2024-2024東城高三上學期期末數學2024.1高三數學（理）（東城）第1頁（共13頁）

東城區2024-2024學年度第一學期期末

高三數學（理科）2024.1

本試卷共4頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題

目要求的一項。

（1）若集合{2,1,0,1,2,3}A=--，{|1Bxx=，則AB=

（A）{2,3}-（B）{2,1,2,3}--（C）{0,1}

（D）{1,0,1,2}-

（2）函數3sin(2)4

yxπ

=+圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是

（A）2π（B）π（C）2π（D）4

π（3）執行如圖所示的程序框圖，輸出的x值為

（A）1（B）2

（C）3

2

（D）74

高三數學（理）（東城）第2頁（共13頁）

（4）若,

xy滿意332,,,yxxyy??+???

≤≥≥則xy-的最小值為

（A）5-

（B）3-（C）2-

（D）1-

（5）已知函數41

()2

xxfx+=，則()fx的

（A）圖象關于原點對稱，且在),0[+∞上是增函數（B）圖象關于y軸對稱，且在),0[+∞上是增函數（C）圖象關于原點對稱，在),0[+∞上是減函數（D）圖象關于y軸對稱，且在),0[+∞上是減函數（6）設,ab為非零向量，則“

=a+ba-b”是“0?ab=”的

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件

（D）既不充分也不必要條件

（7）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（A）

1

6

（B）13

（C）

12

（D）1

（8）現有n個小球，甲乙兩位同學輪番且不放回抓球，每次最少抓1個球，最多抓3個

球，規定誰抓到最終一個球誰贏.假如甲先抓，那么以下推斷正確的是（A）若4n=，則甲有必贏的策略（B）若6n=，則乙有必贏的策略（C）若9n=，則甲有必贏的策略

（D）若11n=，則乙有必贏的策略

正（主）視圖

側（左）視圖

俯視圖

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其次部分（非選擇題共110分）

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）若復數(1+i)(i)a-為純虛數，則實數a=．（10）()5

12x+的綻開式中，2x的系數等于．

（11）已知為等差數列，為其前項和，若，46

4aa+=，則5S=_______．

（12）在極坐標系中，若點(,)3

Amπ

(0)m>在圓2cosρθ=外，則m的取值范圍為．

（13）已知雙曲線C：2

2

21(0)yxbb

-=>的一個焦點到它的一條漸近線的距離為1，則

b=；若雙曲線1C與C不同，且與C有相同的漸近線，則1C的方程可以

為．（寫出一個答案即可）

（14）如圖1，分別以等邊三角形ABC的每個頂點為圓心、以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形ABC稱為勒洛三角形ABC，等邊三角形的中心P稱為勒洛三角形的中心.如圖2，勒洛三角形ABC夾在直線0y=和直線2y=之間，且沿x軸滾動.設其中心(,)Pxy的軌跡方程為()yfx=，則()fx的最小正周期為；

()yfx=的圖象與性質有以下描述：

①中心對稱圖形；②軸對稱圖形；③一條直線；④最大值與最小值的和為2.其中正確結論的序號為__________.（注：請寫出全部正確結論的序號）

圖1圖2

{}nanSn16a

=

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三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15）（本小題13分）

在ABC△中，角,,ABC所對的邊分別為,,abc,2a=，2sinsinAC=．(Ⅰ)求c的長；

(Ⅱ)若B為鈍角，1

cos24

C=-,求ABC△的面積．

（16）（本小題13分）

中國特色社會主義進入新時代，我國經濟已由高速增長階段轉向高質量進展階段.貨幣政策是宏觀經濟調控的重要手段之一，對我國經濟平穩運行、高質量進展發揮著越來越重要的作用.某數學課外活動小組為了討論人民幣對某國貨幣的匯率與我國經濟進展的關系，統計了2024年下半年某周五個工作日人民幣對該國貨幣匯率的開盤價和收盤價，如下表：

