2021年中考數學復習專題講座十：方案設計型問題

一、中考專題詮釋

方案設計型問題，是指根據問題所提供的信息，運用學過的技能和方法，進行設計和操

作，然后通過分析、計算、證明等，確定出最佳方案的一類數學問題。

隨著新課程改革的不斷深入，一些新穎、靈活、密切聯系實際的方案設計問題正越來越

受到中考命題人員的喜愛，這些問題主要考查學生動手操作能力和創新能力，這也是新課程

所要求的核心內容之一。

二、解題策略和解法精講

方案設計型問題涉及生產生活的方方面面，如：測量、購物、生產配料、汽車調配、圖

形拼接等。所用到的數學知識有方程、不等式、函數、解直角三角形、概率和統計等知識。

這類問題的應用性非常突出，題目一般較長，做題之前要認真讀題，理解題意，選擇和構造

合適的數學模型，通過數學求解，最終解決問題。解答此類問題必須具有扎實的基礎知識和

靈活運用知識的能力，另外，解題時還要注重綜合運用轉化思想、數形結合的思想、方程函

數思想及分類討論等各種數學思想。

三、中考考點精講

考點一：設計測量方案問題

這類問題主要包括物體高度的測量和地面寬度的測量。所用到的數學知識主要有相似、

全等、三角形中位線、投影、解直角三角形等。

例1（2020河南）某賓館為慶祝開業，在樓前懸掛了許多宣傳條幅.如圖所示，一條幅從

樓頂A處放下，在樓前點C處拉直固定.小明為了測量此條幅的長度，他先在樓前D處測

得樓頂A點的仰角為31。，再沿DB方向前進16米到達E處，測得點A的仰角為45。.已

知點C到大廈的距離BC=7米，ZABD=90°.請根據以上數據求條幅的長度（結果保留整

數.參考數據：tan31°之0.60,sin31°=0.52,cos31°=0.86）.

考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

分析：設AB=x米.根據NAEB=45。，NABE=90。得至ljBE=AB=x,然后在RtZ\ABD中得到

x

tan31°---------.求得x=24.然后在RtZXABC中，利用勾股定理求得AC即可.

x+16

解答：解：設AB=x米.

VZAEB=45°,ZABE=90°,

；.BE=AB=x

*人j

在RtaABD中，tanZD=—AB,

BD

即tan31°=--------

x+16

16tan31°16x0.6

..x=

1-tan31°~1-0.6-,

即AB、24米

在RtZ\ABC中，

AC=y)BC2+AB2?々+242=25.

即條幅的長度約為25米.

點評：本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是從實際問題中整理出直角三角形并求

解.

考點二：設計搭配方案問題

這類問題不僅在中考中經常出現，大家在平時的練習中也會經常碰到。它一般給出兩

種元素，利用這兩種元素搭配出不同的新事物，設計出方案，使獲利最大或成本最低。解

題時要根據題中蘊含的不等關系，列出不等式(組)，通過不等式組的整數解來確定方案。

例2(2020內江)某市為創建省衛生城市，有關部門決定利用現有的4200盆甲種花卉和

3090盆乙種花卉，搭配A、B兩種園藝造型共60個，擺放于入城大道的兩側，搭配每個造

型所需花卉數量的情況下表所示，結合上述信息，解答下列問題：

造型花卉甲乙

A8040

B5070

(1)符合題意的搭配方案有幾種？

(2)如果搭配一個A種造型的成本為1000元，搭配一個B種造型的成本為1500元，試說

明選用那種方案成本最低？最低成本為多少元？

考點：一元一次不等式組的應用。

專題：應用題；圖表型。

分析：(1)設需要搭配x個A種造型，則需要搭配B種造型(60-x)個，根據“4200

盆甲種花卉，,“3090盆乙種花卉”列不等式求解，取整數值即可.

(2)計算出每種方案的花費，然后即可判斷出答案.

解答：解：(1)設需要搭配x個A種造型，則需要搭配B種造型(60-x)個，

(80x+50(60-x)<4200

則有,、,，

40x+70(60-x)<3090

解得37<x<40,

所以x=37或38或39或40.

第一方案：A種造型37個，B種造型23個；

第二種方案：A種造型38個，B種造型22個；

第三種方案：A種造型39個，B種造型21個.

第四種方案：A種造型40個，B種造型20個.

(2)分別計算三種方案的成本為：

①37x1000+23x1500=71500元，

②38x1000+22x1500=71000元，

③39x1000+21x1500=70500元，

(4)40x1000+20X1500=70000元.

通過比較可知第④種方案成本最低.

答：選擇第四種方案成本最低，最低位70000元.

點評：此題考查了一元一次不等式組的應用，是一道實際問題，有一定的開放性，（1）根

據圖表信息，利用所用花卉數量不超過甲、乙兩種花卉的最高數量列不等式組解答；（2）為

最優化問題，根據（1）的結果直接計算即可.

考點三：設計銷售方案問題

在商品買賣中，更多蘊含著數學的學問。在形形色色的讓利、打折、買一贈一、摸獎等

促銷活動中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。通過計算不同的銷售方案盈利情況,

可以幫助我們明白更多的道理。近來還出現運用概率統計知識進行設計的問題。

例5（2020廣安）某學校為了改善辦學條件，計劃購置一批電子白板和一批筆記本電腦，

經投標，購買1塊電子白板比買3臺筆記本電腦多3000元，購買4塊電子白板和5臺筆記

本電腦共需80000元.

