第十渤邏輯推理（一）由于數學學科的特點，通過數學的學習來培養少年兒童的邏輯推理.就力是一種極好的途徑.為了使同學們在思考問題時更嚴瘠更合理，會有很有據地想問題，而不是憑空猜想，這里我們專門討論一些有關邏輯推理的問題」解答這類問題，首先要從所給的條件中理清各部分之間的關系，然后進行分析推理，排除一些不可能的情況，逐步歸綱，找到正確的答案口例1公路上按一路縱隊排列著五輛大客年.每輛車的后面都貼上了該車的目的她的標志.每個司機都知道這五輛車有兩輛開住A市，有三輛開在B市：并且他們都只能看見在自己前面的車的標志.調度員聽說這幾位司機都很聰明，投有直接告訴他們的車是開住何處的，血讓他們根據已知的情況進行判斷.他先讓第三個司機猜猜自己的車是開住哪里的.這個司機看看前兩輛車的標志，想了想說“不知道叫第二輛車的司機看了看第一輛車的標志品、又根據第三個司機的*不知道冽t想了想，也說不知道.第一個司機也很聰明；他根據第二、三個司機的『不知道上作出了正確的判斷，說出了自己的目的地口請同學們想一想，第一個司機的車是開往哪兒去的三他又是怎樣分析出來的R解：根據第三輛車司機的“不知道，二且已知條件只有兩輛車開住A市，說明第一、二輛車不可能都開往A市.?否則，如果第一、二輛車都開往A市的，那么第三輛車的司機立即可以斷定他的車一定開在B市）口再根據第二輛車司機的“不知道;則第一輛車一定不是開住A市的.（否則，如果第一輛車開住A市，則第二輛車即可推斷他一定開住B市）口運用以上分析推理，第一輛車的司機可以判斷，他一定開往B市口例2李明、王宇、張虎三個男同學都各有一空妹妹，玄個人在一起打羽毛球，舉行混合雙打比賽.事先規定.兄妹二人不許搭伴口第一盤，李明和小華對張虎和小紅；笫二盤，張虎和小林對李明和王寧的妹妹，請你判斷，小華、小虹和小林各是誰的妹妹口解：因為張虎和小紅、小林都搭伴比賽，根據已知條件，兄妹二人不許搭伴,所以張虎的妹妹不是小紅和小林，那么只能是小華，剩下就只有兩種可能了.第一種可能是，李明的妹妹是小紅，王寧的妹妹是小林,,第二種可能是：李明的妹妹是小林，王寧的妹妹是小紅。對于第一種可能，第二盤比賽是張虎和小林對李明和王寧的妹妹,王寧的妹妹是小林,這樣就是張虎、李明和小林三人打棍合雙打，不符合實際，所以第一種可能是不成立的，只有第二種可能是合理的一所以判斷結果是.張虎的妹妹是小華學李明的妹妹是小林；王寧的妹妹是小紅。’.. 例3"迎春杯'數學競賽后，甲、，乙、丙、丁四名同學猜測他們之中誰能獲獎.甲說：“如果我能獲獎，那么乙也能獲獎J?乙說：''如果我能獲獎，那么丙也能獲獎,或丙說，“如果丁沒獲獎，那么我也不能獲獎.黑實際上，他們之中只有一個人沒有獲獎.并且甲、乙.丙說的話都是正確的.那么沒靛獲獎的同學是_。解「苜先根據丙說的話可以推知，丁必能獲獎.否則，假設丁沒獲獎，那么丙也沒獲獎，這與*他們之中只有一個人沒有獲獎中矛盾。其次考慮甲是否獲獎，假設甲能獲獎，那么根據甲說的話可以推知，乙也能獲獎；再根據乙說的話又可以推知丙也能獲獎『這樣就得出4個入全都能獲獎，不可能.因此，只有甲沒有獲獎口例4數學竟賽后，小明?小華.小強各獲得一枚獎牌，其中一人得金牌，一人得銀牌，一人得銅牌?王老師猜測:,‘小明得金牌孑小華不得金牌；小強不得銅牌「。結果王老師只猜對了一個;那么小明得.—牌，小華得一一牌，小強得分析邏輯問題通常直接采用正確的推理，逐一分析久討論所有可酢出現的情風舍棄不合理的情形’；最后得到問題的解卷這里以小明所得獎牌進行分林0解：①若.