數的四則運算法則：(u士v)'=u'士v'ny=f1(x)+f2(x)+...+fn(x)ny'=f；(x)+f2(x)+...+f”(x)(uv)'=vu'+v'un(cv)'=c'v+cv'=cv'(c為常數)/u)'vu'-v'u—=(v豐0)Iv丿v注：①u,v必須是可導函數.②若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導.22例如：設f(x)=2sinx+，g(x)=cosx-，則f(x),g(x)在x=0處均不可導，但它們和xxf(x)+g(x)=sinx+cosx在x=0處均可導.復合函數的求導法則：f'(9(x))=f'(u)9'(x)或y'x=y'〃?u'xxxux復合函數的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.函數單調性：⑴函數單調性的判定方法：設函數y=f(x)在某個區(qū)間內可導，如果f'(x)>0,則y=f(x)為增函數；如果f'(x)<0，則y=f(x)為減函數.⑵常數的判定方法；

如果函數y=f(x)在區(qū)間I內恒有f'(x)=0,則y=f(x)為常數.注：①f(x)A0是f(x)遞增的充分條件，但不是必要條件，如y=2x3在(-8,+8)上并不是都有f(x)A0，有一個點例外即x=0時f(x)=0，同樣f(x)Y0是f(x)遞減的充分非必要條件.②一般地，如果f(x)在某區(qū)間內有限個點處為零，在其余各點均為正(或負)，那勾(x)在該區(qū)間上仍舊是單調增加(或單調減少)的.極值的判別方法：(極值是在x0附近所有的點，都有f(x)Vf(x0)，則f(x0)是函數f(x)的極大值，極小值同理)當函數f(x)在點x0處連續(xù)時，如果在x0附近的左側f'(x)>0,右側f'(x)<0,那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側f'(x)<0，右側f'(x)>0，那么f(x0)是極小值.也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側導數異號，而不是f'(x)=0①.此外，函數不可導的點也可能是函數的極值點②.當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值小(函數在某一點附近的點不同).注①：若點x0是可導函數f(x)的極值點，則f'(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導函數，其一點x0是極值點的必要條件是若函數在該點可導，則導數值為零.例如：函數y=f(x)=x3，x=0使f'(x)=0，但x=0不是極值點.②例如：函數y=f(x)=1xI，在點x=0處不可導，但點x=0是函數的極小值點.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數值進行比較.注：函數的極值點一定有意義.幾種常見的函數導數：I.C'=0(C為常數)(sinx)'=cosx(arcsinx)I.C'=0(C為常數)(sinx)'=cosx(arcsinx)=1<1-x(xn)'=nxn-1(ngR)(cosx)'=-sinx(arccosx)II.(lnx)'=—x(logx)'=1logeaxa(arctanx)'=(ax)'=axlna(arccotx)III.求導的常見方法：①常用結論：(lnlxI)'=丄.x②形女口y=(x-ai)(x-a2)②形女口y=(x-ai)(x-a2)...(x-a)或y=(x-b1)(x-b2)...(x-bn)求代數和形式.無理函數或形如y=xx這類函數，如y=xx取自然對數之后可變形為lny=xlnx，對兩邊y'1求導可得一=lnx+xy'=ylnx+yny'=xxlnx+xx.yx高中數學第十五章復數考試內容：復數的概念．復數的加法和減法．復數的乘法和除法．數系的擴充．考試要求：（1）了解復數的有關概念及復數的代數表示和幾何意義．（2）掌握復數代數形式的運算法則，能進行復數代數形式的加法、減法、乘法除法運算．（3）了解從自然數系到復數系的關系及擴充的基本思想．§15.復數知識要點1.（1）復數的單位為i,它的平方等于一1,即i2=-1.⑵復數及其相關概念：復數一形如a+bi的數（其中a,bgR）；實數一當b=0時的復數a+bi,即a；虛數一當b豐0時的復數a+bi；純虛數一當a=0且b豐0時的復數a+bi,即bi.復數a+bi的實部與虛部一a叫做復數的實部，b叫做虛部（注意a,b都是實數）復數集C—全體復數的集合，一般用字母C表示.⑶兩個復數相等的定義：a+bi=c+dioa=c且b=d（其中，a,b,c,d,gR）特另ll地a+bi=0oa=b=0.⑷兩個復數，如果不全是實數，就不能比較大小.注：①若Z],z2為復數，則1°若Z1+z2A0，則Z]A-z2.（X）[zz2為復數，而不是實數]丄丄丄丄2°若z1Yz2，則z1-z2Y0.（V）②若a,b,cgC,貝9（a一b）2+（b-c）2+（c一a）2=0是a=b=c的必要不充分條件.（當（a-b）2=i2，（b-c）2=1,（c-a）2=0時，上式成立）⑴復平面內的兩點間距離公式：d=lz1-z2I.

其中z1，z2是復平面內的兩點z1和z2所對應的復數，d表示z］和z2間的距離.由上可得：復平面內以z0為圓心，r為半