第二章二、自變量趨于定點時函數極限第二節自變量改變過程六種形式:一、自變量趨于無窮大時函數極限本節內容:機動目錄上頁下頁返回結束函數極限

1/33一、自變量趨于無窮大時函數極限定義1.設函數上有定義,若則稱常數時極限,幾何解釋:記作直線y=A

為曲線水平漸近線機動目錄上頁下頁返回結束A

為函數2/33直線y=A仍是曲線

y=f(x)

漸近線.兩種特殊情況:當時,有當時,有幾何意義:比如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，機動目錄上頁下頁返回結束3/33例1.

證實證:取所以注:就有故要使即機動目錄上頁下頁返回結束4/33二、自變量趨于定點時函數極限1.時函數極限定義引例.

測量正方形面積.面積為A)邊長為(真值:邊長面積直接觀察值間接觀察值任給精度

,要求確定直接觀察值精度

:機動目錄上頁下頁返回結束5/33定義2.

設函數在點某去心鄰域內有定義,當時,有則稱常數

A

為函數當時極限,或即當時,有若記作幾何解釋:極限存在函數局部有界這表明:機動目錄上頁下頁返回結束6/33例2.證實證:故對任意當時,所以總有機動目錄上頁下頁返回結束7/33例3.證實證:要使取則當時,必有所以只要機動目錄上頁下頁返回結束8/33例3.

證實證:故取當時,必有所以機動目錄上頁下頁返回結束9/33例4.

證實:當證:要使且而可用所以只要時故取則當時,確保.必有機動目錄上頁下頁返回結束10/332.左極限與右極限左極限:當時,有右極限:當時,有定理1.機動目錄上頁下頁返回結束11/33例5.

設函數討論時極限是否存在.解:

利用定理1.因為顯然所以不存在.機動目錄上頁下頁返回結束12/33二、極限四則運算法則則有定理.

若機動目錄上頁下頁返回結束13/33

x=3時分母為0例6.

設有分式函數其中都是多項式,試證:證:說明:

若不能直接用商運算法則.例7.

若機動目錄上頁下頁返回結束14/33例8.

求解:

x=1時分母=0,分子≠0,但因機動目錄上頁下頁返回結束15/33例9.

求解:時,分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式機動目錄上頁下頁返回結束16/33普通有以下結果：為非負常數)(如P46例10)機動目錄上頁下頁返回結束17/33例10求解法1原式=解法2令則原式=機動目錄上頁下頁返回結束18/33內容小結1.函數極限或定義及應用2.函數極限定理左右極限等價定理思索與練習1.若極限存在,2.設函數且存在,則

作業

P51.4;5.Th1是否一定有第四節目錄上頁下頁返回結束？19/33推論:

若且則利用保號性定理證實.說明:

定理3可推廣到有限個函數相加、減情形.提醒:

令機動目錄上頁下頁返回結束20/33三、復合函數極限運算法則定理7.

設且

x滿足時,又則有證:

當時,有當時,有對上述取則當時故①所以①式成立.機動目錄上頁下頁返回結束21/33定理7.

設且x

滿足時,又則有

說明:若定理中則類似可得機動目錄上頁下頁返回結束22/33例8.求解:

方法1則令∴原式方法2機動目錄上頁下頁返回結束23/33內容小結1.極限運算法則(1)無窮小運算法則(2)極限四則運算法則(3)復合函數極限運算法則注意使用條件2.求函數極限方法(1)分式函數極限求法時,用代入法(分母不為0)時,對型,約去公因子時,分子分母同除最高次冪“

抓大頭”(2)復合函數極限求法設中間變量Th1Th2Th3Th4Th5Th7機動目錄上頁下頁返回結束24/33思索及練習1.是否存在?為何?答:

不存在.不然由利用極限四則運算法則可知存在,與已知條件矛盾.解:原式2.問機動目錄上頁下頁返回結束25/33例7.求解:

令已知∴原式=機動目錄上頁下頁返回結束26/334.

試確定常數a

使解:令則故機動目錄上頁下頁返回結束所以27/33作業P52（A）6（2），（3），（4），（8）.7（B）5

第六節目錄上頁下頁返回結束28/33備用題設解:利用前一極限式可令再利用后一極限式,得可見是多項式,且求故機動目錄上頁下頁返回結束29/332.保號性定理定理1.若且

A>0,證:

已知即當時,有當

A>0時,取正數則在對應鄰域上(<0)則存在(A<0)(P37定理3)機動目錄上頁下頁返回結束30/33若取則在對應鄰域上若則存在使當時,有推論:(P37推論)分析:機動目錄上頁下頁返回結束31/33定理2.

若在某去心鄰域內,且則證:

用反證法.則由定理1,某去心鄰域,使在該鄰域內與已知所以假設不真,(一樣可證情形)思索:

若定理2中條件改為是否必有不能!存在如假設A<0