第九章正弦穩態電路的分析第1頁，課件共99頁，創作于2023年2月9.1阻抗、導納及其等效變換1.復阻抗與復導納正弦激勵下Z+-無源線性+-|Z|RXj阻抗三角形單位：

阻抗模阻抗角第2頁，課件共99頁，創作于2023年2月復導納Y|Y|GBj

導納三角形對同一二端網絡:2.R、L、C元件的阻抗和導納（1）R：（2）L：（3）C：單位：S第3頁，課件共99頁，創作于2023年2月3.RLC串聯電路用相量法分析R、L、C串聯電路的阻抗。由KVL：其相量關系也成立LCRuuLuCi+-+-+-+-uRj

LR+-+-+-+第4頁，課件共99頁，創作于2023年2月Z—復阻抗；R—電阻(阻抗的實部)；X—電抗(阻抗的虛部)；|Z|—復阻抗的模；

—阻抗角。關系：或R=|Z|cos

X=|Z|sin

|Z|RXj阻抗三角形第5頁，課件共99頁，創作于2023年2月具體分析一下R、L、C串聯電路：Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠jwL>1/wC，X>0，j>0，電路為感性，電壓領先電流；wL<1/wC，X<0，j<0，電路為容性，電壓落后電流；wL=1/wC，X=0，j=0，電路為電阻性，電壓與電流同相。畫相量圖：選電流為參考向量(wL>1/wC)三角形UR、UX、U

稱為電壓三角形，它和阻抗三角形相似。即

UX第6頁，課件共99頁，創作于2023年2月例.LCRuuLuCi+-+-+-已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC.解：其相量模型為j

LR+-+-+-第7頁，課件共99頁，創作于2023年2月則UL=8.42>U=5，分電壓大于總電壓。

-3.4°相量圖第8頁，課件共99頁，創作于2023年2月4.RLC并聯電路由KCL：iLCRuiLiC+-iLj

LR+-第9頁，課件共99頁，創作于2023年2月Y—復導納；G—電導(導納的實部)；B—電納(導納的虛部)；|Y|—復導納的模；'—導納角。關系：或G=|Y|cos

'B=|Y|sin'|Y|GBj

導納三角形第10頁，課件共99頁，創作于2023年2月Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠j

wC>1/wL，B>0，j'>0，電路為容性，i領先u；wC<1/wL，B<0，j'<0，電路為感性，i落后u；wC=1/wL，B=0，j

=0，電路為電阻性，i與u同相。畫相量圖：選電壓為參考向量(wC<1/wL，<0)

'RLC并聯電路同樣會出現分電流大于總電流的現象j

LR+-第11頁，課件共99頁，創作于2023年2月5.復阻抗和復導納的等效互換一般情況G

1/RB

1/X。若Z為感性，X>0，則B<0，即仍為感性。ooZRjXooGjBY第12頁，課件共99頁，創作于2023年2月同樣，若由Y變為Z，則有：ooZRjXooGjBY第13頁，課件共99頁，創作于2023年2月9.2電路的相量圖1.電路的相量模型(phasormodel)相量模型：電壓、電流用相量；元件用復數阻抗或導納。LCRuSiLiCiR+-jwL1/jwCR+-時域電路相量模型第14頁，課件共99頁，創作于2023年2月時域列寫微分方程相量形式代數方程2.相量圖1.同頻率的正弦量才能表示在同一個向量圖中2.反時針旋轉角速度3.選定一個參考相量(設初相位為零。)第15頁，課件共99頁，創作于2023年2月例：上例中選ùR為參考相量=用途：②利用比例尺定量計算①定性分析第16頁，課件共99頁，創作于2023年2月小結：1.求正弦穩態解是求微分方程的特解，應用相量法將該問題轉化為求解復數代數方程問題。2.引入電路的相量模型，不必列寫時域微分方程，而直接列寫相量形式的代數方程。3.引入阻抗以后，可將所有網絡定理和方法都應用于交流，直流（f=0)是一個特例。第17頁，課件共99頁，創作于2023年2月9.3正弦穩態電路的分析電阻電路與正弦電流電路相量法分析比較：可見，二者依據的電路定律是相似的。只要作出正弦電流電路的相量模型，便可將電阻電路的分析方法推廣應用于正弦穩態的相量分析中。第18頁，課件共99頁，創作于2023年2月例1：已知Z1=10+j6.28

