2021-2022高考數學模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

A.100B.210C.380D.400

3.《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有芻麓，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，

無廣，高二丈，問：積幾何?”其意思為："今有底面為矩形的屋脊狀的楔體，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高

2丈，問：它的體積是多少?”已知I丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中網格紙上小正方形邊長為1,則該楔

4.已知直四棱柱ABCD—ABCD的所有棱長相等，三ABC=60。，則直線BC與平面ACCA所成角的正切值等

1111111

于（）

76JlO^5Jl5

A.'1B.C.D..

4455

5.設函數f(x)=t(|(lnx+x'j))|恰有兩個極值點，則實數t的取值范圍是()

A.(|(一％]B.(|(5+W))|

C.gg)W(舄，+坳1D.(|(fmU|",+w))|

X2V2

6.雙曲線C：=?_=1(a>0,b>0)的離心率是3,焦點到漸近線的距離為J2,則雙曲線C的焦距為()

a2b2

A.3B.3/2C.6D.672

7.已知等差數列｛aj的前n項和為s門，且a?=—2,=10,則=()

A.45B.42C.25D.36

8.中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：”三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝

才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還意思為有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，

每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達目的地，請問第二天比第四天多走了()

A.96里B.72里C.48里D.24里

9.在菱形ABCD中，AC=4,BD=2,E,F分別為AB,BC的中點，則在=()

13515

A?B.—C.5D.

444

10.在等腰直角三角形ABC中，mc==，CA=d_2,D為AB的中點，將它沿CD翻折，使點A與點B間的距離

2

為哂,此時四面體ABCD的外接球的表面積為().

A.5"B.2城"■C.12"D.20"

3

11.曲線y=(ax+2)ex在點(0,2)處的切線方程為y=—2x+b,貝！Jab=()

A.—4B.—8C.4D.8

X2V2

12.雙曲線C：=1(a>0,b>0)的一個焦點為F(c,0)(c>0),且雙曲線C的兩條漸近線與圓C：

1a2b212

C2

(x—c)2+y2=_均相切，則雙曲線C的漸近線方程為()

41

xdsfby=0B.?x±y=0C.Fx±y=0D.x±/5y=0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=e-5x+2在點(0,3)處的切線方程為.

14.三個小朋友之間送禮物，約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人(送給兩個人的可能性相同)，則三人都收到

禮物的概率為.

15.已知函數f(x)=sin(|(2x-「)|,若方程f(x)=“解為x,x?(0<\<x?<"),則\+x?=；

sin(x-x)=.

12

16.已知函數f(x)=exCOSX+X5,則曲線y=f(x)在點(0,f(o))處的切線方程是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，點T為圓O：X2+y2=1上一動點，過點T分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A,B，連接

BA延長至點P,使得說="心，點P的軌跡記為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)若點A,B分別位于x軸與y軸的正半軸上，直線AB與曲線C相交于M,N兩點，且|AB|=1,試問在曲線

C上是否存在點Q,使得四邊形OMQN為平行四邊形，若存在，求出直線I方程；若不存在，說明理由.

18.(12分)近年空氣質量逐步惡化，霧霾天氣現象出現增多，大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸.呼吸困難等心

肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關，在某醫院隨機的對入院50人進行了問卷調查得到了如下的列聯表：

患心肺疾病不患心肺疾病合計

男5

女10

合計50

3

已知在全部50人中隨機抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為一.

5

(1)請將上面的列聯表補充完整，并判斷是否有99.5%的把握認為患心肺疾病與性別有關？請說明你的理由;

(2)已知在不患心肺疾病的5位男性中，有2位從事的是戶外作業的工作.為了指導市民盡可能地減少因霧霾天氣對身

體的傷害，現從不患心肺疾病的5位男性中，選出3人進行問卷調查，求所選的3人中至少有一位從事的是戶外作業

的概率.

下面的臨界值表供參考：

P(K2>k)

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-be)2

的公式”=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)

19.(12分)已知函數f(x)=eaxsin(bx),設f(x)為f(x)的導數，n=N*.

0nn-1

x

(1)求f"),f2();

(2)猜想f(X)的表達式，并證明你的結論.

n

20.(12分)已知在多面體ABCDEF中，平面CDFE」平面ABCD,且四邊形ECDF為正方形，且DC〃AB,

AB=3DC=6,AD=BC=5,點P,Q分別是BE,AD的中點.

