獨立性檢驗

高二年級數(shù)學獨立性檢驗

高二年級數(shù)學1我們已經(jīng)知道，事件A與事件B獨立的充要條件是利用這一點，我們可以通過概率的計算來判斷兩個事件是否獨立.然而，如果要判斷現(xiàn)實生活中兩個隨機事件是否獨立，并不是一件容易的事.我們已經(jīng)知道，事件A與事件B獨立的充要條件是利用這一點，我們情境與問題任意抽取某市的一名學生，記A：喜歡長跑，B：是女生.（1）你能得出P(A)，P(B)，P(AB)這三者的準確值嗎？問題中的P(A)，P(B)，P(AB)準確值的確定，是比較難的，甚至是不可能的.然而，利用頻率估計概率，通過抽樣調查獲得樣本數(shù)據(jù)后，就可以得到上述三個值的近似值.情境與問題任意抽取某市的一名學生，記A：喜歡長跑，B：是女情境與問題任意抽取某市的一名學生，記A：喜歡長跑，B：是女生.（1）你能得出P(A)，P(B)，P(AB)這三者的準確值嗎？（2）如果要判斷A與B是否獨立，該怎么辦？從概率學的角度，受隨機性的影響，我們很難直接利用概率公式P(AB)=P(A)P(B)進行估計.情境與問題任意抽取某市的一名學生，記A：喜歡長跑，B：是女情境與問題任意抽取某市的一名學生，記A：喜歡長跑，B：是女生.（1）你能得出P(A)，P(B)，P(AB)這三者的準確值嗎？（2）如果要判斷A與B是否獨立，該怎么辦？如何判斷生活中兩個分類變量之間是否獨立，或如何對兩個分類變量進行獨立性檢驗，是我們生活中經(jīng)常遇到的一大類問題。情境與問題任意抽取某市的一名學生，記A：喜歡長跑，B：是女假設：通過調查，我們獲取了下述數(shù)據(jù)：抽查了110人，其中女生有50人；且這110人中，喜歡長跑的有60人，其中女生有20人.為了方便起見，請同學們把數(shù)據(jù)整理成表格形式.喜歡長跑不喜歡長跑總計女203050男402060總計6050110假設：通過調查，我們獲取了下述數(shù)據(jù)：抽查了110人，其中女生喜歡長跑不喜歡長跑總計女203050男402060總計6050110因為這個表格中，核心的數(shù)據(jù)是中間的4個格子，所以這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表.喜歡長跑不喜歡長跑總計女203050男402060總計605喜歡長跑不喜歡長跑總計女203050男402060總計6050110由2×2列聯(lián)表可知：喜歡長跑的概率P(A)可以估計為是女生的概率P(B)可以估計為喜歡長跑且是女生的概率P(AB)可以估計為喜歡長跑不喜歡長跑總計女203050男402060總計605嘗試與發(fā)現(xiàn)

同學們，此時可以利用是否成立來判斷A與B是否獨立嗎？答案是否定的.追問：為什么？因為P(A)，P(B)，P(AB)都是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到的估計值，而估計值是有誤差的，因此直接用是否成立來判斷A與B是否獨立是不合理的.嘗試與發(fā)現(xiàn)同學們，此時可以利用但是，如果A與B獨立，那么P(A)P(B)應該可以作為P(AB)的近似值.這是從統(tǒng)計意義上做出的合理推斷.即盡管隨機性會對數(shù)據(jù)的準確性帶來影響，但理論上，如果A與B是獨立的，則這種影響也一定不會太大.這是獨立性檢驗的基本思想.但是，如果A與B獨立，那么P(A)P(B)應該可以作為P(A需要說明的是：如果，則，，.因此，如果不會太大，則，，也都不會太大.需要說明的是：如果，則因此，從理論上可知，喜歡長跑的女生數(shù)可以怎樣估計？答：從理論上可知，喜歡長跑的女生數(shù)可以估計為：110P(A)P(B).而實際上，喜歡長跑的女生數(shù)可以怎樣表示？答：實際上，喜歡長跑的女生數(shù)可以估計為：110P(AB).因此，應該不會太大.因此，從理論上可知，喜歡長跑的女生數(shù)可以怎樣估計？答：從理論類似地，考慮與B，A與