,Z2=20-j31.9

,Z3=15+j15.7

。Z1Z2Z3ab求Zab。第19頁，課件共99頁，創作于2023年2月同直流電路相似：ZZ1Z2+++---Y+-Y1Y2阻抗串并聯的計算第20頁，課件共99頁，創作于2023年2月例2:已知:求:各支路電流。Z1Z2R2+_Li1i2i3R1CuR2+_R1解：畫出電路的相量模型第21頁，課件共99頁，創作于2023年2月Z1Z2R2+_R1第22頁，課件共99頁，創作于2023年2月瞬時值表達式為：解畢！第23頁，課件共99頁，創作于2023年2月列寫電路的回路電流方程和節點電壓方程例3.解：+_LR1R2R3R4C+_R1R2R3R4回路法:第24頁，課件共99頁，創作于2023年2月+_R1R2R3R4節點法:第25頁，課件共99頁，創作于2023年2月法一：電源變換解：例4.Z2Z1ZZ3Z2Z1

Z3Z+-第26頁，課件共99頁，創作于2023年2月法二：戴維南等效變換Z0Z+-例5.用疊加定理計算電流Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3求開路電壓：求等效電阻：第27頁，課件共99頁，創作于2023年2月解：Z2Z1Z3Z2Z1Z3+-第28頁，課件共99頁，創作于2023年2月已知平衡電橋Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jwL3。

求：Zx=Rx+jwLx。由平衡條件：Z1Z3=

Z2Zx得R1(R3+jwL3)=R2(Rx+jwLx)∴Rx=R1R3/R2,Lx=L3R1/R2例6.解：Z1Z2ZxZ3

*|Z1|

1

?|Z3|

3

=|Z2|

2

?|Zx|

x

|Z1|

|Z3|

=|Z2|

|Zx|

1

+

3

=

2

+

x

第29頁，課件共99頁，創作于2023年2月已知：Z=10+j50W,Z1=400+j1000W。例7.解：ZZ1+_第30頁，課件共99頁，創作于2023年2月已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz求：線圈的電阻R2和電感L2。畫相量圖進行定性分析。例8.解：R1R2L2+_+_+_q2q第31頁，課件共99頁，創作于2023年2月用相量圖分析例9.移相橋電路。當R2由0時，解：當R2=0，q=-180；當R2

，q=0。ooabR2R1R1+_+-+-+-第32頁，課件共99頁，創作于2023年2月9.4正弦電流電路中的功率無源一端口網絡吸收的功率(u,i關聯)1.瞬時功率(instantaneouspower)無源+ui_第一種分解方法；第二種分解方法。第33頁，課件共99頁，創作于2023年2月第一種分解方法：

tOUIcos

(1-cos2t)-UIsin

sin2t第二種分解方法：

p有時為正,有時為負；

p>0,電路吸收功率：p<0，電路發出功率；UIcos

(1-cos2t)為不可逆分量。UIsin

sin2t為可逆分量。

t

iOupUIcos

-UIcos(2t)第34頁，課件共99頁，創作于2023年2月瞬時功率實用意義不大，一般討論所說的功率指一個周期平均值。2.平均功率(averagepower)P：