小明得金牌”時，小華一定注不得金牌1這與@王老師只猜對了一個,相矛盾，不合題意口②若小明得銀牌酎能再以小華得獎情況分別討論.如果小華得金牌.小強得銅牌，那么王老師沒有猜對一個，不合題意孑如果小華得銅牌，小強得金牌，那么王老師猜對了兩個；也不合題意.③若小明得銅牌時；仍以小華得獎情況分別討論.如皋小華得金牌；小強得銀牌，那么王老師只猜對小強得獎牌的名次，符合題意］如果小華得銀牌,小強得金牌，那幺王老師猜對了兩個;，不合題意綜上所述，小明，小華1小強分別獲銅牌、金牌、銀牌符合題意事例5有三只盒子，甲盒裝了兩個1克的硅用；乙盒裝了兩個2克的硅用二丙盒裝了一個1克、一個2克的祛弱,每只盒子外囿所貼的標明硅碼重量的標簽都是錯的.聰明的小明只從一只盒子里取出一個臟弱，放到天平上稱了一下，就把所有標釜都改正過來了.你知道這是為什幺嗎？分析解決本題的關鍵是確定打開哪只盒子：若打開標有右兩個1克秩碼”的盒子，則該盒的真實內容是『‘兩個？克敵俯7或〃一個1克酷碼?，一至￡克硅的「當取出的是2克祛用時，就無法對其內容作出準確的判斷,同樣，：打開標有卡兩個2克硅協好的盒子時，也會出現類似的情況.所以，應打開標有兼一個1克：&擔，一個2克祜碼江的盒子.而它的真實內容應該是.&兩個1克硅碼”或弟兩個2克酷碼、①若取出的是1克酷刊2則該盒一定裝有兩泠1克硅碼，從而標有我兩個2克獨碼”的盒子里，不可能是兩個?克或兩個1克的碳科，而只能是一個1克，一個2克的跌擔了孑標有“兩個1克稔碼”的盒子自然裝有兩個2克硅陰口②若取出的是2克送倒，同理可知，此盒裝有兩個2克碳謂：標有'兩個1克碳陰平的盒子里實際上是一個1克和一個2克的碳陰，標有“兩個2克碳擔"的盒子里實際上是兩個1克屈科.按以上的推理結果，?小明就將全部標簽改正過來了口例6四人打僑牌，某人手中有13版牌，四種花色樣樣有『四種花色的版數互不相同.紅桃和方塊共5張；紅桃與黑桃共6張：有兩張將牌〔主牌）.試問這副牌以什么花色的牌為主？解?①假設紅桃為主,那幺紅桃有2張；方塊有3張；黑桃有4張，因為共13張牌，所以草花有4張,..這樣一黑桃為草花張數相同.與已知條件仃四種花色的強數互不相同"矛盾，即紅桃不是主牌勺②假設方塊為主輝.那幺方塊有2張；紅桃有3張；則黑桃也有3張，亦與已知矛感?遹假設草花為主牌.那么草花有2張.并且推得紅桃十方塊+黑桃共有11張牌.而己知*'紅桃和方塊共5張，紅桃與黑桃共6張已即將紅桃+方塊+紅桃十黑桃共11張牌..由此得到紅桃的張數應為零.與已知條件“四種花包樣樣有“相矛盾.說明草花不是主牌＜■由以上推理得知，黑挑芯為主牌.即黑桃有2張；紅桃有4秣；方塊有1張.那么草花有B張口： 例丫S、.B、J、R四人分別獲數學、英語、語文和邏輯學四個學科的獎學金,、但他們都不知道自己獲得的是哪一門獲學金.他們相互猜測：S= 得邏輯學獎也以］得英語獎」備,J：飛得不到數學獎*取-汨得語文獎工最后發現，數學和邏輯學的獲獎者所作的猜測是正確的，其他兩人都猜錯T,那么他們各得哪門學科的獎學金器分析假設3猜對，即R得邏輯學獎.由已知條件”邏輯學萩獎者所作的猜測是正確的1則R猜對,那么B得語文獎，并且J、B均猜錯.而由B猜錯,可知J得數學獎：S只好得英語獎，這又說明J猜,火得不到數學獎”是正確的.與前面的推理U猜錯）,矛犀所以￡的猜測是錯誤的-解；S猜錯，即R得不到邏輯學獎，5不待數學獎旦不得邏輯學獎,由此可知，J的猜測是正確的.則J得數學或邏輯學獎.于是推得，B猜錯，故R猜對，即B得語文獎，S得英語獎，所繃得數學獎，j得邏輯學獎。