第第頁江西省贛州市四高中2023-2024學年高二上學期開學考試數學試題（含解析）贛州市四高中2023-2024學年高二上學期開學考試

數學

一、單選題（每題5分，共40分）

1．“”是“，”的（）

A．充分必要條件B．充分條件

C．必要條件D．既不充分又不必要條件

2．將化為弧度制，正確的是（）

A．B．C．D．

3．已知向量，，則（）

A．B．2C．D．50

4．已知的三個頂點A，B，C的坐標分別是，則頂點D的坐標是（）

A．B．C．D．

5．的值為（）

A．B．C．D．

6．若，，則（）

A．B．C．D．

7．如圖，小明想測量自己家所在樓對面的電視塔的高度，他在自己家陽臺M處，M到樓地面底部點N的距離為，假設電視塔底部為E點，塔頂為F點，在自己家所在的樓與電視塔之間選一點P，且E，N，P三點共處同一水平線，在P處測得陽臺M處、電視塔頂處的仰角分別是和，在陽臺M處測得電視塔頂F處的仰角，假設，和點P在同一平面內，則小明測得的電視塔的高為（）

A．B．C．D．

8．如圖，已知正方形的邊長為2，，分別是，的中點，平面，且，則與平面所成角的正弦值為（）

A．B．C．D．

二、多選題（每題5分，共20分）

9．已知復數（其中是虛數單位），則下列命題中正確的有（）

A．B．z的虛部是－4

C．是純虛數D．z在復平面內對應的點位于第一象限

10．下列結論正確的是（）

A．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線BD1與B1C是異面直線

B．不共面的四點可以確定4個平面

C．圓錐的側面展開圖是個半圓，則圓錐的母線是底面半徑的2倍

D．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱

11．已知兩個單位向量和的夾角為，則（）

A．向量在向量上的投影向量為

B．向量與向量的夾角為

C．向量在向量上的投影向量為

D．的最小值為

12．如圖所示，在凸四邊形中，對邊，的延長線交于點，對邊，的延長線交于點，若，，，則（）

A．B．

C．的最大值為D．

三、填空題（共20分）

13．已知向量，若與互相垂直，則．

14．已知扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的面積為．

15．已知,且，，則的值是．

16．如圖，在長方體中，，，為的中點，過的平面分別與棱，交于點E，F，且，則截面四邊形的面積為.

四、解答題（共70分）

17．證明：.

18．已知復數，．

(1)當m取何值時，z為純虛數？

(2)當時，求的值．

19．已知函數的部分圖象如圖所示．

(1)求的解析式并求出的增區間；

(2)先把的圖象向右平移個單位，再向下平移1個單位，得到函數的圖象，若且關于的方程在上有解，求的取值范圍．

20．在中，內角所對的邊分別為，且滿足.

(1)求角的大小；

(2)若的面積為，外接圓的面積為，求.

21．如圖，有一塊扇形草地，已知半徑為R，，現要在其中圈出一塊矩形場地作為兒童樂園使用，其中點A，B在弧上，且線段平行于線段；

(1)若點A為弧的一個三等分點，求矩形的面積S；

(2)設，當A在何處時，矩形的面積S最大？最大值為多少？

22．已知平面四邊形ABCD，，，，現將沿邊折起，使得平面平面，此時，點為線段的中點.

(1)求證：平面；

(2)若為的中點，求與平面所成角的正弦值；

(3)在（2）的條件下，求二面角的平面角的余弦值.

標準答案

1．A

因為，

因此，“”是“，”的充分必要條件.

故選：A.

2．C

.

故選：C.

3．A

由題意向量，，

則向量，

故，

故選：A

4．A

設頂點D的坐標為，

由題意知，,根據向量的坐標運算解得；，

解得：，即頂點D的坐標為，

故選；A.

5．A

，

故選：A

6．C

解：由，得，

由，得，

所以

故選：C.

7．A

在中，，

在中，，，

則，

由正弦定理，

可得，

在中，(m).

故選：A.

8．D

如圖，連接、，且、分別交于、.