=

u-

i：功率因數角。對無源網絡，為其等效阻抗的阻抗角。cos

：功率因數。P的單位：W（瓦）第35頁，課件共99頁，創作于2023年2月一般地,有0

cosj1X>0,j>0,感性，滯后功率因數X<0,j<0,容性，超前功率因數例：cosj=0.5(滯后)，則j=60o(電壓領先電流60o)。cosj1,純電阻0，純電抗平均功率實際上是電阻消耗的功率，亦稱為有功功率。表示電路實際消耗的功率，它不僅與電壓電流有效值有關，而且與cosj有關，這是交流和直流的很大區別,主要由于電壓、電流存在相位差。第36頁，課件共99頁，創作于2023年2月4.視在功率(表觀功率)S反映電氣設備的容量。3.無功功率(reactivepower)Q表示交換功率的最大值，單位：var(乏)。Q>0，表示網絡吸收無功功率；Q<0，表示網絡發出無功功率。Q的大小反映網絡與外電路交換功率的大小。是由儲能元件L、C的性質決定的第37頁，課件共99頁，創作于2023年2月5.R、L、C元件的有功功率和無功功率uiR+-PR=UIcos

=UIcos0=UI=I2R=U2/RQR=UIsin

=UIsin0=0對電阻，u,i同相，故Q=0，即電阻只吸收(消耗)功率，不發出功率。iuL+-PL=UIcos

=UIcos90=0QL=UIsin

=UIsin90=UI對電感，u領先i90°,故PL=0，即電感不消耗功率。由于QL>0，故電感吸收無功功率。第38頁，課件共99頁，創作于2023年2月iuC+-PC=UIcos

=Uicos(-90)=0QC=UIsin

=UIsin(-90)=-UI對電容，i領先u90°,故PC=0，即電容不消耗功率。由于QC<0，故電容發出無功功率。6.電感、電容的無功補償作用LCRuuLuCi+-+-+-

t

iOuLuCpLpC當L發出功率時，C剛好吸收功率，則與外電路交換功率為pL+pC。因此，L、C的無功具有互相補償的作用。第39頁，課件共99頁，創作于2023年2月7.交流電路功率的測量uiZ+-W**i1i2R電流線圈電壓線圈單相功率表原理：電流線圈中通電流i1=i；電壓線圈串一大電阻R(R>>L)后，加上電壓u，則電壓線圈中的電流近似為i2

u/R2。第40頁，課件共99頁，創作于2023年2月指針偏轉角度(由M確定)與P成正比，由偏轉角(校準后)即可測量平均功率P。使用功率表應注意：(1)同名端：在負載u,i關聯方向下，電流i從電流線圈“*”號端流入，電壓u正端接電壓線圈“*”號端，此時P表示負載吸收的功率。(2)量程：P的量程=U的量程

I的量程cos

(表的)測量時，P、U、I均不能超量程。第41頁，課件共99頁，創作于2023年2月已知：電動機PD=1000W，U=220V，f=50Hz，C=30

F。求負載電路的功率因數。+_DC例.解：第42頁，課件共99頁，創作于2023年2月例.三表法測線圈參數。已知f=50Hz，且測得U=50V，I=1A，P=3W。解：RL+_ZVAW**第43頁，課件共99頁，創作于2023年2月9.5復功率1.復功率負載+_第44頁，課件共99頁，創作于2023年2月有功，無功，視在功率的關系：有功功率:P=UIcosj單位：W無功功率:P=UIsinj單位：var視在功率:S=UI

單位：VAjSPQjZRXjUURUXRX+_+_oo+_功率三角形阻抗三角形電壓三角形第45頁，課件共99頁，創作于2023年2月

電壓、電流的有功分量和無功分量：(以感性負載為例)RX+_+_+_

GB+_第46頁，課件共99頁，創作于2023年2月根據定義(發出無功)電抗元件吸收無功，在平均意義上不做功。反映了電源和負載之間交換能量的速率。無功的物理意義:第47頁，課件共99頁，創作于2023年2月復功率守恒定理：在正弦穩態下，任一電路的所有支路吸收的復功率之和為零。即此結論可用特勒根定理證明。第48頁，課件共99頁，創作于2023年2月一般情況下：+_+_+_第49頁，課件共99頁，創作于2023年2月已知如圖，求各支路的復功率。例.+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解一：第50頁，課件共99頁，創作于2023年2月+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解二：第51頁，課件共99頁，創作于2023年2月2、功率因數提高設備容量S(額定)向負載送多少有功要由負載的阻抗角決定。P=ScosjS75kVA負載cosj=1,P=S=75kWcosj=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用戶：異步電機空載cosj