例8kB,C三人進行小口徑步槍射擊比賽,每個人射擊6次,并且都得了口分.三人共次的得分情況，,從小到大排列為I '1,1,1,2,2,3,3,5,5,10,10f10f20,20f20f25,25,5。口已知A首先射擊兩次，共得罪分；C第一次射擊只得$分，請根據條件判斷，是譙擊中了靶心（擊中靶心得5Q分）?解'我們先來推斷屁次射擊的情況.已知前兩次得￡2分，&次共得門分，從71-2^=49可知，擊中靶心的決不會是k另一方面，在上面建外數中，兩數之和等于22的只可能是20和瓦再來推算一下四個數之和等于妁的可能性.首先，在這四個數中；血果投著25,是絕不可能組成看的.其次,由于49H5=24,則血果沒有2口，任何三個數也不能組成現而%-20二4,剩下的兩個數顯然只能是1和軍了,所以A射擊6次的得分￡不考慮得分順序）應該是232,25,23包1口（可在前面1W個數中，劃去上述6個數）o再來推斷擊中靶心的人5次得分的情況.從71-50=21可知，要在前面12個耒被劃去的數中，取5個數，使用和是21.可以斷定，這5個數中，必須包括一個13一個5,一個3,一個/一個1,即6次得分情況為50w10,5,3,2；lo在前面12個未被劃去的數中，劃去上面這6個數。,剩下的6個數25,20,10,10,鷺1—就是第三個人的得分情況了. —從這邑個數中設有三，而C第一次得了3分,可知這后個數是E射擊的得分數.因此C是擊中靶心的人.例9在一個慎東部里，有老實人和騙子兩類成員，老實人永遠說真話，騙子永遠說假話,一次我們和俱樂部的四個成員談天,我們便問他們彳％你們是什么人,是老實人？還是騙子?■守這四個人的回答如下；'?第一個人說；“我們四個人全都是騙子.”,第二個人說：父我們當中只有一個人是騙子.V第三個人說：“我們四個人中有兩個人是騙子.”第四個人說；“我是老實人”請判斷一下，第四個人是老實人嗎7解：①四個人當中一定有老實人.因為如果四個人都是騙子，則誰也不會說“我們四個人全都是騙子”.所以第一個人為騙子口②第二個人為騙子.因為如果他是老實人，說實話，由于我們已經判斷了第一個人是騙子，則第二，三，四個人都是老實人,但第三個人的回答與他矛盾.兩人不可能是同類的；故第二個人說的是假話;、他是騙子. ■■下面再看第三生人的回答：如果第三個人是編子，則由CD可知，第四都人一定是老實人；若第三個人是老實人，那么由他的話知他和第四個人是老實人.因而無論第三個人是騙子還是老實人，都可以推出第四個人是老實人.所以，笫四個人是老實人。例10某醫院內科病房;，h艮UD.E.F,G七名護士每周輪流安挑一個夜班.已經知道，A的夜班比至的夜班晚一天，D的夜班比E的夜班的前一天晚三天，B的夜班比G的夜班早三天*.F的夜班在B和C的夜班的正中間「而且是在星期四.問每個護士分別在星期幾道夜班？解；除F以外，可將已知條件歸的如下；CA,E_D,BG,這里的橫線表示空位6可見CA不能排在B—G中間，否則F就無法排在BC的正中間了,又F必排在三個空位之一，因此還有兩個空位必定是E_D和B_G交叉填空.于是可排出：EBLIFG或即EGD兩種情況，而熱只能加在任何一端，耶幺就有CAEEDF0,EBDFGCA,CABFEGD和BFEGD-CA四種排位.其中只有排位EBDFGCA才能滿足已知條件/F在BC的正中間”.所以七名護士值班排序是.E星期一值班.E星期二值班，口星期三值班，F星期四值班，G星期五值班，C星期六值班，A星期日值班.第十一講邏輯推理（二）上一講我們介紹了有關邏輯推理問題的簡單例子，它并沒有用到專門的藪?