因為四邊形是正方形，、分別為和的中點，

故為的中點，因為平面，平面，

所以平面，所以到平面的距離就是點到平面的距離.

，即，平面，

平面，，平面，

平面平面平面平面，

作交于點，因為平面，平面平面，

平面，所以線段的長就是點到平面的距離.

正方形的邊長為.

平面，平面，所以，

在中，，根據，

有，得，

因為，平面，所以的長即為點到平面的距離，

，即與平面成角的正弦值為.

故選：D.

9．ACD

解：復數，，故A正確；

z的虛部是3，故B錯誤；

，是純虛數，故C正確；

z在復平面上的對應點是，在第一象限，故D正確.

故選：ACD

10．ABC

對于A，正方體中，∵平面，平面，，∴由異面直線判定定理得與是異面直線，故A正確；

對于B，不共面的四個點中每三個點都不共線，則任意三個點都可確定一個平面，共可以確定四個平面，故B正確；

對于C，設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，根據題意得，則，正確；

對于D，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，

由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，錯誤；

故選：ABC

11．ACD

選項A：向量在向量上的投影向量為，選項正確；

選項B；

解得向量與向量的夾角為，選項錯誤；

選項C；向量在向量上的投影向量為：

選項正確；

選項D；

當選項正確；

故選：ACD．

12．BD

A.

，故A錯誤；

B.過作交于，則，，

,由向量關系知：，即，

故B正確；

C.由B知,當且僅當時成立，

故C錯誤；

D.由，

，，則

當且僅當時成立，故D正確.

故選：BD

13．2

由題意可得，與互相垂直，則，即，即.

故答案為：

14．

由題意可知，扇形的半徑為，

故該扇形的面積為.

故答案為：.

15．

已知,，

則，，

即，，

又,，

則，，

則，，

則

故答案為：

16．

如圖：

過點B作的平行線分別與，的延長線交于G，H，連接，，

并分別與，交于E，F，因為，且平面，平面，

所以平面，所以平面即為平面，因為，，

所以，所以四邊形為菱形，且，，

所以.

故答案為：

17．證明見解析

.

18．(1)

(2)

（1）若為純虛數，則，解得.

（2）當時，，

所以，

所以.

19．(1)；

(2)

（1）由圖象可知，，則，

又，所以，故，

因為點在上，則，即，

所以，即，又，故，

所以，

令，得，

所以的增區間為.

（2）先把的圖象向右平移個單位得到的圖像對應的解析式為，

再向下平移1個單位，得到的圖像對應的解析式為，

，則，

所以，即，

因為在上有解，即在上有解，

所以，即的取值范圍為.

20．(1)

(2)或

（1）因為，由正弦定理可得，

所以，由余弦定理可得，

因為，所以；

（2）設外接圓的半徑為，因為外接圓的面積為，

所以，解得，

由正弦定理可得，

若的面積為，則，可得，①

由余弦定理可得，②

由①②可得，或.

21．(1)

(2)A在弧的四等分點處，.

（1）作，垂足為H，交于E，連接，

由于點A為弧的一個三等分點，四邊形為矩形，即關于直線對稱，

則，則，

而，故為等腰直角三角形，則，

故，

則

；

（2）因為，則，

，

故，

則

，

因為，所以，故時，取最大值，

即當時，，

即A在弧的四等分點處時，矩形的面積S最大，.

22．(1)證明見解析

(2)

(3)

（1）因為，，所以為等邊三角形，

因為為的中點，所以.

取的中點，連接，，則，

因為平面平面，平面平面，平面，

所以平面，又平面，所以，

因為，，，平面，所以平面，

因為平面，所以，

又因為，，平面，所以平面.

（2）過點作，垂足為．如圖所示，

由（1）知，平面，因為平面，所以，

，，平面，所以平面，

所以為與平面所成角.

由（1）知，平面，平面，所以,

在中，因為，，所以，

因為為的中點，所以，

在中，，

在中，，

在中，，

所以由同角三角函數的基本關系得.

所以與平面所成角的正弦值為.

（3）取的中點為，