(2)求平面AEF與平面PCD所成的銳二面角的余弦值.

21.(12分)已知函數f(x)=x-一+|n(x+1),a=R.

x+1

(1)討論f(x)的單調性；

(2)函數g(x)=X2+2,若對于vx=(-1,+w),3x=[l,2],使得f(x)>g(x)成立，求a的取值范圍.

x1212

22.(10分)已知等差數列恥則的等比數列滿足：

(I)求數列和的通項公式；

(II)求數列的前項和

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

根據題意，確定函數y=f(x)的性質，再判斷哪一個圖像具有這些性質.

由f(-x)=f(x)得y=f(x)是偶函數，所以函數丫=f(x)的圖象關于V軸對稱，可知B,D符合；由f(x+2)=f(x)

得y=f(x)是周期為2的周期函數，選項D的圖像的最小正周期是4,不符合，選項B的圖像的最小正周期是2,符

合，故選B.

2,B

【解析】

設｛a｝公差為d,由已知可得a進而求出｛a｝的通項公式，即可求解.

non

【詳解】

設｛a｝公差為d,a=7,a=15,

n24

:a=^2^^4=11,d=a—a=4,

3232

c10x(3+39)

:a=4n-1,:S=二=210.

n102

轆；B.

【點睛】

本題考查等差數列的基本量計算以及前n項和，屬于基礎題.

3、A

【解析】

由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示：

沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直,

則將幾何體分成兩個四棱錐和1個直三棱柱,

四棱錐的體積口b

由三視圖可知兩個四棱錐大小相等，捻口==豳立方丈=我瓢啦方尺.

腿A.

【點睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計算，其中正確還原幾何體，利用方格數據分割與計算是解題的關鍵.

4、D

【解析】

以A為坐標原點，AE所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，A個所在直線為z軸，

建立空間直角坐標系.求解平面ACCA的法向量，利用線面角的向量公式即得解.

11

【詳解】

如圖所示的直四棱柱ABCD—ABCD三ABC=60o,取BC中點E,

以A為坐標原點，AE所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，A,所在直線為z軸，

設AB=2,則A(0,0,0),A(0,0,2),B(——1.0),翅,1,0),Q疆,1,2),

町=(0,2,2),知=如,0)和=(0,0,2).

設平面ACCA1的法向量為n=(x,y,z),

F

伸

由=+y=a

則

J取X

西=o

lln2Z‘

得3=(1,~Vlo).

設直線BC與平面ACCA所成角為9,

111

f(^")2^/To

:cos9=f-nn)nF，

直線BC與平面ACCA所成角的正切值等于正

iii5

蠅D

【點睛】

本題考查了向量法求解線面角，考查了學生空間想象，邏輯推理，數學運算的能力，屬于中檔題.

5、C

【解析】

f(x)恰有兩個極值點，則f'x=0恰有兩個不同的解，求出fX可確定X=1是它的一個解，另一個解由方程

——t=0確定，令g(x)Af>(x>0)通過導數判斷函數值域求出方程有一個不是1的解時t應滿足的條件.

x+2x+2

【詳解】

由題意知函數f(X)的定義域為0,蚱0f,(x)=&-/一t(|(；F1一6)|

(x—I)[ex—t(x+2)](x—1)(X+2)(|(-^---t))|

—A'T"乙

X2=

因為f(x)恰有兩個極值點，所以fX0恰有兩個不同的解，顯然x=1是它的一個解，另一個解由方程

—t=o確定，且這個解不等于1.

x+2

在0,+OQ上單調遞增，從而g(x)>g(o)=3,

令g(x)=-±-(x>0)，貝Ug,(x)=籍?1>0,所以函數g(x)

且g(1)二合所以，當t>3t豐:時，f(x)==t(|(lnx+x，

))|恰有兩個極值點，即實數t的取值范圍是

J/JX)

蝮：c

【點睛】

本題考查利用導數研究函數的單調性與極值，函數與方程的應用，屬于中檔題.

6,A

【解析】

c

根據焦點到漸近線的距離，可得b,然后根據b2=C2-a2,e=-,可得結果.

a

【詳解】

由題可知：雙曲線的漸近線方程為bx±ay=O

取右焦點F（c,O）,一條漸近線I:bx-ay=0

則點F到I的距離為，由b2+a2=C2

yb2+a2

所以b=6",則C2-a2=2

CC2C2

又一二3亭——二9亭a2=一

aa29

C2一3

所以C2--=2亭c=—

92

所以焦距為：2c=3

雌：A

【點睛】

本題考查雙曲線漸近線方程，以及a,b,c,e之間的關系，識記常用的結論：焦點到漸近線的距離為b,屬基礎題.

