8.3簡單幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積

棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的多面體，如何計算它們的表面積？探究點1棱柱、棱錐、棱臺的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和,棱柱、棱錐、棱臺表面積就是圍成它們的各個面的面積的和.棱柱的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？h棱柱的側面展開圖正棱柱的側面展開圖將空間圖形問題轉化為平面圖形問題，是解立體幾何問題最基本、最常用的方法.特別提醒棱錐的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？側面展開正棱錐的側面展開圖棱錐的側面展開圖h′h′棱臺的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？棱臺的側面展開圖側面展開h′h′正棱臺的側面展開圖棱柱、棱錐、棱臺的表面積棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面積就是計算它們的各個側面面積與底面面積之和．h′h′解因為△PBC是正三角形，且邊長為a，所以

因此四面體P-ABC的表面積例1四面體P-ABC的各棱長均為a，求它的表面積．分析：因為四面體P-ABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面的面積的4倍.BCAP

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，且AB=BC=1，AA1=2．求三棱柱的表面積S．解析:因為AB⊥BC，AB=BC=1，

所以S△ABC=AB·BC=，AC=

因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，

所以四邊形AA1B1B、AA1C1C和BB1C1C都是矩形，

因為AA1=2，所以矩形AA1B1B的面積為

=AA1×AB=2，

同理可得

所以直三棱柱ABC-A1B1C1的表面積為【變式練習】ABCA1B1C1以前學過特殊的棱柱——正方體、長方體的體積公式.它們分別是一般地，如果棱柱的底面積是S，高是h，那么這個棱柱的體積探究點2棱柱、棱錐、棱臺的體積【棱柱的體積】探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關系．【棱錐的體積】三棱錐與同底等高的三棱柱的關系等底等高的三棱錐體積相等.一般地,如果棱錐的底面面積為S,高為h,那么該棱錐的體積.（其中S為底面面積，h為高）.由于棱臺是由棱錐截成的，因此可以利用兩個棱錐的體積差，得到棱臺的體積公式根據棱臺的特征，如何求棱臺的體積？【棱臺的體積】其中S,分別為上、下底面面積，h為棱臺的高．

分別為上、下底面面積，h為臺體高S為底面面積，h為錐體高S為底面面積，h為柱體高柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關系？上底擴大上底縮小公式有它的統一性.【提升總結】例2一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是0.5m，公共面ABCD是邊長為1m的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米？(精確到0.01m3)分析:漏斗有兩個多面體組成，其容積就是兩個多面體的體積和.解：由題意知所以這個漏斗的容積求多面體表面積的方法1．多面體的表面積轉化為各面面積之和．2．解決有關棱臺的問題時，常用兩種解題思路：一是把基本量轉化到梯形中去解決；二是把棱臺還原成棱錐，利用棱錐的有關知識來解決．求幾何體體積的方法①公式法：直接代入公式求解．②等積法：只需選用底面積和高都易求的形式即可．③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積核心知識方法總結易錯提醒核心素養棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積1.數學抽象：棱柱、棱錐、棱臺的體積公式；2.數學運算：求多面體或多面體組合體的表面積和體積；3.數學建模：運用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進行計算和解決有關實際問題.棱錐棱臺棱柱棱柱、棱錐、棱臺的體積各面面積之和棱柱、棱錐、棱臺展開圖求多面體表面積1．多面體的表面積轉化為各面面積之和．2．解決有關棱臺的問題時，常用兩種解題思路：一是把基本量轉化到梯形中去解決；二是把棱臺還原成棱錐，利用棱錐的有關知識來解決．求幾何體體積的方法①公式法：直接代入公式求解．②等積法：只需選用底面積和高都易求的形式即可．③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積柱、錐、臺的體積的計算，一般要找出相應的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計算．CBD其所在長方體的長、寬、高分別為5,3,4,所以VA-BCD=3×4×5-4×=20.5.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為