=0.2~0.3滿載cosj=0.7~0.85日光燈cosj=0.45~0.6(1)設備不能充分利用，電流到了額定值，但功率容量還有；(2)當輸出相同的有功功率時，線路上電流大I=P/(Ucosj

)，線路壓降損耗大。功率因數低帶來的問題：第52頁，課件共99頁，創作于2023年2月解決辦法：并聯電容，提高功率因數(改進自身設備)。分析:j1j2LRC+_第53頁，課件共99頁，創作于2023年2月補償容量的確定：j1j2補償容量不同全——不要求(電容設備投資增加,經濟效果不明顯)欠過——使功率因數又由高變低(性質不同)綜合考慮，提高到適當值為宜(0.9左右)。第54頁，課件共99頁，創作于2023年2月功率因數提高后，線路上電流減少，就可以帶更多的負載，充分利用設備的能力。再從功率這個角度來看:并聯C后，電源向負載輸送的有功UILcosj1=UIcosj2不變，但是電源向負載輸送的無功UIsinj2<UILsinj1減少了，減少的這部分無功就由電容“產生”來補償，使感性負載吸收的無功不變，而功率因數得到改善。第55頁，課件共99頁，創作于2023年2月已知：f=50Hz,U=380V,P=20kW,cosj1=0.6(滯后)。要使功率因數提高到0.9,求并聯電容C。例.P=20kWcosj1=0.6+_CLRC+_解：j1j2第56頁，課件共99頁，創作于2023年2月補償容量也可以用功率三角形確定：j1j2PQCQLQ單純從提高cosj看是可以，但是負載上電壓改變了。在電網與電網連接上有用這種方法的，一般用戶采用并聯電容。思考：能否用串聯電容提高cosj?第57頁，課件共99頁，創作于2023年2月9.6最大功率傳輸討論正弦電流電路中負載獲得最大功率Pmax的條件。ZLZi+-Zi=Ri+jXi，ZL=RL+jXL(1)ZL=RL+jXL可任意改變第58頁，課件共99頁，創作于2023年2月(a)先討論XL改變時，P的極值顯然，當Xi+XL=0，即XL=-Xi時，P獲得極值(b)再討論RL改變時，P的最大值當RL=Ri時，P獲得最大值綜合(a)、(b)，可得負載上獲得最大功率的條件是：ZL=Zi*，即RL=RiXL=-Xi此結果可由P分別對XL、RL求偏導數得到。第59頁，課件共99頁，創作于2023年2月(2)若ZL=RL+jXL只允許XL改變此時獲得最大功率的條件Xi+XL=0，即XL=-Xi。(3)若ZL=RL+jXL=|ZL|

，RL、XL均可改變，但XL/RL不變(即|ZL|可變，

不變)最大功率為此時獲得最大功率的條件|ZL|=|Zi|

。最大功率為證明如下：第60頁，課件共99頁，創作于2023年2月(3)的證明：此時Pmax即如(3)中所示。證畢！第61頁，課件共99頁，創作于2023年2月諧振(resonance)是正弦電路在特定條件下所產生的一種特殊物理現象，作為電路計算沒有新內容，主要分析諧振電路的特點。9.7串聯電路的諧振含有L、C的電路，當電路中端口電壓、電流同相時，稱電路發生了諧振。一、諧振的定義R,L,C電路第62頁，課件共99頁，創作于2023年2月Rj

L+_二、RLC串聯電路的諧振1、諧振條件：（諧振角頻率）諧振角頻率(resonantangularfrequency)諧振頻率(resonantfrequency)諧振周期(resonantperiod)第63頁，課件共99頁，創作于2023年2月2、使RLC串聯電路發生諧振的條件（1）.LC不變，改變w。（2）.電源頻率不變，改變L或C(常改變C)。w0由電路本身的參數決定，一個RLC串聯電路只能有一個對應的w0,當外加頻率等于諧振頻率時，電路發生諧振。通常收音機選臺，即選擇不同頻率的信號，就采用改變C使電路達到諧振。第64頁，課件共99頁，創作于2023年2月3、RLC串聯電路諧振時的特點根據這個特征來判斷電路是否發生了串聯諧振。(2).入端阻抗Z為純電阻，即Z=R。電路中阻抗值|Z|最小。|Z|ww0OR(3).電流I達到最大值I0=U/R(U一定)。Rj