7、D

【解析】

由等差數列的性質可知a+a=a+a，進而代入等差數列的前n項和的公式即可.

1928

【詳解】

由題S=9（q+”）=9q+”）=9根（-2+10）=36.

s222

故選:D

【點睛】

本題考查等差數列的性質，考查等差數列的前n項和.

8、B

【解析】

人每天走的路程構成公比為」的等比數列，設此人第一天走的路程為a,計算a=192,代入得到答案.

2

【詳解】

1

由題意可知此人每天走的路程構成公比為一的等比數列，設此人第一天走的路程為a,

2

「(1/I

a

1113

則一=378,解得a,=192，從而可得a?=192根2=%空=192根42》|=24,故a。-a4=96-24=72

1-1

2

故選：B.

【點睛】

本題考查了等比數列的應用，意在考查學生的計算能力和應用能力.

9、B

【解析】

據題意以菱形對角線交點0為坐標原點建立平面直角坐標系，用坐標表示出防，而，再根據坐標形式下向量的數量

積運算計算出結果.

【詳解】

BD的方向為X軸,CA的方向為y軸，建立直角坐標系,

.3)3)

"DF=

則口(一2"F|(9[I，D(1,0),DE='E，1)|,文

_95

所以DE.DF=——1=—.

44

蠅B.

【點睛】

本題考查建立平面直角坐標系解決向量的數量積問題，難度一般.長方形、正方形、菱形中的向量數量積問題，如果直

接計算較麻煩可考慮用建系的方法求解.

10、D

【解析】

如圖，將四面體ABCD放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上

下底面外接圓圓心連線中點，這樣根據幾何關系，求外接球的半徑.

【詳解】

^ABC中，易知AB=4,CD=AD=BD=2

翻折后AB=S,

2

22+22—(^3)1

:cosHADB==——?

2人2人22

:mDB=120,

設編ADB外接圓的半徑為r,

2J3

:——-5―=2r=4,:r=2,

sin1200

如圖：易得CD」平面ABD,將四面體ABCD放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點，設幾何體

外接球的半徑為R,

R2=T2+12=22+12=5,

:四面體ABCD的夕媵球的表面積為S=4幾R2=20幾.

蠅D

【點睛】

本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑

時，一般可以用補形法，因正方體，長方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體，

比如三條側棱兩兩垂直的三棱錐，或是構造直角三角形法，確定球心的位置，構造關于外接球半徑的方程求解.

11、B

【解析】

求函數導數，利用切線斜率求出a,根據切線過點(0,2)求出b即可.

【詳解】

因為y=(ax+2)ex,

所以y*=ex(ax+2+a),

故卜=『|=2+a=-2,

x=0

解得a=-4,

又切線過點(0,2),

所以2=-2x0+b,解得b=2,

所以ab=-8,

雌：B

【點睛】

本題主要考查了導數的幾何意義，切線方程，屬于中檔題.

12、A

【解析】

bec

根據題意得到d==,化簡得到a23b2,得到答案.

a2+ub29/

【詳解】

bbec

根據題意知：焦點F(c,0)到漸近線y=x的距離為d==,

aa2+b22

故a23b2,故漸近線為x±3y=0.

故選：A.

【點睛】

本題考查了直線和圓的位置關系，雙曲線的漸近線，意在考查學生的計算能力和轉化能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、5x+y-3=0.

【解析】

先利用導數求切線的斜率，再寫出切線方程.

【詳解】

因為/=-5e—5x,所以切線的斜率k=-5eo=-5,所以切線方程是：y-3=-5(x-0),即y=-5x+3.

故答案為y=-5x+3.

【點睛】

(1)本題主要考查導數的幾何意義和函數的求導，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)函數

y=f(x)在點x處的導數f'(x)是曲線y=f(x)在P(x,f(x))處的切線的斜率，相應的切線方程是

00o0

y-^=f*(xo)(x-x)

14、-

2

【解析】

基本事件總數n=23=8,三人都收到禮物包含的基本事件個數m-2x2x1=4.由此能求出三人都收到禮物的概率.