（1）求購買1塊電子白板和一臺筆記本電腦各需多少元？

（2）根據該校實際情況，需購買電子白板和筆記本電腦的總數為396,要求購買的總費用

不超過2700000元，并購買筆記本電腦的臺數不超過購買電子白板數量的3倍，該校有哪幾

種購買方案？

（3）上面的哪種購買方案最省錢？按最省錢方案購買需要多少錢？

考點：一元一次不等式組的應用；二元一次方程組的應用。

分析：（1）設購買1塊電子白板需要x元，一臺筆記本電腦需要y元，由題意得等量關

系：①買1塊電子白板的錢=買3臺筆記本電腦的錢+3000元，②購買4塊電子白板的費用

+5臺筆記本電腦的費用=80000元，由等量關系可得方程組，解方程組可得答案；

（2）設購買電子白板a塊，則購買筆記本電腦（396-a）臺，由題意得不等關系：①購買

筆記本電腦的臺數W購買電子白板數量的3倍;②電子白板和筆記本電腦總費用M2700000元，

根據不等關系可得不等式組，解不等式組，求出整數解即可；

（3）由于電子白板貴，故少買電子白板，多買電腦，根據（2）中的方案確定買的電腦數與

電子白板數，再算出總費用.

解答：解：（1）設購買1塊電子白板需要x元，一臺筆記本電腦需要y元，由題意得：

'x=3y+3000

4x+5y=80000

解得：尸15000.

ly=4000

答：購買1塊電子白板需要15000元，一臺筆記本電腦需要4000元.

（2）設購買電子白板a塊，則購買筆記本電腦（396-a）臺，由題意得：

396-a43a

（150003+4000（396-a）<2700000）

解得：99<a<101A,

11

為正整數，

，a=99,100,101,則電腦依次買：297臺，296臺,295臺.

因此該校有三種購買方案：

方案一：購買筆記本電腦295臺，則購買電子白板101塊；

方案二：購買筆記本電腦296臺，則購買電子白板100塊；

方案三：購買筆記本電腦297臺，則購買電子白板99塊;

（3）解法一：

購買筆記本電腦和電子白板的總費用為：

方案一：295x4000+101x15000=2695000（元）

方案二：296x4000+100x15000=2684（X）0（元）

方案三：297x4000+99x15000=2673000（元）

因此，方案三最省錢，按這種方案共需費用2673000元.

解法二：

設購買筆記本電腦數為z臺，購買筆記本電腦和電子白板的總費用為W元，

貝ijW=4000z+15000（396-z）=-11000z+5940000,

：W隨z的增大而減小，二當z=297時，W有最小值=2673000（元）

因此，當購買筆記本電腦297臺、購買電子白板99塊時，最省錢，這時共需費用2673000

元.

點評：此題主要考查了二元一次方程組的應用，不等式組的應用，關鍵是弄清題意，找出

題目中的等量關系與不等關系，列出方程組與不等式組.

考點四：設計圖案問題

圖形的分割、拼接問題是考查動手操作能力與空間想能力的一類重要問題，在各地的

中考試題中經常出現。這類問題大多具有一定的開放性，要求學生多角度、多層次的探索,

以展示思維的靈活性、發散性、創新性。

例6（2020遵義）在4x4的方格中有五個同樣大小的正方形如圖擺放，移動其中一個正

方形到空白方格中，與其余四個正方形組成的新圖形是一個軸對稱圖形，這樣的移法共有

種.

考點：利用軸對稱設計圖案.

分析：根據軸對稱圖形的性質，分別移動一個正方形，即可得出符合要求的答案.

解答：解：如圖所不：

故一共有13種做法，

故答案為：13.

點評：此題主要考查了利用軸對稱設計圖案，熟練利用軸對稱設計圖案關鍵是要熟悉軸對稱

的性質，利用軸對稱的作圖方法來作圖，通過變換對稱軸來得到不同的圖案.

四、真題演練

考點：利用平移設計圖案.

專題：探究型.

分析：根據平移及旋轉的性質對四個選項進行逐一分析即可.

解答：解：A、是利用圖形的旋轉得到的，故本選項錯誤；

B、是利用圖形的旋轉和平移得到的，故本選項錯誤；

C、是利用圖形的平移得到的，故本選項正確；

D、是利用圖形的旋轉得到的，故本選項錯誤.

故選C.

點評：本題考查的是利用平移設計圖案，熟知圖形經過平移后所得圖形與原圖形全等是解答

此題的關鍵.

3.（2020麗水）在方格紙中，選擇標有序號①②③④中的一個小正方形涂黑，與圖中陰影

部分構成中心對稱圖形.該小正方形的序號是（）

考點：利用旋轉設計圖案.

分析：通過觀察發現，當涂黑②時，所形成的圖形關于點A中心對稱.

解答：解：如圖，把標有序號②的白色小正方形涂黑，就可以使圖中的黑色部分構成一個中

心對稱圖形.

故選B.

點評：本題考查了利用旋轉設計圖案和中心對稱圖形的定義，要知道，一個圖形繞端點旋轉

180。所形成的圖形叫中心對稱圖形.

