數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告是整理和表達(dá)思想的一個(gè)機(jī)會(huì)。可以根據(jù)教師指定的問題一一回答，也可以圍繞實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,自己確定一個(gè)題目，選擇一系列感興趣的問題層層深入地進(jìn)行討論。實(shí)驗(yàn)報(bào)告的行文力求既簡(jiǎn)潔又具有可讀性，教師依據(jù)學(xué)生對(duì)問題研究的深度給出成績(jī)。報(bào)告的主體大致包括五個(gè)方面(不一定非得如此)：實(shí)驗(yàn)題目實(shí)驗(yàn)?zāi)康模汉?jiǎn)要描述所要研究的問題，它背景和意義，本實(shí)驗(yàn)要達(dá)到的目的。3．實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和方法：說明你是怎樣安排你的實(shí)驗(yàn),并解釋這樣做的理由。4.實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析：保留那些能充分說明問題的數(shù)據(jù)，必要的地方加上表格或圖示，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、討論,說明發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律等。5．?dāng)?shù)學(xué)分析如有可能，應(yīng)當(dāng)用分析或理論的方法支持你的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。下面實(shí)一個(gè)實(shí)例：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告（一）一、實(shí)驗(yàn)題目：圓周率π的計(jì)算二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模簩W(xué)習(xí)使用各種方法來計(jì)算π,并且通過實(shí)驗(yàn)加深對(duì)MATLAB編程思想的了解；學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和方法：1.數(shù)值積分法定積分,計(jì)算出這個(gè)積分的數(shù)值，也就得出了π的值。計(jì)算這個(gè)積分的方法主要有以下兩種：1梯形公式：設(shè)分點(diǎn)x1,x2,…x(n-1)將積分區(qū)間[a,b]分成n等分，即xi=a+i(b-a)/n,0<=I<=n。所有的曲邊梯形的寬度都是h=(b-a)/n。記yi=f(xi).則第i個(gè)曲邊梯形的面積Si近似地等于梯形面積，即：Si=(y_(i-1)+yi)h/2。將所有這些梯形面積加起來就得到：S≈(b-a)[y1+y2+…+y_(n-1)+(y0+yn)/2]/n這就是梯形公式。下面用MATLAB計(jì)算當(dāng)n=1000時(shí)的S：①pi_TX=2辛普森公式：仍用分點(diǎn)Xi=a+i(b-a)/n(1<=i<=n-1)將區(qū)間[a,b]分成n等分，直線x=xi(1<=i<=n-1)將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形。再作每個(gè)小區(qū)間[x(i-1),xi]的中點(diǎn)x_(i-1/2)=a+(i-1/2)(b-a)/n。將第I個(gè)小曲邊梯形的上邊界y=f(x)(x_(i-1/2)<=x<=xi)近似看作經(jīng)過三點(diǎn)(x,f(x))(x=x_(i-1),x_(i-1/2),xi)的拋物線段，則可求得:Si≈(b-a)/(6n)*(y_(i-1)+4y_(i-1/2)+yi)其中，y_(i-1/2)=f(x_(i-1/2))。于是得到：S≈(b-a)/(6n)*[(y0+yn)+2(y1+y2+…+y_(n-1))+4(y_1/2+y_3/2+…+y_(n-1/2))]這就是辛普森公式。下面用MATLAB計(jì)算當(dāng)n=1000時(shí)的S：②pi_SPS=2.泰勒級(jí)數(shù)法利用反正切函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)有：Pi/4=arctan(1)=1-1/3+1/5-…但是這個(gè)級(jí)數(shù)無窮序列收斂太慢，不實(shí)用。要使泰勒級(jí)數(shù)收斂快，|x|應(yīng)當(dāng)比1小，最好是遠(yuǎn)比1小。我們有Maqin公式：π=16arctan(1/5)-4arctan(1/239)利用ractan(x)的泰勒展開式求出arctan(1/5)，arctan(1/239)的近似值，就可以由Maqin公式求出Pi的近似值了。