【詳解】

三個小朋友之間準備送禮物，

約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人(送給兩個人的可能性相同)，

基本事件總數n=23=8,

三人都收到禮物包含的基本事件個數m=2x2x1=4.

m41

則三人都收到禮物的概率p=—=—=—.

n82

故答案為：一.

2

【點睛】

本題考查古典概型概率的求法，考查運算求解能力，屬于基礎題.

15、鄴1

35

【解析】

求出f(x)=sin(2x—d)在(0,爪)上的對稱軸，依據對稱性可得X+x的值油x=2爪一x可得

612231

爪(爪)3爪

sin(x—x)=-cos(2x=),依據sinI2x-=-I=可求出cos(2x%)的值?

1216(1byb1

【詳解】

解令8―4嗎+W*=Z,除x=，9,k=Z

因為0<x<x〈爪，所以x,x關于x=心對稱.則x+x一？相爪一2爪

—d.q民1

121231233

2爪2爪4爪爪

由x=——x,則sin(x—x)=sin(2x-—4-=sin(2x—一cos(2x——)

-6

23112131216

由0＜「人＜爪可知，(|恪一^)|=(|(T刊))|，又因為］＜1,

所以?＜“只＜「則8s恪—g)正有T):

即sin(x—x)=-2

<25

2小_4

故答案為:

【點睛】

本題考查了三角函數的對稱軸，考查了誘導公式，考查了同角三角函數的基本關系.本題的易錯點在于沒有正確判斷

2X一爪的取值范圍，導致求出cos(2x一爪)=±4.在求f(x)=Asin(0x+Q)的對稱軸時，常用整體代入法，即令

1T13

Ox+Q=^+kJR,k=Z進行求解.

16、y=x+1

【解析】

求導，x=0代入求k,點斜式求切線方程即可

【詳解】

f,(x)=ex(cosx-sinx)+5x4,則f,(0)=1,又f(o)=1

故切線方程為y=x+1

故答案為y=x+1

【點睛】

本題考查切線方程，求導法則及運算，考查直線方程，考查計算能力，是基礎題

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

X2

17、(1)—+y2=1(2)不存在；詳見解析

4

【解析】

⑴設T(x0,y0),P(x,y),通過甌=KF,即A為PB的中點，轉化求解，點P的軌跡C的方程.

t2

(2)設直線I的方程為y=kx+t,先根據|AB|=1,可得2_+t2=1,①，再根據韋達定理，點在橢圓上可得

k2

4t2=4k2+1,②，將①代入②可得4k4+k2+1=0,該方程無解，問題得以解決

【詳解】

(1)設P(X,y),T(x,y),則慶(X,0),B(0,y),

0000

由題意知甌=AP；所以A為PB中點，

又點T在圓。：X2+y2=1上，故滿足x2+y2=1,得人■ys=1.

oo4

X2

:曲線C的方程—+y2=1.

4

(2)由題意知直線I的斜率存在且不為零，設直線I的方程為y=kx+t,

觥|AB卜。丁卜1,故(K-3)j+t2=i,即券+12=1①，

KK2

(|y=kx+t/x(x

聯立〈X2，消去y得：Uk2+17x2+8ktx+4\t2-1/=0,

|l7+y2=1

設M(x,y),N(x,y),

1122

4Q-1)

x+x=-8kt

XX=一

i24k2+1124k2+1

y=：x+x)+2t=k(|(—^-))|+2t=.2t

v2121A做2+1川4U+1

8kt2t)

因為四邊形。MQN用銜喇嗝故Q［一生+i，m+iJ,

(的V

點Q在橢圓上，故「映2+1,

z2t?21,整理得4t2=4k2+1②,

(K標心1

4

將①代入②，得4k4+k2+1=0,該方程無解，故這樣的直線不存在.

【點睛】

本題考查點的軌跡方程的求法、滿足條件的點是否存在的判斷與直線方程的求法，考查數學轉化思想方法，是中檔題.

9

18、(1)列聯表見解析，有99.5%的把握認為患心肺疾病與性別有關，理由見解析；(2)—.

10

【解析】

(1)結合題意完善列聯表，計算出K2的觀測值，對照臨界值表可得出結論;

(2)記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業的兩人分別為A、B,其余三人分別為a、b、c,利用列舉法列舉

出所有的基本事件，并確定事件”所選的3人中至少有一位從事的是戶外作業"所包含的基本事件數，利用古典概型的

概率公式可取得所求事件的概率.