4.（2020廣元）下面的四個圖案中，既可用旋轉來分析整個圖案的形成過程，又可用軸對

稱來分析整個圖案的形成過程的圖案有（）

考點：利用旋轉設計圖案；利用軸對稱設計圖案.

分析：根據旋轉、軸對稱的定義來分析.

圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞某個固定點旋轉固定角度的位置移動；

軸對稱是指如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩側的圖形能夠互相重合，就是軸對稱.

解答：解：圖形1可以旋轉90。得到，也可以經過軸對稱，沿一條直線對折，能夠完全重合;

圖形2可以旋轉180。得到，也可以經過軸對稱，沿一條直線對折，能夠完全重合；

圖形3可以旋轉180。得到，也可以經過軸對稱，沿一條直線對折，能夠完全重合；

圖形4可以旋轉90。得到，也可以經過軸對稱，沿一條直線對折，能夠完全重合.

故既可用旋轉來分析整個圖案的形成過程，又可用軸對稱來分析整個圖案的形成過程的圖案

有4個.

故選A.

點評：考查了旋轉和軸對稱的性質.①旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的

大小、形狀都不改變，兩組對應點連線的交點是旋轉中心；②軸對稱圖形的對應線段、對應

角相等.

二、填空題

5.（2020杭州）如圖，平面直角坐標系中有四個點，它們的橫縱坐標均為整數.若在此平

面直角坐標系內移動點A,使得這四個點構成的四邊形是軸對稱圖形，并且點A的橫坐標

仍是整數，則移動后點A的坐標為.

考點：利用軸對稱設計圖案.

分析：根據軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重

合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，把A進行移動可得到點的坐標，注

意考慮全面.

A1(-1,1),A"(-2,-2),C(0,2),D(-2,-3)

故答案為：(-1,1),(-2,-2)),(0,2),(-2,-3).

點評：此題主要考查了利用軸對稱設計圖案，關鍵是掌握軸對稱圖形的定義，根據3個定點

所在位置，找出A的位置.

6.(2020漳州)利用對稱性可設計出美麗的圖案.在邊長為1的方格紙中，有如圖所示的

四邊形(頂點都在格點上).

(1)先作出該四邊形關于直線1成軸對稱的圖形，再作出你所作的圖形連同原四邊形繞0

點按順時針方向旋轉90。后的圖形；

(2)完成上述設計后，整個圖案的面積等于.

考點：利用旋轉設計圖案；利用軸對稱設計圖案.

專題：探究型.

分析：(1)根據圖形對稱的性質先作出關于直線1的對稱圖形，再作出所作的圖形連同原四

邊形繞0點按順時針方向旋轉90。后的圖形即可；

(2)先利用割補法求出原圖形的面積，由圖形旋轉及對稱的性質可知經過旋轉與軸對稱所

得圖形與原圖形全等即可得出結論.

先作出關于直線1的對稱圖形；

再作出所作的圖形連同原四邊形繞0點按順時針方向

旋轉90。后的圖形.

（2）?.?邊長為1的方格紙中一個方格的面積是1,

.?.原圖形的面積為5,

...整個圖案的面積=4x5=20.

故答案為：20.

點評：本題考查的是利用旋轉及軸對稱設計圖案，熟知經過旋轉與軸對稱所得圖形與原圖形

全等是解答此題的關鍵.

三、解答題

7.（2020山西）實踐與操作：如圖1是以正方形兩頂點為圓心，邊長為半徑，畫兩段相等

的圓弧而成的軸對稱圖形，圖2是以圖1為基本圖案經過圖形變換拼成的一個中心對稱圖形.

（1）請你仿照圖1,用兩段相等圓弧（小于或等于半圓），在圖3中重新設計一個不同的軸

對稱圖形.

（2）以你在圖3中所畫的圖形為基本圖案，經過圖形變換在圖4中拼成一個中心對稱圖形.

考點：利用旋轉設計圖案；利用軸對稱設計圖案.

分析：（1）利用正方形邊長的一半為半徑，以邊長中點為圓心畫半圓，畫出兩個半圓即可得

出答案；

（2）利用（1）中圖象，直接拼湊在一起得出答案即可.

圖3

解答：圖4解：(1)在圖3中設計出符合題目要求的圖形.

(2)在圖4中畫出符合題目要求的圖形.

評分說明：此題為開放性試題，答案不唯一，只要符合題目要求即可給分.

點評：此題主要考查了利用軸對稱設計圖案，仿照已知，利用軸對稱圖形的定義作出軸對稱

圖形是解題關鍵.

9.(2020丹東)南中國海是中國固有領海，我漁政船經常在此海域執勤巡察.一天我漁政

船停在小島A北偏西37。方向的B處，觀察A島周邊海域.據測算，漁政船距A島的距離

AB長為10海里.此時位于A島正西方向C處的我漁船遭到某國軍艦的襲擾，船長發現在

其北偏東50。的方向上有我方漁政船，便發出緊急求救信號.漁政船接警后，立即沿BC航

線以每小時30海里的速度前往救助，問漁政船大約需多少分鐘能到達漁船所在的C處？(參

考數據：sin37°~0.60,cos37°=0.80,sin50yo.77,cos50yo.64,sin53°~0.80,cos53°~0.60,

sin40°=0.64,cos40°=0.77)

考點：解直角三角形的應用-方向角問題.