泰勒級(jí)數(shù)是無窮級(jí)數(shù)，實(shí)際計(jì)算時(shí)必然只能取它的前n項(xiàng)，這就必然會(huì)產(chǎn)生截?cái)嗾`差En=|arctan(x)-(x-x^3/3+…+(-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1))|當(dāng)|x|<1時(shí)，可以簡(jiǎn)單地用En<x^(2n+1)/(2n+1)來估計(jì)截?cái)嗾`差。下面取展開式的前1000項(xiàng)，用MATLAB計(jì)算π:③pi_Maqin=3.蒙特卡羅法單位圓的面積等于Pi。可以用數(shù)值積分公式來計(jì)算這個(gè)面積的近似值。另一個(gè)方法是用蒙特卡羅法，即用隨機(jī)投點(diǎn)的方法來求這個(gè)面積π的近似值：任意產(chǎn)生區(qū)間[0,1]內(nèi)的一組隨機(jī)數(shù)x,y，則(x,y)就代表一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)P的坐標(biāo)。這個(gè)點(diǎn)落在單位扇形內(nèi)的充分必要條件是。取n=100000個(gè)點(diǎn)，計(jì)算Pi：④pi_MonteCarlo=求π的方法還有多種多樣，如蒲豐投針法、隨機(jī)整數(shù)互素法、蒙特卡羅求體積法等等，但這些方法求出的值和真實(shí)值之間的偏差很大，就不在此分析了。四、誤差分析：①pi_TX:E_TX=|-Pi|/Pi=②pi_SPS:E_SPS=|-Pi|/Pi=③pi_Maqin:E_Maqin=|-Pi|/Pi=0.④pi_MonteCarlo:E_MonteCarlo=(-Pi)/Pi=可見，在以上n的取值條件下，Maqin公式法所求出的π誤差最小，辛普森公式求出的誤差次之，而蒙特卡羅法的誤差使最大的。注：MATLAB程序可以寫在正文，也可列于文后。—完— 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告(二)——經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?了解最小二乘法的原理2學(xué)會(huì)用MATLAB軟件所提供的函數(shù)解決實(shí)際問題實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：增加生產(chǎn)、發(fā)展經(jīng)濟(jì)所依靠的主要因素有增加投資、增加勞動(dòng)力以及技術(shù)革新等，在研究國民經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值與這些因素的數(shù)量關(guān)系時(shí)，由于技術(shù)水平不像資金、勞動(dòng)力那樣容易定量化，作為初步的模型，可認(rèn)為技術(shù)水平不變，只討論產(chǎn)值和資金、勞動(dòng)力之間的關(guān)系。在科學(xué)發(fā)展不快時(shí)，如資本主義經(jīng)濟(jì)發(fā)展的前期，這種模型是有意義的。用Q，K，L分別表示產(chǎn)值、資金、勞動(dòng)力，要尋求數(shù)量關(guān)系Q（K，L）。經(jīng)過簡(jiǎn)化假設(shè)與分析，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，推導(dǎo)出一個(gè)著名的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)：Q（K，L）=aKαLβ,0<α,β<1(*)式中α,β，a要由經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定。現(xiàn)有美國馬薩諸塞州1900—1926年上述三個(gè)經(jīng)濟(jì)指數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，如表1，試用數(shù)據(jù)擬合的方法，求出（*）式中的參數(shù)α,β，a。表1TQKLTQKL19001.051.041.0519131.952.821.6819011.181.061.0819142.013.241.6519021.291.161.1819152.003.241.6219031.301.221.2219162.093.611.8619041.301.271.1719171.964.101.9319051.421.371.3019182.204.361.9619061.501.441.3919192.124.771.9519071.521.531.4719202.164.751.9019081.461.571.3719212.084.541.5819091.602.051.4319222.244.541.6719101.692.511.5819232.564.581.8219111.812.631.5919242.344.581.6019121.932.741.6619252.454.581.6119262.584.541.64第一種方法：由于產(chǎn)值Q、資金K、勞動(dòng)力L之間滿足著名的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)關(guān)系：Q（K，L）=aKαLβ,0<α,β<1我們可以用MATLAB軟件中的curvefit()程序來作數(shù)據(jù)擬合，即尋求函數(shù)Q(K，L)中的未知參數(shù)a,α,β，使這個(gè)函數(shù)盡量逼近表1所給出的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。