L+_+++___(4).LC上串聯總電壓為零，即第65頁，課件共99頁，創作于2023年2月串聯諧振時，電感上的電壓和電容上的電壓大小相等，方向相反，相互抵消，因此串聯諧振又稱電壓諧振。諧振時的相量圖當w0L=1/(w0C)>>R時，UL=UC>>U。(5).功率P=RI02=U2/R，電阻功率達到最大。即L與C交換能量，與電源間無能量交換。第66頁，課件共99頁，創作于2023年2月三、特性阻抗和品質因數1.特性阻抗(characteristicimpedance)

單位：

與諧振頻率無關，僅由電路參數決定。2.品質因數(qualityfactor)Q它是說明諧振電路性能的一個指標，同樣僅由電路的參數決定。無量綱諧振時的感抗或容抗第67頁，課件共99頁，創作于2023年2月(a)電壓關系：品質因數的意義：即UL0=UC0=QU諧振時電感電壓UL0(或電容電壓UC0)與電源電壓之比。表明諧振時的電壓放大倍數。第68頁，課件共99頁，創作于2023年2月UL0和UC0是外施電壓Q倍，如w0L=1/(w0C)>>R，則Q很高，L和C上出現高電壓,這一方面可以利用，另一方面要加以避免。例：某收音機C=150pF，L=250mH，R=20

但是在電力系統中，由于電源電壓本身比較高，一旦發生諧振，會因過電壓而擊穿絕緣損壞設備。應盡量避免。如信號電壓10mV,電感上電壓650mV這是所要的。第69頁，課件共99頁，創作于2023年2月(b)功率關系：電源發出功率：無功電源不向電路輸送無功。電感中的無功與電容中的無功大小相等，互相補償，彼此進行能量交換。有功+_PQLCR第70頁，課件共99頁，創作于2023年2月(c)能量關系：設則電場能量磁場能量電感和電容能量按正弦規律變化，最大值相等WLm=WCm?？偰芰渴浅Ａ?，不隨時間變化，正好等于最大值。第71頁，課件共99頁，創作于2023年2月電場能量和磁場能量不斷相互轉換，有一部分能量在電場和磁場之間作周期振蕩，不管振蕩過程劇烈程度如何，它都無能量傳給電源，也不從電源吸收能量。電感、電容儲能的總值與品質因數的關系：UC0=QU，則UCm0=QUm品質因數越大，總的能量就越大，振蕩程度就越劇烈。Q是反映諧振回路中電磁振蕩程度的量，一般講在要求發生諧振的回路中總希望盡可能提高Q值。與Q2成正比第72頁，課件共99頁，創作于2023年2月由Q的定義：從這個定義，可以對品質因數的本質有更進一步的了解：維持一定量的振蕩所消耗的能量愈小，則振蕩電路的“品質”愈好。第73頁，課件共99頁，創作于2023年2月四、RLC串聯諧振電路的諧振曲線和選擇性1.阻抗的頻率特性2.電流諧振曲線諧振曲線：表明電壓、電流大小與頻率的關系。幅值關系：可見I(w)與|Y(w)|相似。幅頻特性相頻特性第74頁，課件共99頁，創作于2023年2月X(

)|Z(

)|XL(

)XC(

)R

0

Z(

)O阻抗幅頻特性

(

)

0

O–/2/2阻抗相頻特性電流諧振曲線

0

O|Y(

)|I(

)I(

)U/R第75頁，課件共99頁，創作于2023年2月從電流諧振曲線看到，諧振時電流達到最大，當w偏離w0時，電流從最大值U/R降下來。換句話說，串聯諧振電路對不同頻率的信號有不同的響應，對諧振信號最突出(表現為電流最大)，而對遠離諧振頻率的信號加以抑制(電流小)。這種對不同輸入信號的選擇能力稱為“選擇性”。3.選擇性與通用諧振曲線(a)選擇性(selectivity)