分析：首先B點作BD1AC,垂足為D,根據題意，得：/ABD=/BAM=37。，

ZCBD=ZBCN=50°,然后分別在RtaABD與RtZ\CBD中，利用余弦函數求得BD與BC

的長，繼而求得答案.

根據題意，得：/ABD=/BAM=37。，ZCBD=ZBCN=50°,

在RtZ\ABD中，

,BD

.cosNABD=-----,

AB

；.cos37°=—=0.80,

10

.,?BD~10x0.8=8（海里）,

在RtACBD中，

cosZCBD=-----,

BC

。8

cos50=-----~0.64,

BC

.,?BC~8-0.64=12.5（海里）,

12.5+30=—（小時），

12

Z.—x60=25（分鐘）.

12

答：漁政船約25分鐘到達漁船所在的C處.

點評：此題考查了方向角問題.此題難度適中，解題的關鍵是利用方向角構造直角三角形，

然后解直角三角形，注意數形結合思想的應用.

10.（2020長春）如圖，有一個腺衣架放置在水平地面上，在其示意圖中，支架OA、OB

的長均為108cm,支架OA與水平晾衣桿OC的夾角ZAOC為59°,求支架兩個著地點之間

的距離AB.（結果精確到0.1cm）[參考數據：sin59°=0.86,cos59°=0.52,tan59°=1.66]

考點：解直角三角形的應用.

分析：作ODLAB于點D,在直角三角形OAD中，利用已知角的余弦值和OA的長求得

AD的長即可求得線段AB的長.

解答：A。5解：作ODLAB于點D,

VOA=OB

；.AD=BD

：OC〃AB

ZOAB=59°,

在RtAOD中，AD=OA?cos59°,

AB=2AD=2OA?cos59°=2x108><0.52=l12.3cm.

答：支架兩個著地點之間的距離AB約為112.3cm.

點評：本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是正確構造直角三角形并求解

12.（2020河池）隨著人們環保意識的不斷增強，我市家庭電動自行車的擁有量逐年增加.據

統計，某小區2009年底擁有家庭電動自行車125輛，2011年底家庭電動自行車的擁有量達

到180輛.

（1）若該小區2009年底到2012年底家庭電動自行車擁有量的年平均增長率相同，則該小

區到2012年底電動自行車將達到多少輛？

（2）為了緩解停車矛盾，該小區決定投資3萬元再建若干個停車位，據測算，建造費用分

別為室內車位1000元/個，露天車位200元/個.考慮到實際因素，計劃露天車位的數量不

少于室內車位的2倍，但不超過室內車位的2.5倍，則該小區最多可建兩種車位各多少個？

試寫出所有可能的方案.

考點：一元二次方程的應用；一元一次不等式組的應用。

分析：（1）設年平均增長率是X,根據某小區2009年底擁有家庭電動自行車125輛，2011

年底家庭電動自行車的擁有量達到180輛，可求出增長率，進而可求出到2012年底家庭電

動車將達到多少輛.

（2）設建x個室內車位，根據投資錢數可表示出露天車位，根據計劃露天車位的數量不少

于室內車位的2倍，但不超過室內車位的3倍，可列出不等式組求解，進而可求出方案情況.

解答：解：（1）設家庭電動自行車擁有量的年平均增長率為X,

則125（1+x）2=180,

解得X|=0.2=25%,X2=-2.2（不合題意,舍去）

A180（1+20%）=216（輛），

答：該小區到2012年底家庭電動自行車將達到216輛；

（2）設該小區可建室內車位a個，露天車位b個，

則p000a+200b=30000①，

l2a<b<2.5a②

由①得b=150-5a,

代入②得204W坦，

7

是正整數，

，a=20或21,

當a=20時b=50,當a=21時b=45.

方案一：建室內車位20個，露天車位50個；

方案二：室內車位21個，露天車位45個.

點評：本題考查了一元二次方程的應用，關鍵是先求出增長率，再求出2012年的家庭電

動自行車量，然后根據室內車位和露天車位的數量關系列出不等式組求解.

15.（2020丹東）某商場為了吸引顧客，設計了一種促銷活動.在一個不透明的箱子里放有

4個完全相同的小球，球上分別標有“0元”、“10元”、“30元”和“50元”的字樣.規定：顧客

在本商場同一日內，消費每滿300元，就可以從箱子里先后摸出兩個球（每次只摸出一個球,

第一次摸出后不放回）.商場根據兩個小球所標金額之和返還相應價格的購物券，可以重新

在本商場消費.某顧客消費剛好滿300元，則在本次消費中：

（1）該顧客至少可得元購物券，至多可得元購物券；

（2）請用畫樹狀圖或列表法，求出該顧客所獲購物券的金額不低于50元的概率.

考點：列表法與樹狀圖法.

分析：（1）根據題意即可求得該顧客至少可得的購物券，至多可得的購物券的金額；

（2）首先根據題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結果與該顧客所獲購物券的金

額不低于50元的情況，再利用概率公式求解即可求得答案.

解答：解：（1）根據題意得：該顧客至少可得購物券：0+10=10（元），至多可得購物券：

30+50=80（元）.

故答案為：10,80.

（2）列表得:

0103050

0-(0,10)(0,30)(0,50)

10(10,0)-(10,30)(10,50)

30(30,0)(30,10)-(30,50)

50(50,0)(50,10)(50,30)-

???兩次摸球可能出現的結果共有12種，每種結果出現的可能性相同，而所獲購物券的金額

不低于50元的結果共有6種.