學原理，而是直接運用正確推理，解決邏輯問題的.這一講我們將利用圖表解決一些較為復雜的邏輯推理問題口例11一次數學考試，共六道判斷題.考生認為正確的就畫%認為錯誤的就畫“上力記分的方法是；答對一題給2分.不答的給1分；答錯的不給分,己如A、B-J氏E,F,G七人的答案及前六個人的得分記錄在蓑審，請在妻中填出G的得分；并簡單說明你的思路。分析由于E得了9分，說明他只答錯了一道題.先假定答錯的是第1題，這樣就有一個標準答案，并由此可分析其他人的得分.如出現矛盾，再假定E答錯的是第2題，二,，直到判斷出E答錯的題號為止.有了正確的答案，就可以寫出G的得分口解二假設E的第1題答錯，那么津少錯3道題，一題未答，最多得5分，與A得7分茅店…所以E帝1題密可。假設E第2題答錯，可知A最多得3分，才盾.所以E第2題答對口假設E第3題答錯，則B最多得3分，矛盾,所以E第3題答對。假設E第6題答錯，則口最多得3分，矛盾.所以E第&題答對口由于E得9分：因此E只答錯一題，因此E第4題答錯，于是以的第工4兩題對，弓、8兩題錯.曲&得T分，說明A的第5題是對的.由hE兩人的答案、可得一標準答案如下表.醺號答案1 2-3456裝W；濱：T7；翼按此標準評分，與題中所給k氏匚口、E、F得分相符合，所以E的第4題確實答錯了.上表的答案是正?確的.故可知研翳分。,'' 例12李英、趙林、王紅三人參加全國小學生數學競賽一他們是來自金城、沙一市，?水鄉的選手，并分別獲得一，二，三等獎?現在知道；①李英不是金城的選手，②趙林不是沙市的選手；③金城的選手不是一等獎，④機市的選手得二等獎，⑤趙林不是三等獎.根據上述情況，王紅是—的選手，他得的是一等獎。解：為了便于分析，我們畫表幫助思考.金城 ..沙市 1水妾李爰 ..X￡趨幃X11王級3根據條件①②，在相應的格中打上"X，由條件④得出：如果王紅是沙市的選手。他得二等獎，那么由條件③可知：金城選手不是一等獎i只能是三等獎.又因為李英不是金城選手，只有趙林得三等獎.這與條件⑤矛盾.所以王紅不是幼市選手「抄市選手應該是李英,他得二等獎.這樣金城的選手只能是王紅，他得三等獎。例13李云和他哥導參加一次集會，同時出席的還有其他兩對兄弟.見面后有的人握手可候，歿有人和自己的兄弟問候，也沒有人和司一個人提兩次手.事后李云發現除自己外每個人握手次數互不相同,問李云提了幾次手■?李云的哥哥握了幾次手"I””一■■'解：設除李云（用。表示）;之外的五個人分別是4&C,D.E,他們握手的次數分別是0次，1次、2次、歙、4次，那么他們的握手情況可以用右圖來表示，其申一條連線表示握過手一次，設有連線即表示沒握過手。從圖中很容易看出：李云握手2次?那么，誰是李云的哥哥呢？因為A是唯一沒有和E握過手的人，所以A、E是一對兄弟.□只和kB沒握過手.而A己經是E的兄弟了，所如、D也是一對兄弟.這樣只剩下C是李云的哥哥＞他握手的次數也為2次.例14紅、黃、藍、白、紫五種顏色的珠子各一顆，.分別用紙同著，在桌子上排成一行，有k.氏.C.□、.E五個人，猜各包珠子的顏色，每人只猜兩包。A猜：笫二包是紫的，第三包是黃的；B猜：第二包是藍的，第四包是紅的；C猜；第一包是紅的，第五包是白的，口猜：第三包是藍的，第四包是白的，E猜：笫二包是黃的，笫五包是紫的.猜完后，打開各紙包一看發現每人都只猜黯了一包，并且每包只有一人猜對.請你判斷他們各猜對了哪一包？解；我們把題目中的條件列成一個表，就更清楚了。——四,■五A.凳J.黃1B紀C.