（Ⅰ）已知這5天開盤價的中位數與收盤價的中位數相同，求a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，從這5天中隨機選取3天，其中開盤價比當日收盤價低的天數記為ξ，求ξ的分布列及數學期望Eξ；

（III）在下一周的第一個工作日，收盤價為何值時，這6天收盤價的方差最小.（只需寫出結論）

（17）（本小題14分）

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如圖，在四棱錐EABCD-中，平面ADE⊥平面ABCD,

,OM分別為線段,ADDE的中點．四邊形BCDO是邊

長為1的正方形，AEDE=，AEDE⊥.（Ⅰ）求證：CM//平面ABE；

（Ⅱ）求直線DE與平面ABE所成角的正弦值；

（III）點N在直線AD上，若平面BMN⊥平面ABE，求線段AN的長.

（18）（本小題13分）已知函數xxxxxfln2

1

61)(3-+=

.（Ⅰ）求曲線)(xfy=在點（1，)1(f）處的切線方程；（Ⅱ）若()fxa>：

的離心率等于2

，經過其左焦點(1,0)F-且與x軸不重合的直線l與橢圓C交于,MN兩點．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)O為原點，在x軸上是否存在定點Q，使得點F到直線QM，QN的距離總相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

（20）（本小題13分）

已知數列12:,,,(2)nAaaan≥滿意*

iaN∈且1(1,2,,)i

aiin≤≤=，數列

12:,,,(2)nBbbbn≥滿意()1(1,2,,)iibainτ=+=，其中1()0aτ=，()(2,3,,)iainτ=表

示121,,,iaaa-中與ia不等的項的個數.

（I）數列A：1，1，2，3，4，請直接寫出相應的數列B；（II）證明：(1,2,,)i

ibain≥=；

（III）若數列A相鄰兩項均不等，B與A為同一個數列，證明：(1,2,,)iaiin==.

（東城）第7頁（共13頁）

東城區2024-2024學年第一學期期末教學統一檢測

高三數學參考答案及評分標準（理科）

一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）

（1）A（2）C（3）D（4）B（5）B（6）C（7）A（8）C二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）1-（10）40（11）20（12）(1,)+∞（13）1，222xy-=等（14）23

π

，②④三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分）

解:（Ⅰ）由于2a=，2sinsinAC=，由正弦定理

sinsinac

AC

=，得4c=．（Ⅱ）由21cos22cos14CC=-=-，得2

3cos8

C=.

由于02Cπ.設1122(,),(,)MxyNxy，

則21222

12241222.12kxxkkxxk?-+=??+?-?=?+?

，設(,0)Qt.由點,MN在x軸異側，則問題等價于“QF平分MQN∠”，且12,xtxt≠≠，又等價于“12120QMQNyy

kkxtxt

+=

+=--”，即1221()()0yxtyxt-+-=.將1122(1),(1)ykxykx=+=+代入上式，整理得12122()(1)20xxxxtt++--=.將①②代入上式，整理得20t+=，即2t=-，所以(20)Q-，.

①②

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當直線MN的斜率不存在時，存在(20)Q-，也使得點F到直線QM，QN的距離相等.故在x軸上存在定點(20)Q-，，使得點F到直線QM，QN的距離總相等.（20）（共13分）解：（I）1，1，3，4，5.

（II）1i=時，由111a≤≤知11a=，由題意知111ba=≥，結論成立；

2i≥時，設(1)iakki=≤≤，若1k=，則iiba≥；

若2ki≤≤，則由1211,2,,1kaaak-≤≤≤-知121,,,kaaa-均不與ia相等.于是()1iakτ≥-，()1iiibakaτ=+≥=.綜上，(1,2,,)i

ibain≥=.

（III）當1i=時，由111a≤≤知11a=，結論成立；當2i≥時，假設121,,,iaaa-中存在一項和ia相等，設為ka.

在數列121,,,,,,kiiaaaaa-中，由1iiaa-≠，ikaa=可知，第i項之前與ia不相等的項比第k項之前與ka不相等的項至少多了一項1ia-，則()