該顧客所獲購物券的金額不低于50元的概率是：

2

點評：此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.注意畫樹狀圖法與列表法可以不重復不遺

漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完

成的事件；注意此題是不放回實驗.

17.（2020鐵嶺）為獎勵在文藝匯演中表現突出的同學，班主任派生活委員小亮到文具店為

獲獎同學購買獎品.小亮發現，如果買1個筆記本和3支鋼筆，則需要18元；如果買2個

筆記本和5支鋼筆，則需要31元.

（1）求購買每個筆記本和每支鋼筆各多少元？

（2）班主任給小亮的班費是100元，需要獎勵的同學是24名（每人獎勵一件獎品），若購

買的鋼筆數不少于筆記本數，求小亮有哪幾種購買方案？

考點：一元一次不等式組的應用；二元一次方程組的應用。

分析：（1）每個筆記本x元，每支鋼筆y元，根據題意列出方程組求解即可；

（2）設購買筆記本m個，則購買鋼筆（24-m）個利用總費用不超過100元和鋼筆數不少

于筆記本數列出不等式組求得m的取值范圍后即可確定方案.

解答：解：（1）設每個筆記本x元，每支鋼筆y元

依題意得：0+3廠18

12x+5y=31

（x=3

解得:

Iy=5

答：設每個筆記本3元，每支鋼筆5元.

（2）設購買筆記本m個，則購買鋼筆（24-m）個

次斯琴俎（3/5（24-m）<100

依題意得：j

10<%24-m

解得：12NmN10

?；m取正整數

Am=10或11或或

.??有三種購買方案：①購買筆記本10個，則購買鋼筆14個.

②購買筆記本11個，則購買鋼筆13個.

③購買筆記本12個，則購買鋼筆12個.

點評：本題考查了一元一次不等式的應用及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是仔細的

分析題意并找到等量關系列方程或不等關系列不等式.

18.（2020南充）學校6名教師和234名學生集體外出活動，準備租用45座大車或30座小

車.若租用1輛大車2輛小車共需租車費1000元;若租用2輛大車一輛小車共需租車費1100

元.

（1）求大、小車每輛的租車費各是多少元？

（2）若每輛車上至少要有一名教師，且總租車費用不超過2300元，求最省錢的租車方案.

考點：一元一次不等式組的應用；二元一次方程組的應用。

分析：（1）設大車每輛的租車費是x元、小車每輛的租車費是y元.根據題意：“租用1

輛大車2輛小車共需租車費1000元”；“租用2輛大車一輛小車共需租車費1100元”；列出

方程組，求解即可；

（2）根據汽車總數不能小于生鰭（取整為6）輛，即可求出共需租汽車的輛數；設出租

45

用大車m輛，則租車費用Q（單位：元）是m的函數，由題意得出100m+1800W2300,得

出取值范圍，分析得出即可.

解答：解：（1）設大車每輛的租車費是x元、小車每輛的租車費是y元.

可得方程組b+2k1°0°,

12x+y=1100

解得產400.

ly=300

答：大車每輛的租車費是400元、小車每輛的租車費是300元.

（2）由每輛汽車上至少要有1名老師，汽車總數不能大于6輛；

由要保證240名師生有車坐，汽車總數不能小于空竺（取整為6）輛，

45

綜合起來可知汽車總數為6輛.

設租用m輛甲種客車，則租車費用Q（單位：元）是m的函數，

QPQ=400m+300（6-m）；

化簡為：Q=100m+1800,

依題意有：100m+1800W2300,

m<5,

又要保證240名師生有車坐，m不小于4,

所以有兩種租車方案，

方案一：4輛大車，2輛小車；

方案二：5輛大車，1輛小車.

隨m增加而增加，

當m=4時，Q最少為2200元.

故最省錢的租車方案是：4輛大車，2輛小車.

點評：本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用和理解題意的能力，關

鍵是根據題目所提供的等量關系和不等量關系，列出方程組和不等式求解.

19.(2020朝陽)為支持抗震救災，我市A、B兩地分別有賑災物資100噸和180噸，需全

部運往重災區C、D兩縣，根據災區的情況，這批賑災物資運往C縣的數量比運往D縣的

數量的2倍少80噸.

(1)求這批賑災物資運往C、D兩縣的數量各是多少噸？

(2)設A地運往C縣的賑災物資數量為x噸(x為整數).若要B地運往C縣的賑災物資

數量大于A地運往D縣賑災物資數量的2倍，且要求B地運往D縣的賑災物資數量不超過

63噸，則A、B兩地的賑災物資運往C、D兩縣的方案有幾種？

考點：一元一次不等式組的應用；二元一次方程組的應用。

專題：調配問題。

分析：(1)設運往C縣的物資是a噸，D縣的物資是b噸，然后根據運往兩地的物資總

量列出一個方程，再根據運往C、D兩縣的數量關系列出一個方程，然后聯立組成方程組求

解即可；

(2)根據A地運往C縣的賑災物資數量為x噸，表示出B地運往C縣的物資是(160-x)

噸，A地運往D縣的物資是(100-x)噸，B地運往D縣的物資是120-(100-x)=(20+x)

噸，然后根據“B地運往C縣的賑災物資數量大于A地運往D縣賑災物資數量的2倍”列出

一個不等式，根據“B地運往D縣的賑災物資數量不超過63噸”列出一個不等式，組成不等

式組并求解，再根據x為整數即可得解.