0

OI(

)第76頁，課件共99頁，創作于2023年2月例.一接收器的電路參數為：L=250mH,R=20W,C=150pF(調好),U1=U2=U3=10mV,w0=5.5

106rad/s,f0=820kHz.+_+_+LCRu1u2u3_f(kHz)北京臺中央臺北京經濟臺

L8206401026X1290–166010340–660577129010001611I0=0.5I1=0.0152I2=0.0173I=U/|Z|(mA)第77頁，課件共99頁，創作于2023年2月從多頻率的信號中取出w0的那個信號，即選擇性。選擇性的好壞與諧振曲線的形狀有關，愈尖選擇性愈好。若LC不變，R大，曲線平坦，選擇性差。I0=0.5I1=0.0152I2=0.0173I=U/|Z|(mA)小得多∴收到北京臺820kHz的節目。Q對選擇性的影響：R變化對選擇性的影響就是Q對選擇性的影響。8206401200I(f)f(kHz)0第78頁，課件共99頁，創作于2023年2月為了方便與不同諧振回路之間進行比較，把電流諧振曲線的橫、縱坐標分別除以w0和I(w0)，即(b)通用諧振曲線第79頁，課件共99頁，創作于2023年2月Q越大，諧振曲線越尖。當稍微偏離諧振點時，曲線就急劇下降，電路對非諧振頻率下的電流具有較強的抑制能力，所以選擇性好。Q=10Q=1Q=0.51

2

10.7070

通用諧振曲線：因此，Q是反映諧振電路性質的一個重要指標。第80頁，課件共99頁，創作于2023年2月Q=10Q=1Q=0.51

2

10.7070

稱為通頻帶BW(BandWidth)可以證明：I/I0=0.707以分貝(dB)表示：20log10I/I0=20lg0.707=–3dB.所以，

1，

2稱為3分貝頻率。Q=1

0

2

10.707I00

第81頁，課件共99頁，創作于2023年2月4.UL(w)與UC(w)的頻率特性第82頁，課件共99頁，創作于2023年2月UL(w)：當w=0，UL(w)=0；0<w<w0，UL(w)增大；w=w0，UL(w)=QU；w>w0，電流開始減小，但速度不快，XL繼續增大，UL

仍有增大的趨勢，但在某個w下UL(w)達到最大值，然后減小。w，XL，UL()=U。類似可討論UC(w)。UUC(

Cm)QU

Cm

Lm

0UL(

)UC(

)U(

)1第83頁，課件共99頁，創作于2023年2月根據數學分析，當

=

Cm時，UC(

)獲最大值；當

=

Lm時，UL(

)獲最大值。且UC(

Cm)=UL(

Lm)。Q越高，wLm和wCm越靠近w0。wLm?wCm=w0。第84頁，課件共99頁，創作于2023年2月上面得到的都是由改變頻率而獲得的，如改變電路參數，則變化規律就不完全與上相似。上述分析原則一般來講可以推廣到其它形式的諧振電路中去，但不同形式的諧振電路有其不同的特征，要進行具體分析，不能簡單搬用。由于電壓最大值出現在諧振頻率附近很小的范圍內，因此同樣可以用串聯諧振電路來選擇諧振頻率及其附近的電壓，即對電壓也具有選擇性。第85頁，課件共99頁，創作于2023年2月一、簡單G、C、L并聯電路對偶：RLC串聯GCL并聯9.8并聯電路的諧振+_GCL第86頁，課件共99頁，創作于2023年2月RLC串聯GCL并聯|Z|ww0OR

0

OI(

)U/R

0

OU(

)IS/G|Y|ww0OG第87頁，課件共99頁，創作于2023年2月RLC串聯GCL并聯電壓諧振電流諧振UL(w0)=UC(w0)=QUIL(w0)

=IC(w0)

=QIS推導過程如下：