紅自D鼠,白E■,黃，甥根據已知條件，每一包都只有一人猜對，而第一包只有C猜，所以匚猜對了第一包，是紅的上.又根據每人只猜對了一種；所以C猜第五包是白的，猜錯了；第五包只有aE兩人猜，所班猜第五包是紫的：猜對了；那么E猜第二包是黃的，猜錯了，器顏色的珠子）只有機E兩人猜丁那么A猜第二包是索的，猜錯了）第二包有kB,E三人猜，其中A、E都猜錯了，所以B猜第二包是藍的；.猜對了，?那么B猜第四包是紅的；猜錯了；：D猜第三包是藍的；也猜錯了?.所以A猜對的是第三包，，是黃的；D猜對的是第四包，是白的。.”‘.總結以上推理判斷，A猜對了笫三包是黃的，艮猜對了第二包是藍的，匚猜對了第一包是紅的：口猜對了第四包是白的；E猜對了第五包是案的「注如果題中只給了一個條件："每人都只猜對了一包你能判斷他們都猜對了哪包嗎?例15有h&；C三個足球隊，哥兩隊都比賽一場，比賽結果是：A有一場踢平，共進球2個，失球白個：B兩戰兩勝，共失球2個寧C共進球4個，失球5個，請你寫出每氏比賽的比分0分析解決本題首先要明白兩點常識；①一個隊踢進一個球，對方就失去一個球，所以三個隊的總進球數應等于總失球數.」.。兩個隊踢平，顯然該場球的進、失球的總數應相等0根據己知條件，可以列成表格如下?,球就觸場敷位場敷平場敷進球數失球蒙A1-2SB22￡45解：已知每兩個隊要賽一場，一共要賽三場球.B是兩戰網勝士顯像一場勝A,另一場勝5州易平一場無疑是與C比賽的這場球。由總進球數等于總失球數，則B隊的進球數應為9個，因為A與C兩隊進球總數是6個，那么除去kC對號的那兩場球賽中，踢進B隊的那2球外，剩下的4個球便是A與C踢平那一場中雙方各自踢進對方的進球數的和，因此總與C踢成2比取現在從C的進球數分析，由于C進球4%*除去與A兩平外，另外進的兩個球是對B比賽進的球數，再從C的失球數分析，因為C對A失兩球，表中c共失了5個球，因此另外失的3.?個球就是對B失的球數,所以C對B是2比31 再.因為B進球共§個，除去對E進的3個球，那幺對謝進了行個球，&寸B沒有進球，所以B對A是6比5例16北京至福州列車里坐著6■位旅客:X民以口、恢凡分別來自北京、天律-上海、揚州-南京和杭州，已知①呼口北京人是醫生IE和天津人是教師？C和上海人是工程師。②h氏H和揚州人參過軍，而上海人從未參軍。③南京人比A歲數大二杭州人比B歲數大；F最年輕。④B和北京人一起去揚州iC和南京人一起去廣州口試根據已知條件確定每位旅客的住址和弱業。分析由于職業可由住址確定，所以只需考慮確定旅客的住址。市北京天津上他南京,揚州杭州兌XXXX3￥XCXXXIXXjXXXI父XXXX解：下面我們利用表格進行推理.表格中記號門）”表示這個人是來自這個城而記號"乂"裝下送個人不來自這個城市口由①可知，機C,E既不是北京人，也不是天津、上海天：由②可知,h氏F不是上海人，也不是揚州人.于是得到口是上海人.那么他不是其他城市的人如圖遏。由③知，解時不是南京人，那么A一定是杭州人.而其他旅客都不是杭州人如下圖在0。由④可知，B不是北京人，也不是南京人孑C不是南京人，那么B是天津人，C是揚麗兒也F是北京人,E是南京人.比!下囪旌j<、^而北京、^而北京天津上海南京杭州AXXXXXJEXXXCXXXXIIXXJXXKEXXXXFXX旅看、北京?天律上逋?南京揚用杭州AXXXXXEXJXXXXCXXXXXDXXXXXEXXXXXFJXXXXXCbl Gc丁綜合上述推理，我們得到.A是醫生，來自杭州；B是教師，來自天津；C是工程師m來自揚州：D是工程師，來自上海：E是教師，來自南京:F是醫生，來自北京。