解答：解：(1)設運往C縣的物資是a噸，D縣的物資是b噸，

根據題意得，上心:100+180,

Ia=2b-80

解得[a=160,

lb=120

答：這批賑災物資運往C、D兩縣的數量各是160噸，120噸；

(2)設A地運往C縣的賑災物資數量為x噸，則B地運往C縣的物資是(160-x)噸，

A地運往D縣的物資是(100-x)噸，B地運往D縣的物資是120-(100-x)=(20+x)

噸，

俎坍麻酉俎fl60-x>2(100?x)①

根據題息得，i,

[20+x<63②

解不等式①得，x>40,

解不等式②得，x<43,

所以，不等式組的解集是40Vx*3,

：x是整數，

；.x取41、42、43,

...方案共有3種，分別為：

方案一：A地運往C縣的賑災物資數量為41噸，則B地運往C縣的物資是119噸，

A地運往D縣的物資是59噸，B地運往D縣的物資是61噸；

方案二：A地運往C縣的賑災物資數量為42噸，則B地運往C縣的物資是118噸，

A地運往D縣的物資是58噸，B地運往D縣的物資是62噸；

方案三：A地運往C縣的賑災物資數量為43噸，則B地運往C縣的物資是117噸，

A地運往D縣的物資是57噸，B地運往D縣的物資是63噸.

點評：本題考查了一元一次不等式組的應用，二元一次方程組的應用，找出題目中的數量

關系是解題的關鍵，（2）難點在于根據A地運往C縣的賑災物資數量為x噸，表示出運往

其他縣的物資是解題的關鍵.

20.（2020北海）某班有學生55人，其中男生與女生的人數之比為6：5.

（1）求出該班男生與女生的人數；

（2）學校要從該班選出20人參加學校的合唱團，要求：①男生人數不少于7人；②女生人

數超過男生人數2人以上.請問男、女生人數有幾種選擇方案？

考點：一元一次不等式組的應用；一元一次方程的應用。

分析：（1）設男生有6x人，則女生有5x人，根據男女生的人數的和是55人，即可列方

程求解；

（2）設選出男生y人，則選出的女生為（20-y）人，根據：①男生人數不少于7人；②女

生人數超過男生人數2人以上，即可列出不等式組，從而求得y的范圍，再根據y是整數，

即可求得y的整數值，從而確定方案.

解答：解：（1）設男生有6x人，則女生有5x人.（1分）

依題意得：6x+5x=55（2分）

x=5

6x=30,5x=25（3分）

答：該班男生有30人，女生有25人.（4分）

（2）設選出男生y人，則選出的女生為（20-y）人.（5分）

由題意得/（6分）

ly>7

解之得：7WyV9

，y的整數解為：7、8.（7分）

當y=7時，20-y=13

當y=8時,20-y=12

答：有兩種方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人.（8

分）

點評：本題考查一元一次不等式組的應用，將現實生活中的事件與數學思想聯系起來，讀

懂題列出不等式關系式即可求解.

21.（2020溫州）溫州享有“中國筆都”之稱，其產品暢銷全球，某制筆企業欲將n件產品運

往A,B,C三地銷售，要求運往C地的件數是運往A地件數的2倍,各地的運費如圖所示.設

安排x件產品運往A地.

（1）當n=200時，①根據信息填表：

A地B地C地合計

產品件數（件）x2x200

運費（元）30x

②若運往B地的件數不多于運往C地的件數,總運費不超過4000元,則有哪幾種運輸方案?

（2）若總運費為5800元,求n的最小值.

考點：一次函數的應用；一元一次不等式組的應用。

專題：應用題。

分析：（1）①運往B地的產品件數=總件數n-運往A地的產品件數-運往B地的產品

件數；運費=相應件數x一件產品的運費；

②根據運往B地的件數不多于運往C地的件數，總運費不超過4000元列出不等式組，求得

整數解的個數即可；

（2）總運費=A產品的運費+B產品的運費+C產品的運費，進而根據函數的增減性及（1）

中②得到的x的取值求得n的最小值即可.

解答：解：（1）①根據信息填表

A地B地C地合計

產品件數（件）200-3x

運費1600-24x50x56x+1600

②由題意，得產-3X<2X,

ll600+56x<4000

解得40<x<42.§,

7

為整數，

.?.x=40或41或42,

有三種方案，分別是（i）A地40件，B地80件，C地80件；

（ii）A地41件，B地77件，C地82件；

（iii）A地42件，B地74件，C地84件；

（2）由題意，得30x+8（n-3x）+50x=5800,

整理,得n=725-7x.

n-3x>0,

Ax<72.5,

又?..xN。，

.?.0WXW72.5且x為整數.

：n隨x的增大而減少，

...當x=72時,n有最小值為221.

點評：考查一次函數的應用；得到總運費的關系式是解決本題的關鍵；注意結合自變量的

取值得到n的最小值.