現(xiàn)在我們就根據(jù)curvefit()函數(shù)編以下程序程序文件a1.m如下a=[1.051.181.291.301.301.421.501.521.461.601.691.811.931.952.012.002.091.962.202.122.162.082.242.562.342.452.58];y=[1.041.061.161.221.271.371.441.531.572.052.512.632.742.823.243.243.614.104.364.774.754.544.544.584.584.584.54;1.051.081.181.221.171.301.391.471.311.431.581.591.661.681.651.621.861.931.961.951.901.581.671.821.601.611.64];x0=[0.1,0.1,0.2];x=curvefit('curvefun',x0,y,a)其中的函數(shù)M——文件curvefun.m如下functiona=curvefun(x,y)a=x(1)*(y(1,:).^x(2)).*(y(2,:).^x(3));運(yùn)行a1.m可得以下結(jié)果x=1.22460.4612-0.1277則可以得到a=1.2246b=0.4612c=-0.1277于是公式變?yōu)镼(K,L)= 1.2246K0.4612L-0.1277這就是產(chǎn)值Q隨資金K、勞動(dòng)力L的變化規(guī)律。如果想得到更直觀的關(guān)系也可以畫出他們之間的關(guān)系圖形。在a1.m中加如下命令m=linspace(0,2.7,27);n=linspace(0,2.7,27);[M,N]=meshgrid(m,n);a=x(1)*(M.^x(2)).*(N.^x(3));surf(M,N,a);xlabel('K'),ylabel('L'),zlabel('Q')則可以得到圖1所示的圖形，其中z軸表示產(chǎn)值Q。圖1我們知道以上用的MATLAB的convefit()函數(shù)，可以根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)建各自的函數(shù)去逼近已知數(shù)據(jù)。而不象函數(shù)polyfit()是用多項(xiàng)式去逼近已知數(shù)據(jù)。但是用convefit()必須先確定函數(shù)的形式，然后再確定參數(shù)。所以有一個(gè)確定函數(shù)的過程，本題由于在經(jīng)濟(jì)學(xué)上已經(jīng)知道產(chǎn)值Q、資金K、勞動(dòng)力L之間滿足著名的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)關(guān)系，因此就省略了機(jī)理分析確定函數(shù)形式的這個(gè)過程。若實(shí)際問題的機(jī)理不清楚，或太復(fù)雜，就需要我們自己去假設(shè)，去大致確定。用polyfit()就沒有以上麻煩的步驟（因?yàn)樗写_定的形式，只需要確定未知參數(shù)）。但正因?yàn)檫@樣簡(jiǎn)單，決定了他解決問題的粗躁性。但有一點(diǎn)可以知道，convefit()函數(shù)可以解決polyfit()函數(shù)所能解決的問題。第二種方法：由于產(chǎn)值Q、資金K、勞動(dòng)力L之間有關(guān)系Q(K,L)=aKαLβ注意到該等式兩邊取對(duì)數(shù)后，lnQ是lnK和lnL的線性函數(shù)，即lnQ=lna+αlnK+βlnL;于是，可用線性函數(shù)擬合的方法確定未知參數(shù)x=[lnaαβ]。建立M文件：Q=[1.051.181.291.301.301.421.501.521.461.601.691.811.931.952.012.002.091.962.202.122.162.082.242.562.342.452.58];O=log([1.041.061.161.221.271.371.441.531.572.052.512.632.742.823.243.243.614.104.364.774.754.544.544.584.584.584.54;...1.051.081.181.221.171.301.391.471.311.431.581.591.661.681.651.621.861.931.961.951.901.581.671.821.601.611.64]);x0=[0.1,0.1,0.2];x=leastsq('funleast',x0,[],[],O,log(Q));a=exp(x(1)),alfa=x(2),beda=x(3),得出：a=1.1766,α=0.4153,β=0