例17甲:乙、內三人分別在北京、天津、上海的中學教數學、物理、化學.已知①甲不在北京②乙不在天津：③在北京的人不教化學「④在天津的人教數學，⑤乙不教物理。根據以上情況判斷，甲、乙、丙三人分別在何處教何課程？分析根據己知條件，我們把人、地區、科目這三類分別用點表示在三個集合內.規定：兩者之間有關系用實線連接；沒有關系用虛線連接.這樣把問題轉化為用圖進行推理（如圖（威）.據此，下面的結果是顯懿的：①如果某一點用虛線連接某一個集合的兩個點，則這點與這一集合內的第三個■點應連實線「②如果在以不同集合內的點為頂點的三角形中兩條邊是實線,則第三條邊也應該是實線.這樣，上述三角形中若一條邊為虛線;另一條邊為實線;；則第三條邊一定為虛線.這兩條結論是解題的依據:解題的關鍵是找到三個以實線為邊的三角形心而而解I根據題意，甲與北京、乙與天津、乙與物理、北京與優學之間連虛線廠天津與數學之間連實線氐如上圖畢）?）.這樣，根據上面的結論，乙與數學應連虛線，乙與他學應連實緘q從而天律與化學連虛線，上海與化學連實線，乙與上海連實線（如下頁圖Q）1,即乙在上海教訛學.由圖G）進一步可以看出，甲與上海應連虛線，甲與天津連實線.因而甲與數學連實線（如下頁圖（的）.田此得出L甲蒞天津教數學，而余下就是內在北京教物理.產‘甲| 、已上總二改7-理產‘甲| 、已上總二改7-理北京天津上覿㈤習題十L有一個珠寶店發生了一起盜竊案、被盜走了許多珍貴的珠寶「經過幾個?月的偵破，查明作案的人肯定是k屏C、口中的一個，把這四個人當作重大嫌疑犯進行審訊，這四個人有這樣的口供：A,“珠寶店被盜那天，我在別的城市，所以我是不可能作案的.”亂勺是罪犯.”C,州是盜竊犯，他曾在黑市上賣珠寶,“D:'與我有仇，陷害我因為口供不一致，無法判斷誰是罪犯，經過進一步調查知道；這四個人只有一個說的是真話.你知道罪犯是誰嗎1小甲、乙一丙一丁四位同學的運動衫上印有不同的號科。趙說！師是2號，乙是3號」錢說：“丙是4號，乙是2號."-孫說：叮是2號，丙是M號."李說；',丁是4號，甲是1號,”又知道趙、錢、孫、李每人都只說對了一半，那么丙的號陰是幾?工對某班同學進行了調查，知道如下情況：?有哥哥的人沒有姐姐〉②役有哥哥的人有弟弟；③有弟弟的人有妹妹。試問：(1)有姐姐的人一定沒有哥哥，對嗎冷Q)有弟弟的人一定沒有哥哥，對嗎？我有哥哥的人一定有姝姝『對嗎?4.某校辦數學競賽.h氏C、D.E五位.同學得了前五名”發獎前.老師讓他們猜一猜各人的名次排列情況口A說；8第三名.，C第五名。E說；E第四名，D笫五名q二度、A笫~，名,E第四名。D說：￡第一名，B第二名。E說：A第三名，B第四名?口老師說；每個名次都有人猜對,那么，這五名同學的名次是怎樣排列的？習題十一.A.B,C.D四位同學參加60米賽跑的;決賽.賽前，四位同學對比賽結果各說了如下的一句話：超也門我會得第一名「.B說；C都不會取得第一名.鵬C說：,鵬或E會得第一名.”D詡州會得第一名.”結果有兩位同學說對了.試問：誰會獲得這次決賽的第一名？_左&B,0D四人同住一間寢室，其中一人在修指甲，一人在洗頭，一人在畫畫，另一人在看書，已知：①A不在修指甲,也不在看書.②B不在畫畫，也不在修指甲:③若A不在回圓，叫口不在修指甲i④。既不在看書，也不在修指甲：⑤D不在尊書，也不在畫畫口請問：他們各自在干什么？3.張、王、李三人分別出生在北京、上海和武漢學他們分別是歌唱演員、相聲演員和舞蹈演員.已知：①小王