23.（2020深圳）“節能環保，低碳生活”是我們倡導的一種生活方式，某家電商場計劃用11.8

萬元購進節能型電視機、洗衣機和空調共40臺，三種家電的進價和售價如表所示：

價格進價售價

（元/臺）（元/臺）

種類

電視機50005500

洗衣機20002160

空調24002700

（1）在不超出現有資金的前提下，若購進電視機的數量和洗衣機的數量相同，空調的數量

不超過電視機的數量的3倍.請問商場有哪幾種進貨方案？

（2）在“2012年消費促進月”促銷活動期間，商家針對這三種節能型產品推出“現金每購1000

元送50元家電消費券一張、多買多送”的活動.在（1）的條件下，若三種電器在活動期間

全部售出，商家預估最多送出多少張？

考點：一次函數的應用；一元一次不等式組的應用。

分析：（1）設購進電視機x臺，則洗衣機是x臺，空調是（40-2x）臺，根據空調的數

量不超過電視機的數量的3倍，且x以及40-2x都是非負整數，即可確定x的范圍，從而

確定進貨方案；

（2）三種電器在活動期間全部售出的金額，可以表示成x的函數，根據函數的性質，即可

確定y的最大值，從而確定所要送出的消費券的最大數目.

解答：解：（1）設購進電視機x臺，則洗衣機是x臺，空調是（40-2x）臺，

40-2x43x

根據題意“^°2x>0

5000x+2000x+2400（40-2x）<118000

解得：8<x<10,

根據x是整數，則從8到10共有3個正整數，分別是8、9、10,因而有3種方案：

方案一：電視機8臺、洗衣機8臺、空調24臺；

方案二：電視機9臺、洗衣機9臺、空調22臺；

方案三：電視機10臺、洗衣機10臺、空調20臺.

（2）三種電器在活動期間全部售出的金額y=5500x+2160x+2700（40-2x）,

即y=2260x+108000.

由一次函數性質可知：當x最大時，y的值最大.

x的最大值是10,則y的最大值是:2260x10+108000=130600元.

由現金每購1000元送50元家電消費券一張，可知130600元的銷售總額最多送出130張消

費券.

點評：本題考查了不等式組的應用以及一次函數的應用，正確確定x的條件是解題的關

鍵.

24.(2020黔西南州)某工廠計劃生產A,B兩種產品共10件，其生產成本和利潤如下表:

A種產品B種產品

成本(萬元/件)25

利潤(萬元/件)13

(1)若工廠計劃獲利14萬元，問A,B兩種產品應分別生產多少件？

(2)若工廠計劃投入資金不多于44萬元，且獲利多于14萬元，問工廠有哪幾種生產方案?

(3)在(2)的條件下，哪種生產方案獲利最大？并求出最大利潤.

考點：一次函數的應用；一元一次方程的應用；一元一次不等式組的應用。

分析：(I)設生產A種產品x件，則生產B種產品有10-x件，根據計劃獲利14萬元,

即兩種產品共獲利14萬元，即可列方程求解；

(2)根據計劃投入資金不多于44萬元，且獲利多于14萬元，這兩個不等關系即可列出不

等式組，求得x的范圍，再根據x是非負整數，確定x的值，x的值的個數就是方案的個數;

(3)由己知可得，B產品生產越多，獲利越大，因而B取最大值時，獲利最大，據此即可

求解.

解答：解：(1)設生產A種產品x件，則生產B種產品10-x件，于是有

x+3(10-x)=14,

解得：x=8,

則10-x=10-8=2(件)

所以應生產A種產品8件，B種產品2件；

(2)設應生產A種產品x件，則生產B種產品有10-x件，由題意有：

f2x+5(10-x)<44a.、°

，解得：2Wx<8；

x+3(10-x)>14

所以可以采用的方案有：(后2,，A=3,(A=4,(A=5,(A=6,[A=7共$種方案;

1B=81B=61B=51B=41B=3

(3)由已知可得，B產品生產越多，獲利越大，所以當[人=2時可獲得最大利潤，其最大利

|B=8

潤為2x1+8x3=26萬元.

點評：本題考查理解題意的能力，關鍵從表格種獲得成本價和利潤，然后根據利潤這個等

量關系列方程，根據第二問中的利潤和成本做為不等量關系列不等式組分別求出解，然后求

出哪種方案獲利最大從而求出來.

25.(2020攀枝花)煤炭是攀枝花的主要礦產資源之一，煤炭生產企業需要對煤炭運送到用

煤單位所產生的費用進行核算并納入企業生產計劃.某煤礦現有1000噸煤炭要全部運往A、

B兩廠，通過了解獲得A、B兩廠的有關信息如下表（表中運費欄“元/t?km”表示：每噸煤炭

運送一千米所需的費用）：

廠別運費（元/t?km）路程（km）需求量（t）

A0.45200不超過600

Ba（a為常數）150不超過800

（1）寫出總運費y（元）與運往A廠的煤炭量x（t）之間的函數關系式，并寫出自變量的

取值范圍；

（2）請你運用函數有關知識，為該煤礦設計總運費最少的運送方案，并求出最少的總運費

（可用含a的代數式表示）

考點：一次函數的應用；一元一次不等式組的應用。

分析：（1）根據總費用=運往A廠的費用+運往B廠的費用.經化簡后可得出y與x的函

數關系式，

（2）根據圖表中給出的判定噸數的條件，算出自變量的取值范圍，然后根據函數的性質來

算出所求的方案.