【詳解】

3

(1)由于在全部50人中隨機抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為一，所以50人中患心肺疾病的人數為30人，故

5

可將列聯表補充如下:

患心肺疾病不患心肺疾病合計

男20525

女101525

合計302050

50根(20根15-5根10)225

Ka=-----~8.333>7.879?

25根25根30根203

故有99.5%的把握認為患心肺疾病與性別有關;

（2）記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業的兩人分別為A、B,其余三人分別為a、b、c.從中選取三人共

有以下10種情形：

（A,B,a）、（A,B,b）、（A,B,c）、（A,a,b）、（A,a,c）、（A,b,c）、（B,a,b）、（B,a,c）、（B,b,c）、（a,b,c）.

其中至少有一位從事的是戶外作業的有9種情形，分別為：（A,B,a）、（A,B,b）、（A,B,c）、（A,a,b）、（A,a,c）、

（A,b,c）、（B,a,b）、（B,a,c）、（B,b,c）,

g

所以所選的3人中至少有一位從事的是戶外作業的概率為P=得.

【點睛】

本題考查利用獨立性檢驗的基本思想解決實際問題，同時也考查了利用列舉法求解古典概型的概率問題，考查計算能

力，屬于中等題.

x=a2+

19^G）[（x）=（a2+b2力eaxsin（bx+0）/2（）^b2）eaxsin（bx+20）；

（2）f（x）=（a2+b2）丁e?sin（bx+nO），證明見解析

n

【解析】

等變換進行轉化求得f（X）的表達式；

2

（2）根據（1）中f（x）,f（x）的表達式進行歸納猜想，再利用數學歸納法證明即可.

12

【詳解】

（1）f（x）=f,（x）=aeaxsin（bx）+beaxcos（bx）

10

=Ja2+b2eax[_^^^^in（bx）+-^^^cos（bx）丁bseaxsin（bx+0）

LVa2+b24a2+b2J

b八a

,其中sinO='j「cosO=t'

Va2+b2Va2+b2

(x)=f,(x)=&+b2[aeaxsin(bx+0)+beaxcos(bx+0)]

=%+b2ea?[asin(bx+0)+bcos(bx+0)][

=(a2+bz)eaxsin(bx+20)bna

，其中sinO,cosO=Jin

+b2'Va2+b2

(2)猜想f(x)=(a2+b2)；sin(bx+nd)，n=N*

下面用數學歸納法證明:

①當n=1時，f(x)=&+b2)tsin(bx+Q)成立，

1

②假設n=k時，猜想成立

即f(x)=L+b2)2-eaxsin(bx+kQ)

k

當門=k+1時，f(x)=f,(x)

k+1k

=&+b2)t[aeaxsin(bx+kQ)+beax8s(bx+kQ)]

=(a2+b2)^eax「Iasjn(bx+kQ)+'_ccs(bx+kQ)[

Lva2+b24a2+b2J

=Q2+b2)TGaxsin(bx+k(k+1)Q)

:當n=k+1時，猜想成立

由①@f(x)=&+b2)%axsin(bx+nQ)對n=N*成立

n

【點睛】

本題考查導數及其應用、三角恒等變換、歸納與猜想和數學歸納法;考查學生的邏輯推理能力和運算求解能力;熟練掌

握用數學歸納法進行證明的步驟是求解本題的關鍵;屬于中檔題.

17

20、(1)證明見解析；(2)—.

25

【解析】

(1)構造直線PQ所在平面PHQ,由面面平行推證線面平行;

(2)以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的

余弦值.

【詳解】

(1)過點PHJBC交BC于H點，連接QH,如下圖所示:

因為平面CDFE」平面ABCD,且交線為CD,

又四邊形CDFE為正方形，故可得CE」CD,

故可得CE」平面ABCD,又CB彳二平面ABCD,

故可得CE」CB.

在三角形CBE中，因為P為BE中點，PHJCB,CE」CB,

故可得PH//CE,H為CB中點；

又因為四邊形ABCD為等腰梯形，H,Q是CB,AD的中點，

故可得HQ//CD；

又PHcHQ=H,CDcCE=C,

且PH,HQ仁平面PHQ,CD,CE仁平面DFEC,

故面PHQ〃面EFDC,

又因為PQ仁平面PHQ,

故PQ//面FECD.即證.

⑵連接AE,AC,作DM」AB交AB于M點，

由(1)可知CE」平面ABCD,又因為DF//CE,故可得DFJ平