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與

，可知：都應該不會太大.類似地，考慮與B，A與，與，可知：都應若記上述四項的和為（讀作“卡方”），則代入有關數(shù)據(jù)可以算得.概率學上可以證明，如果A與B獨立，則的概率只有1%，即.因為算出的值7.8大于6.635，所以若A與B獨立，那么我們就觀察到了概率不超過1%的事件.若記上述四項的和為（讀作“卡方”），則代入有關數(shù)據(jù)可以算得問題：現(xiàn)在算出的值7.8大于6.635，所以若A與B獨立，則該事件發(fā)生的概率是多少？若A與B獨立（即“喜歡長跑”與“是女生”獨立），則我們觀察到了一件概率不超過1%的事件.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為“喜歡長跑”與“是女生”不獨立（也稱為是否喜歡長跑與性別有關）；或有99%的把握認為是否喜歡長跑與性別有關.問題：現(xiàn)在算出的值7.8大于6.635，所以若A與B獨問題：現(xiàn)在算出的值7.8大于6.635，所以若A與B獨立，則該事件發(fā)生的概率是多少？若A與B獨立（即“喜歡長跑”與“是女生”獨立），則我們觀察到了一件概率不超過1%的事件.上述1%通常稱為顯著性水平，而6.635稱為顯著性水平1%所對應的分位數(shù).問題：現(xiàn)在算出的值7.8大于6.635，所以若A與B獨一般情況下，可以用完全類似的方法來檢驗兩個隨機事件是否獨立.如果隨機事件A與B的樣本數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表如下.總計aba+bcdc+d總計a+cb+da+b+c+d一般情況下，可以用完全類似的方法來檢驗兩個隨機事件是否獨立.如果隨機事件A與B的樣本數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表如下.總計aba+bcdc+d總計a+cb+da+b+c+d記，則由表可知：（1）事件A發(fā)生的概率可估計為：（2）事件B發(fā)生的概率可估計為：（3）事件AB發(fā)生的概率可估計為：如果隨機事件A與B的樣本數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表如下.總計aba+問題：如果A與B獨立，則P(A)P(B)與P(AB)的估計值相差如何？如果A與B獨立，則P(A)P(B)與P(AB)的估計值相差不大.追問：理論上既是A又是B的數(shù)據(jù)有多少個？追問：實際上既是A又是B的數(shù)據(jù)有多少個？實際上既是A又是B的數(shù)據(jù)有(即)個.理論上既是A又是B的數(shù)據(jù)有個.問題：如果A與B獨立，則P(A)P(B)與P(AB)的估計值問題：基于上頁結論，類比嘗試與發(fā)現(xiàn)中，的值不會太大，可以得到什么結論？不會太大.問題：基于上頁結論，類比嘗試與發(fā)現(xiàn)中，類似地，考慮與B，A與

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與

，可知：都不會太大.因此，這四個數(shù)的和也不會太大.類似地，考慮與B，A與，與，可知：都不此外，任意給定一個(稱為顯著性水平，通常取為0.05，0.01等)，可以找到滿足條件的數(shù)(稱為顯著性水平對應的分位數(shù)).

是一個隨機變量，其分布能夠求出，上面的概率是可以計算的.

此外，任意給定一個(稱為顯著性水平，通常取為0.05，0因此，如果根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出的值后，發(fā)現(xiàn)成立，就稱在犯錯誤的概率不超過的前提下，可以認為A與B不獨立（也稱A與B有關）；或說有的把握認為A與B有關.若成立，就稱不能得到前述結論.這一過程通常稱為獨立性檢驗.因此，如果根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出的值后，發(fā)現(xiàn)成立，就A與B獨立，也稱A與B無關.當成立時，一般不直接說A與B無關.也就是說，獨立性檢驗通常得到的結果，或者說有的把握認為A與B有關，或者沒有的把握認為A與B有關.統(tǒng)計學中，常用的顯著性水平以及對應的分位數(shù)如下表所示.A與B獨立，也稱A與B無關.當成立時，一般例

為了了解閱讀量多少與幸福感強弱之間的關系，一個調查機構得到了如下調查數(shù)據(jù).根據(jù)調查數(shù)據(jù)回答，在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為閱讀量多少與幸福感強弱有關嗎？典型例題幸福感強幸福感弱總計閱讀量多541872閱讀量少364278總計9060150例為了了解閱讀量多少與幸福感強弱之間的關系，一個調查機構得分析：（1）由的計算公式可得，我們需要知道的數(shù)值；（2）與顯著性水平對應的分位數(shù)比較.典型例題分析：（1）由的計算公式解：由題意可知典型例題又因為查表可得由于，所以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為閱讀量多少與幸福感強弱有關.

解：由題意可知典型例題又因為查表可得由于例

某報刊對男女學生是否喜歡書法進行了一個隨機調查，調查的數(shù)據(jù)如下表所示.根據(jù)調查數(shù)據(jù)回答：有95%的把握認為性別與是否喜歡書法有關嗎？典型例題喜歡書法不喜歡書法男學生2432女學生1624例某報刊對男女學生是否喜歡書法進行了一個隨機調查，調查的數(shù)解：由題意可知典型例題又因為，而且查表可得由于，所以沒有95%的把握認為性別與是否喜歡書法有關.

解：由題意可知典型例題又因為，而且查小結：回憶例題的解題過程，你能總結出獨立性檢驗實際問題的基本方法和步驟嗎？（1）繪制列聯(lián)表；（2）計算卡方數(shù)值；（3）與顯著性水平對應的分位數(shù)比較；（4）若，就稱在犯錯誤的概率不超過的前提下，可以認為A與B不獨立，或者說有的把握認為A與B有關；若，則說沒有的把握認為A與B有關.小結：回憶例題的解題過程，你能總結出獨立性檢驗實際問題的基本1.獨立性檢驗2.獨立性檢驗解決實際問題的基本方法和步驟課堂小結1.獨立性檢驗2.獨立性檢驗解決實際問題的基本方法和步驟課堂教材第116頁A組第2題1.為了探究成年人暈車與性別是否有關，