解答：解：（1）若運往A廠x噸，則運往B廠為（1000-x）噸.

依題意得：y=200x0.45x+150xax（1000-x）

=90x-150ax+150000a,

=(90-150a)x+150000a.

卜《600

依題意得:

11000-x<800

解得：200<x<600.

，函數關系式為y=(90-150a)x+150000a,(200<X<600).

（2）當0VaV0.6時,90-150a>0,

當x=200時，y城小=（90-150a）x200+150000a=120000a+18000.

此時，1000-x=1000-200=800.

當a>0.6時，90-150a<0,又因為運往A廠總噸數不超過600噸，

.?.當x=600時，丫即卜=（90-150a）x600+150000a=60000a+54000.

此時，1000-x=1000-600=400.

答：當0<a<0.6時，運往A廠200噸，B廠800噸時，總運費最低，最低運費120000a+18000

元.

當a>0.6時，運往A廠600噸，B廠400噸時，總運費最低，最低運費60000a+54000.

點評：本題考查了利用一次函數的有關知識解答實際應用題，一次函數是常用的解答實際

問題的數學模型，是中考的常見題型，同學們應重點掌握.

26.（2020涼山州）某商場計劃購進冰箱、彩電進行銷售.相關信息如下表：

進價（元/臺）售價（元/臺）

冰箱a2500

彩電a-4002000

（I）若商場用80000元購進冰箱的數量與用64000元購進彩電的數量相等，求表中a的值.

（2）為了滿足市場需要求，商場決定用不超過9萬元采購冰箱、彩電共50臺，且冰箱的數

量不少于彩電數量的3

6

①該商場有哪幾種進貨方式？

②若該商場將購進的冰箱、彩電全部售出，獲得的最大利潤為w元，請用所學的函數知識

求出w的值.

考點：一次函數的應用；分式方程的應用；一元一次不等式組的應用。

專題：應用題；圖表型。

分析：（1）分別表示冰箱和彩電的購進數量，根據相等關系列方程求解；

（2）設購買彩電x臺，則購進冰箱（50-x）臺.

①根據題意列表達式組求解；

②用含x的代數式表示利潤W,根據x的取值范圍和一次函數的性質求解.

解答：解：（1）根據題意得80000^,64000

aa-400

解得a=2000.經檢驗a=2000是原方程的根；

（2）設購買彩電x臺，則購進冰箱（50-x）臺.

①根據題意得，6、

a（50-x）+（a-400）x<90000

解得：25SxW刎，

11

故有三種進貨方式：

1）購買彩電25臺，則購進冰箱25臺；

2）購買彩電26臺，則購進冰箱24臺；

3）購買彩電27臺，則購進冰箱23臺.

②一個冰箱的利潤為：500元，一個彩電的利潤為400元，

故w=400x+500（50-x）=-100x+25000,

w為關于x的一次函數，且為減函數，

而25金是更，x取整數，

11

故當x=25時,獲得的利潤最大,最大為22500元.

點評：此題考查了一次函數的應用、分式方程的應用及一元一次不等式的應用，解答本題

的關鍵是求出a的值，利用函數及不等式的知識進行解答.

27.（2020佳木斯）國務院總理溫家寶2011年11月16日主持召開國務院常務會議，會議

決定建立青海三江源國家生態保護綜合實驗區.現要把228噸物資從某地運往青海甲、乙兩

地，用大、小兩種貨車共18輛，恰好能一次性運完這批物資.已知這兩種貨車的載重量分

別為16噸/輛和10噸/輛，運往甲、乙兩地的運費如表：

運往地甲地（元/輛）乙地（元/輛）

車型

大貨車720800

小貨車500650

（1）求這兩種貨車各用多少輛？

（2）如果安排9輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設前往甲地的大貨車為a輛，前往

甲、乙兩地的總運費為w元，求出w與a的函數關系式（寫出自變量的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，若運往甲地的物資不少于120噸，請你設計出使總運費最少的貨車

調配方案，并求出最少總運費.

考點：一次函數的應用；二元一次方程組的應用。

分析：（1）設大貨車用x輛，小貨車用y輛，根據大、小兩種貨車共18輛，運輸228

噸物資，列方程組求解；

（2）設前往甲地的大貨車為a輛，則前往乙地的大貨車為（8-a）輛，前往甲地的小貨車

為（9-a）輛，前往乙地的小貨車為［10-（9-a）］輛，根據表格所給運費，求出w與a的

函數關系式；

（3）結合已知條件，求a的取值范圍，由（2）的函數關系式求使總運費最少的貨車調配方

案.

解答：解：（1）解法一、設大貨車用x輛，小貨車用y輛，根據題意得

卜……（2分）

ll6x+10y=228

解得［

ly=10

答：大貨車用8輛，小貨車用10輛.…（1分）

解法二、設大貨車用x輛，則小貨車用（18-x）輛，根據題意得

16x+10（18-x）=228…（2分）

解得x=8

A18-x=18-8=10（輛）

答：大貨車用8輛，小貨車用10輛；…（1分）

（2）w=720a+800（8-a）+500（9-a）+650（10-（9-a）］...（2分）

=70a+11550,

.,.w=70a+11550（03三8且為整數）…（1分）

（3）16a+10（9-a）>120,

解得aN5,…（1分）

XV0<a<8,

???5WaW8且為整數，...（1分）

V